Metodo del punto di sella nel calcolo di integrali gaussiani
Ciao a tutti =) riscrivo nuovamente su questo forum con l'intendo di cercare qualche delucidazione sull'uso del metodo del punto di sella. In particolare ho il caso di un integrale Gaussiano del seguente tipo
$\int dz e^{[N g(z)]}$
Ciò che ho trovato (e che non ho capito
):
si considera il punto \bar{z} tale che $g(\bar{z})$ sia il massimo. Per z vicino a \bar{z} abbiamo
$e^{[n g(\bar{z})+1/2 g''(\bar{z})(z-\bar{z})^2]}$
Se è possibile trovare un cammino che va da $-\infty$ a $+\infty$ e passa per il punto di sella in modo tale che il massimo del modulo dell'integrando sia proprio il punto di sella, abbiamo che l'integrlae originale si puà approssimare come
$\int dz e^{[n g(\bar{z})+1/2 g''(\bar{z})(z-\bar{z})^2]}$
dove il cammino di integrazione è fatto lungo una direzione tale che la funzione ha il massimo sul punto di sella.
Non sono riuscito a trovare una dimostrazione e comunque non riesco ad afferrare questo concetto nemmeno intuitivamente
$\int dz e^{[N g(z)]}$
Ciò che ho trovato (e che non ho capito
):si considera il punto \bar{z} tale che $g(\bar{z})$ sia il massimo. Per z vicino a \bar{z} abbiamo
$e^{[n g(\bar{z})+1/2 g''(\bar{z})(z-\bar{z})^2]}$
Se è possibile trovare un cammino che va da $-\infty$ a $+\infty$ e passa per il punto di sella in modo tale che il massimo del modulo dell'integrando sia proprio il punto di sella, abbiamo che l'integrlae originale si puà approssimare come
$\int dz e^{[n g(\bar{z})+1/2 g''(\bar{z})(z-\bar{z})^2]}$
dove il cammino di integrazione è fatto lungo una direzione tale che la funzione ha il massimo sul punto di sella.
Non sono riuscito a trovare una dimostrazione e comunque non riesco ad afferrare questo concetto nemmeno intuitivamente
Risposte
Per queste cose un po' "da fisici" puoi consultare il libro di N.G. De Bruijn, Asymptotic Methods in Analysys,capitolo 5.
Grazie mille per il suggerimento 
sapresti comunque darmi qualche consiglio su come risolvere e inquadrare questo problema. Andrebbe bene anche solo un riscontro intuitivo sul perchè della validità di questo metodo
sapresti comunque darmi qualche consiglio su come risolvere e inquadrare questo problema. Andrebbe bene anche solo un riscontro intuitivo sul perchè della validità di questo metodo
Dubito che chi ha postato la domanda sia ancora in cerca di una risposta, ma darò ugualmente una spiegazione QUALITATIVA del perché il metodo funziona: lo sviluppo in serie dell' argomento dell'esponenziale fa si che l'integrando sia del tipo
$ae^{b(x-\bar{x})^2}$, che è un integrale noto per a e b costanti.
Dunque se ho un integrale che non so fare (o che magari, tutt'altro che escluso, non ammette una primitiva) mi riconduco a un integrale che so fare moltiplicato per una costante, a.
La costante a è data dall'esponenziale calcolato nel massimo del suo argomento e questa punto (regione) rappresenta dunque il contributo maggiore all'integrale (si pensi ai rettangoli della definizione di integrale secondo Riemann). In particolare questo contributo sarà praticamente l'unico contributo rilevante quando di prende N che tende a meno infinito (con riferimento alla prima formula del primo post). Dunque in questo limite il metodo restituisce una buona stima dell' integrale.
Osservazione: come ho detto, la spiegazione proposta è ESTREMAMENTE qualitativa. In situazioni realistiche possono sorgere un numero enorme di complicazioni supplementari. Personalmente, ritengo che il punto più importante da tenere a mente quando si parla del punto di sella è che questo è un metodo asintotico. Senza prendere il limite di N che tende a meno infinito l'errore commesso piuò essere significativo, a seconda dei casi.
$ae^{b(x-\bar{x})^2}$, che è un integrale noto per a e b costanti.
Dunque se ho un integrale che non so fare (o che magari, tutt'altro che escluso, non ammette una primitiva) mi riconduco a un integrale che so fare moltiplicato per una costante, a.
La costante a è data dall'esponenziale calcolato nel massimo del suo argomento e questa punto (regione) rappresenta dunque il contributo maggiore all'integrale (si pensi ai rettangoli della definizione di integrale secondo Riemann). In particolare questo contributo sarà praticamente l'unico contributo rilevante quando di prende N che tende a meno infinito (con riferimento alla prima formula del primo post). Dunque in questo limite il metodo restituisce una buona stima dell' integrale.
Osservazione: come ho detto, la spiegazione proposta è ESTREMAMENTE qualitativa. In situazioni realistiche possono sorgere un numero enorme di complicazioni supplementari. Personalmente, ritengo che il punto più importante da tenere a mente quando si parla del punto di sella è che questo è un metodo asintotico. Senza prendere il limite di N che tende a meno infinito l'errore commesso piuò essere significativo, a seconda dei casi.
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