Metodo di somiglianza con termine noto trigonometrico inverso

[Proxima9]

ciao,

oggi ero alle prese con un'equazione inomogenea di cui mi è chiara la soluzione tramite nucleo risolvente, ma volevo provare con il metodo di somiglianza e mi sono incartato verso la fine.
L'equazione è la seguente:

$ y''-y=1/cosx $

La soluzione del polinomio caratteristico mi dà +i e -i come valori di lambda, per cui la soluzione dell'omogenea è:
$ y=ce^(-ix)+ke^(ix) $

che scritta in forma trigonometrica diventa:
$ y=csin(x)+kcos(x) $

Ora, volendo utilizzare il metodo di somiglianza per trovare la soluzione della parte inomogenea, si ricade nel caso in cui il termine noto è in forma trigonometrica, e ci sono 2 possibilità:
1) il termine noto non è presente nelle soluzioni del polinomio caratteristico, quindi la soluzione sarà del tipo:
$ Asin(beta x)+Bcos(beta x) $

2) il termine noto è presente nelle soluzioni del polinomio caratteristico, quindi la soluzione sarà del tipo:
$ x(Asin(beta x)+Bcos(beta x)) $

E qui arriva il dubbio: secondo me siamo nel caso 2) perché abbiamo cos(x) nel termine noto e nella soluzione dell'inomogenea, corretto? Oppure il termine noto va considerato diverso perché è elevato alla -1, e quindi dovremmo proseguire secondo il caso 1)?

Io seguito la strada 2), ma mi incarto quando devo calcolare i valori particolari di A e B. Viene un calcolo algebrico un pò complicato e mi pare sospetto.

Cosa ne dite?

[Proxima9]

Grazie TeM!
E io che mi ero figurato il metodo di di somiglianza come un metodo universale da poter usare sempre, anche se meno preciso di altri, invece si possono avere dei casi in cui non è applicabile.