Metodo di Hermite

[lorenzo1234567]

Buonasera, sapreste spiegarmi in cosa consiste e quando si può utilizzare il metodo di Hermite per scomporre le funzioni razionali nel calcolo integrale? L'unica cosa che sono riuscito a capire dalle varie letture (senza comprenderne il motivo) è che se il grado del polinomio a numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore dobbiamo prima effettuare la divisione tra polinomi (Ruffini) e poi applicare Hermite.

[axpgn]

Intendi la scomposizione in fratti semplici?

[lorenzo1234567]

"axpgn":Intendi la scomposizione in fratti semplici?

Il professore l'ha solo chiamata "Formula di Hermite". Quando sono andato a ricercarla aveva qualcosa di simile alla scomposizione con i fratti semplici ma, non avendola capita, non so con certezza se sono la stessa cosa oppure no.

[axpgn]

Da come la descrivi sembra proprio la scomposizione in fratti semplici.
In tal caso, si tratta di un metodo per semplificare l'integrazione di una funzione razionale fratta.
Il primo passo consiste nel ridurre il grado del numeratore facendo la divisione tra polinomi; questo genera un polinomio (facilmente integrabile) più il resto (in forma frazionaria) al quale si applica la procedura in questione, la quale creerà delle frazioni che si possono integrare con metodi per così dire "standard".

[lorenzo1234567]

Ad ogni fattore dovrò associare uno specifico fratto semplice con dei coefficienti reali. Però questo perchè avviene? Perchè "si può fare"?

[gugo82]

"Lorenzo_99":Ad ogni fattore dovrò associare uno specifico fratto semplice con dei coefficienti reali. Però questo perchè avviene? Perchè "si può fare"?

Perché si dimostra.

La dimostrazione, seppure semplice (tutto si riduce a scrivere un appropriato sistema lineare di Cramer), è assai pallosa e lunga: per questo motivo di solito viene omessa.
Puoi provare a farla tu, se proprio ci tieni.

Per chi non la conoscesse, la cosiddetta formula di Hermite è una scomposizione come la (*) del teorema che segue:

Se $f(x)=(P(x))/(Q(x))$ è una funzione razionale con $text(grad)(P)=p
$Q(x) = (x - alpha_1)^(h_1)\cdots (x - alpha_m)^(h_m) * (x^2 + beta_1 x + gamma_1)^(k_1) \cdots (x^2 + beta_n x + gamma_n)^(k_n)$

(con $alpha_i,beta_j,gamma_j in RR$, $Delta_j = beta_j^2 - 4 gamma_j < 0$, $h_i,k_j in NN-\{ 0\}$ e $sum_i h_i + sum_j 2k_j = q$) allora esistono $m+2n$ costanti $A_1,\ldots , A_m, B_1,C_1,\ldots ,B_n,C_n$ e $q^**:= q - m - 2n$ costanti $a_0,\ldots , a_{q^** - 1} in RR$ tali che:

(*) $f(x) = A_1/(x - alpha_1) + \cdots + A_m/(x - alpha_m) + (B_1x + C_1)/(x^2 + beta_1 x + gamma_1) +\cdots + (B_n x + C_n)/(x^2 + beta_n x + gamma_n) + (text(d))/(text(d) x)[(a_0+a_1x+\cdots + a_(q^** - 1) x^(q^** - 1))/(Q^**(x))]$

in cui:

$Q^**(x) = (x - alpha_1)^(h_1-1)\cdots (x - alpha_m)^(h_m-1) * (x^2 + beta_1 x + gamma_1)^(k_1-1) \cdots (x^2 + beta_n x + gamma_n)^(k_n-1)$

è il polinomio di grado $q^**$ che si ottiene abbassando di una unità tutti gli esponenti esterni (i.e., gli $h_i$ ed i $k_j$) presenti nella fattorizzazione di $Q$.

cioè, una scomposizione del tipo "fratti semplici + termine che è una derivata di una funzione razionale".

Ad esempio:

La funzione $f(x) = 1/((x - 2)(x + 1)^3(x^2 + x + 1)(x^2 + 4)^2)$ ha una scomposizione di Hermite del tipo:

$f(x) = A_1/(x - 2) + A_2/(x + 1) + (B_1 x + C_1)/(x^2 + x + 1) + (B_2 x + C_2)/(x^2 + 4) + (text(d))/(text(d) x) [(a_0+a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^2)/((x + 1)^2 (x^2 + 4))]$

con i coefficienti incogniti che si calcolano sviluppando il secondo membro, prendendo il denominatore comune ed uguagliando i coefficienti della funzione razionale risultante a quelli della funzione $f$ al primo membro.

[lorenzo1234567]

"gugo82":
La funzione $f(x) = 1/((x - 2)(x + 1)^3(x^2 + x + 1)(x^2 + 4)^2)$ ha una scomposizione di Hermite del tipo:

$f(x) = A_1/(x - 2) + A_2/(x + 1) + (B_1 x + C_1)/(x^2 + x + 1) + (B_2 x + C_2)/(x^2 + 4) + (text(d))/(text(d) x) [(a_0+a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^2)/((x + 1)^2 (x^2 + 4))]$

In realtà da quello che ho capito nella sua formula la derivata non c'era. In più i fattori irriducibili elevati a una potenza $n$ (come $ (x+1)^3$ con $n=3$) andavano riscritti tante volte quanto era il grado di elevamento con un parametro $k$ (a cui elevare il fattore) che incrementava ogni volta fino ad $n$. Ottenendo quindi:
$A_1/(x - 2) + A_2/(x + 1) + A_3/(x + 1)^2 + A_4/(x + 1)^3 + (B_1 x + C_1)/(x^2 + x + 1) + (B_2 x + C_2)/(x^2 + 4)+ (B_3 x + C_3)/(x^2 + 4)^2$
Questa scomposizione sarebbe sbagliata?

[gugo82]

No, quella scomposizione è giusta… Ma non è la formula di Hermite, quanto piuttosto una scomposizione in fratti semplici standard.

E la dimostrazione è: fai i conti.

[lorenzo1234567]

Allora probabilmente ho sbagliato a copiare o ho confuso le cose. In ogni caso c'è qualche vantaggio nell'utilizzare la scomposizione a fratti semplici piuttosto che la formula di Hermite o viceversa?

[gugo82]

Dipende.

La barcata di contazzi è la stessa, quindi sotto quel punto di vista pari sono.
Se però devi integrare, la formula di Hermite è conveniente perché ti dà da integrare dei fratti, che vanno con logaritmi ed arcotangenti, ed un pezzo che è una derivata, quindi si integra senza alcun passaggio… Invece, usualmente, integrare roba come $1/(x^2 + 4)^n$ è una seccatura (si fa per parti e diventa complicato quando l’esponente è “grande”).
Se, d’altra parte, ti serve evidenziare le potenze negative dei fattori che compongono il denominatore (il che si usa, ad esempio, in certe questioni di Analisi Complessa), la scomposizione in fratti è ciò che fa al caso tuo… Mentre la formula di Hermite non serve a nulla.

[lorenzo1234567]

Allora mi sono confrontato anche con altri e fondamentalmente la formula di Hermite che ci ha dato lui è la scomposizione con i fratti semplici utilizzando le radici del polinomio e relativa molteplicità senza alcuna derivata. Per quanto riguarda

"gugo82": integrare roba come $1/(x^2 + 4)^n$

credo che non ci si arrivi mai a questo punto perché sarà sempre possibile fattorizzare i polinomi raggiungendo un grado $<= 2$. In caso non fosse così e mi stessi sbagliando comunque ha specificato che al massimo ci chiederà di scrivere lo sviluppo della formula e mai di risolvere l'intero integrale perchè ci vorrebbe troppo tempo che durante l'esame non abbiamo.

Grazie comunque per l'eccellente spiegazione