Metodo di somiglianza
Ciao a tutti!
Oggi sono qui perché ultimamente sto avendo seri problemi col metodo di somiglianza per equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine. I libri di testo forniscono veramente pochissimi esempi di utilizzo di tale metodo, preferendo quello della variazione delle costanti, il che è un vero peccato, visto che il metodo di somiglianza dovrebbe essere più veloce.
Qualcuno potrebbe spiegarmi in modo esauriente come si usa il metodo di somiglianza nelle equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine? C'è uno schema generale da seguire (che faccia da base anche per casi un po' più complessi) o si fa tutto ad occhio?
Vi ringrazio anticipatamente, sono davvero disperato...
Oggi sono qui perché ultimamente sto avendo seri problemi col metodo di somiglianza per equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine. I libri di testo forniscono veramente pochissimi esempi di utilizzo di tale metodo, preferendo quello della variazione delle costanti, il che è un vero peccato, visto che il metodo di somiglianza dovrebbe essere più veloce.
Qualcuno potrebbe spiegarmi in modo esauriente come si usa il metodo di somiglianza nelle equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine? C'è uno schema generale da seguire (che faccia da base anche per casi un po' più complessi) o si fa tutto ad occhio?
Vi ringrazio anticipatamente, sono davvero disperato...
Risposte
Allora troviamo le soluzioni col metodo di somiglianza dell'equazione differenziale
$ y'''+9y'=2\cos(x)-\sin(x) $
il suo polinomio caratteristico è $ \lambda^3+9\lambda=\lambda(\lambda^2+9) $
le soluzioni soluzioni dell’omogenea sono le funzioni $ y_(om)(x)=c_1+c_2 \cos(3x)+c_3\sin(3x) $
allora vi è una funzione del tipo \( y^{\star}(x)=C\cos(x)+D\sin(x) \)
Derivando e imponendo di soddisfare l’equazione differenziale, si ottiene
$ C\sin(x)-D\cos(x)-9C\sin(x)+9D\cos(x)=2\cos(x)-\sin(x) $
da cui il sistema
$ { ( -8C=-1 ),( 8D=2 ):} \to C=1/8, D=1/4 $
quindi tutte e sole le soluzioni dell’equazione assegnata sono le funzioni
$ y(x)=1/8 \cos(x)+1/4 \sin(x)+c_1+c_2\cos(3x)+c_3\sin(3x) $
IN GENERALE puoi usare il metodo di somiglianza solo con funzioni semplici o polinomi!
NON puoi usare il metodo di somiglianza per questa equazione differenziale $ y''+y=(1)/(\cos x) $
perchè non è un polinomio!..
In quest'ultima eq. differenziale devi usare il metodo di variazione delle costanti..
Spero di essere stato chiaro
Esercizio, prova a risolvere questa eq. differenziale $ y''-3y'+2y=5e^x $
metodo di somiglianza o metodo di variazione delle costanti? .. io opterei per il primo.. quello di somiglianza
$ y'''+9y'=2\cos(x)-\sin(x) $
il suo polinomio caratteristico è $ \lambda^3+9\lambda=\lambda(\lambda^2+9) $
le soluzioni soluzioni dell’omogenea sono le funzioni $ y_(om)(x)=c_1+c_2 \cos(3x)+c_3\sin(3x) $
allora vi è una funzione del tipo \( y^{\star}(x)=C\cos(x)+D\sin(x) \)
Derivando e imponendo di soddisfare l’equazione differenziale, si ottiene
$ C\sin(x)-D\cos(x)-9C\sin(x)+9D\cos(x)=2\cos(x)-\sin(x) $
da cui il sistema
$ { ( -8C=-1 ),( 8D=2 ):} \to C=1/8, D=1/4 $
quindi tutte e sole le soluzioni dell’equazione assegnata sono le funzioni
$ y(x)=1/8 \cos(x)+1/4 \sin(x)+c_1+c_2\cos(3x)+c_3\sin(3x) $
IN GENERALE puoi usare il metodo di somiglianza solo con funzioni semplici o polinomi!
NON puoi usare il metodo di somiglianza per questa equazione differenziale $ y''+y=(1)/(\cos x) $
perchè non è un polinomio!..
In quest'ultima eq. differenziale devi usare il metodo di variazione delle costanti..
Spero di essere stato chiaro
Esercizio, prova a risolvere questa eq. differenziale $ y''-3y'+2y=5e^x $
metodo di somiglianza o metodo di variazione delle costanti? .. io opterei per il primo.. quello di somiglianza
Grazie ancora per la risposta, e per l'esercizio che male non fa 
Questa era l'equazione di partenza [tex]y''-3y'+2y=5e^{x}[/tex]
il suo polinomio caratteristico è [tex]\lambda^{2}-3\lambda +2=0[/tex]
le soluzioni dell’omogenea sono le funzioni [tex]y_{om}(x)= c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}[/tex]
Tuttavia permettimi di fare un piccolo cambiamento per rendere più evidente un dubbio
ad esempio prendiamo un'equazione simile [tex]y''-3y'-2y=5e^{x}[/tex]
il suo polinomio caratteristico è [tex]\lambda^{2}-3\lambda -2=0[/tex]
le soluzioni soluzioni dell’omogenea sono le funzioni [tex]y_{om}(x)= c_{1}e^{\frac{3}{2}x}cos(\frac{17x}{2})+c_{2}e^{\frac{3}{2}x}sen(\frac{17x}{2})[/tex]
e qui ho il mio dubbio...
... guardando la [tex]y_{om}(x)[/tex] (come mi sembra tu abbia fatto) direi che la soluzione è della stessa forma dell'esempio da te esposto e quindi [tex]y^{*}(x)= C cos(x)+Dsen(x)[/tex]
Invece come mi sembrava di aver capito prima del tuo intervento, ovvero prendendo in considerazione il termine noto dell'equazione di partenza [tex]f(x)=5e^{x}[/tex] direi che la soluzione particolare sarà della forma [tex]y^{*}(x)= C e^{\lambda x}[/tex]
In caso tu avessi effettivamente ragione (cosa molto probabile) mi potresti dire dove avresti usato il termine noto?
Qui invece ho perso un passaggio, stai attuando le stesse procedure previste dal metodo di variazione delle costanti? Se no quale strategia hai usato?
Ti ringrazio ancora per il disturbo
Questa era l'equazione di partenza [tex]y''-3y'+2y=5e^{x}[/tex]
il suo polinomio caratteristico è [tex]\lambda^{2}-3\lambda +2=0[/tex]
le soluzioni dell’omogenea sono le funzioni [tex]y_{om}(x)= c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}[/tex]
Tuttavia permettimi di fare un piccolo cambiamento per rendere più evidente un dubbio
ad esempio prendiamo un'equazione simile [tex]y''-3y'-2y=5e^{x}[/tex]
il suo polinomio caratteristico è [tex]\lambda^{2}-3\lambda -2=0[/tex]
le soluzioni soluzioni dell’omogenea sono le funzioni [tex]y_{om}(x)= c_{1}e^{\frac{3}{2}x}cos(\frac{17x}{2})+c_{2}e^{\frac{3}{2}x}sen(\frac{17x}{2})[/tex]
e qui ho il mio dubbio...
"21zuclo":
$ y'''+9y'=2\cos(x)-\sin(x) $
il suo polinomio caratteristico è $ \lambda^3+9\lambda=\lambda(\lambda^2+9) $
le soluzioni soluzioni dell’omogenea sono le funzioni $ y_(om)(x)=c_1+c_2 \cos(3x)+c_3\sin(3x) $
allora vi è una funzione del tipo \( y^{\star}(x)=C\cos(x)+D\sin(x) \)
... guardando la [tex]y_{om}(x)[/tex] (come mi sembra tu abbia fatto) direi che la soluzione è della stessa forma dell'esempio da te esposto e quindi [tex]y^{*}(x)= C cos(x)+Dsen(x)[/tex]
Invece come mi sembrava di aver capito prima del tuo intervento, ovvero prendendo in considerazione il termine noto dell'equazione di partenza [tex]f(x)=5e^{x}[/tex] direi che la soluzione particolare sarà della forma [tex]y^{*}(x)= C e^{\lambda x}[/tex]
In caso tu avessi effettivamente ragione (cosa molto probabile) mi potresti dire dove avresti usato il termine noto?
"21zuclo":
Derivando e imponendo di soddisfare l’equazione differenziale, si ottiene
$ C\sin(x)-D\cos(x)-9C\sin(x)+9D\cos(x)=2\cos(x)-\sin(x) $
da cui il sistema
$ { ( -8C=-1 ),( 8D=2 ):} \to C=1/8, D=1/4 $
quindi tutte e sole le soluzioni dell’equazione assegnata sono le funzioni
$ y(x)=1/8 \cos(x)+1/4 \sin(x)+c_1+c_2\cos(3x)+c_3\sin(3x) $
Qui invece ho perso un passaggio, stai attuando le stesse procedure previste dal metodo di variazione delle costanti? Se no quale strategia hai usato?
Ti ringrazio ancora per il disturbo
Ho continuato la mia ricerca su internet ma tra dispense e materiali mi sembra di non trovare un metodo concorde con un altro.
Tra le poche correlazioni trovate c'è **** che schematizza il metodo in 3 macro-casi che a loro volta si suddividono in altri 2 o 3 casi in base alle radici
e il materiale di un qualche anonimo professore universitario (che linko qui sotto) che affronta il problema con una specie di schema: Schema1 Schema2
Secondo voi sono attendibili? Quale delle due fonti ha effettivamente ragione? Potrebbero essere solo delle linee guida per una casistica più ampia?
Vi ringrazio ancora per il disturbo
Tra le poche correlazioni trovate c'è **** che schematizza il metodo in 3 macro-casi che a loro volta si suddividono in altri 2 o 3 casi in base alle radici
e il materiale di un qualche anonimo professore universitario (che linko qui sotto) che affronta il problema con una specie di schema: Schema1 Schema2
Secondo voi sono attendibili? Quale delle due fonti ha effettivamente ragione? Potrebbero essere solo delle linee guida per una casistica più ampia?
Vi ringrazio ancora per il disturbo
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