Metodo delle caratteristiche per la risoluzione di PDE (ad esempio quasi-lineari in due variabili)
ciao 
ho qualche dubbio circa il metodo delle caratteristiche, http://www.dm.unipi.it/~acquistp/edp.pdf (pag.7-8)
allora.. ho capito che sfruttiamo il sistema caratteristico al fine di individuare le nostre caratteristiche, in questo caso trattando di PDE quasi lineari in due variabili si tratta di linee caratteristiche. Essendo questa linea frutto di due soluzioni di ED, sarà funzione di costanti arbitrarie. Risolvendo il sistema rispetto a h,k, osservando le ipotesi del teorema delle funzioni implicite per sistemi (quindi ponendo $\psi_k\phi_h - \psi_h\phi_k \ne 0$) si ottiene la linea sottoforma di intersezione di due "luoghi" di zeri con variabili x, y, z, quindi esprimono implicitamente le soluzioni del sistema. La jacobiana di tale sistema di due superfici implicite dovrà essere di rango massimo per garantire che si possa esplicitare rispetto a ciascuna variabile.
Credo (spero) di non aver detto troppe bagianate.
Non mi è chiaro il teorema 1.3.1. che ne risulta.
probabilmente non mi è ben chiaro perchè non ho capito cosa sia F (funzione arbitraria ??). Non capisco perchè sia necessario che il $\nablaF$ sia $\ne 0$, inoltre non capisco neanche perchè sia necessaria la condizione $ a^2+b^2 >0$. grazie
ho qualche dubbio circa il metodo delle caratteristiche, http://www.dm.unipi.it/~acquistp/edp.pdf (pag.7-8)
allora.. ho capito che sfruttiamo il sistema caratteristico al fine di individuare le nostre caratteristiche, in questo caso trattando di PDE quasi lineari in due variabili si tratta di linee caratteristiche. Essendo questa linea frutto di due soluzioni di ED, sarà funzione di costanti arbitrarie. Risolvendo il sistema rispetto a h,k, osservando le ipotesi del teorema delle funzioni implicite per sistemi (quindi ponendo $\psi_k\phi_h - \psi_h\phi_k \ne 0$) si ottiene la linea sottoforma di intersezione di due "luoghi" di zeri con variabili x, y, z, quindi esprimono implicitamente le soluzioni del sistema. La jacobiana di tale sistema di due superfici implicite dovrà essere di rango massimo per garantire che si possa esplicitare rispetto a ciascuna variabile.
Credo (spero) di non aver detto troppe bagianate.
Non mi è chiaro il teorema 1.3.1. che ne risulta.
probabilmente non mi è ben chiaro perchè non ho capito cosa sia F (funzione arbitraria ??). Non capisco perchè sia necessario che il $\nablaF$ sia $\ne 0$, inoltre non capisco neanche perchè sia necessaria la condizione $ a^2+b^2 >0$. grazie
Risposte
Ne ho scritto un po' di tempo fa in questo post e seguenti.
Vedi un po' se ne cavi qualcosa, altrimenti ne parliamo.
Vedi un po' se ne cavi qualcosa, altrimenti ne parliamo.
grazie Gugo, colgo l'occasione per ringraziarti dei tuoi interventi sul forum 
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