Metrica discreta
Quando si dice che in uno spazio metrico dotato di metrica discreta ogni sottoinsieme è aperto si includono anche i singoletti (insieme con un solo elemento)? Se sì perché un singoletto è un aperto con metrica discreta mentre è un chiuso con metrica euclidea?
Risposte
Come è definita la metrica discreta (delta) su uno spazio ((X,delta))? Come è fatta una palla di centro (xin X) e raggio (epsilon < 1)?
$ d(x,y)=1 $ se $ x\ney $ e $ d(x,y)=0 $ se $ x=y $. Una sfera aperta di centro $ x_0 $ e raggio $ r<1 $ è l'insieme degli$ x\inX:d(x,x_0)
Un suggerimento invece per verificare che un singoletto non è un aperto secondo la metrica euclidea in $ R^n $?
In uno spazio topologico a caso, i singoletti sono aperti se e solo se la topologia è discreta. Mentre la topologia indotta dalla metrica euclidea è quella solita di (mathbb R^n), sicché.
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