Mi aiutate a risolvere questi due integrali?

[Phantony1]

Ciao a tutti, anche se sono nuovo del forum spero vogliate, e possiate, aiutarmi.

Devo risolvere questi due integrali indefiniti:

[tex]\int \frac{x \sqrt{a x+b+x^2}}{d^2+x^2} \, dx[/tex]

[tex]\int \frac{x}{\left(d^2+x^2\right) \sqrt{a x+b+x^2}} \, dx[/tex]

a, b e d sono costanti, reali e positive.

Ho provato a risolverli con Mathematica, ma ottengo, come risultato, dei logaritmi con argomento complesso, mentre a me serve una soluzione nel campo reale (ammesso che esista). Potreste darmi qualche dritta su come risolverli?

Grazie,

Phantony.

[ciampax]

Ma sono formule generali? Se è così, con un po' di integrazioni per parti, dovresti ricondurli ad integrali standard (sempre generali) in cui compare il termine $\sqrt{x^2+ax+b}$. Comunque, potrsti partire dal fatto che

$x^2+ax+b=(x+a/2)^2-{a^2-4b}/{4}$

e osservare che essendo in questo caso $\Delta=a^2-4b$, si ha

$x^2+ax+b=(x+a/2)^2-{\Delta}/{4}$

A questo punto, puoi operare le seguenti sostituzioni a seconda del valore di $\Delta$:

1) $\Delta>0$ poni $x+a/2=\sqrt{\Delta}/2\ \cosh t$
2) $\Delta=0$ poni $x+a/2=t$
3) $\Delta<0$ poni $\omega^2=-\Delta>0$ e quindi $x+a/2=\omega/2\ \sinh t$

[Phantony1]

Grazie mille