Metodi dii integrazione....sostituzione e per parti
ciao giovani tornoo a rompere le scatole, ma vi ringrazio per le rsiposte neii giorni scorsi....SONO ARRIVATO AGLI INTEGRALI
c'è qualcuno che vorrebbe spiegarmi praticamente come si agisce in questi due metodi....
1) ne primo metodo ad un certo punto si deve calcolare il differenziale di t (t= una determinata quantita sostituitaa).....di solito t=g(x), non capisco quando dice calcolare il differenziale di t, ossia dt=g'(x) dx....sta cosaa non la capisco proprio....
grazieeeeeeeeeeeeeeeee ciaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
c'è qualcuno che vorrebbe spiegarmi praticamente come si agisce in questi due metodi....
1) ne primo metodo ad un certo punto si deve calcolare il differenziale di t (t= una determinata quantita sostituitaa).....di solito t=g(x), non capisco quando dice calcolare il differenziale di t, ossia dt=g'(x) dx....sta cosaa non la capisco proprio....
grazieeeeeeeeeeeeeeeee ciaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Risposte
Semplice:
$dt=(dt)/(dx)dx=g'(x)dx$
$dt=(dt)/(dx)dx=g'(x)dx$
Ancora due parole sulla integrazione per sostituzione .
Questo metodo è spesso usato se si devono integrare funzioni irrazionali o trigonometriche : si introduce sotto il segno di integrale una variabile ausiliaria , ottenenedo un integrale più semplice da calcolare ( questo è lo scopo del metodo).
Un esempio, sia da calcolare $ int sqrt(3x+1)dx $.
Poniamo $3x +1 = t $ da cui : $ x = (t-1)/3 $ ,ecco appunto $ x = x(t) $.
Adesso differenziamo tutti e due i membri : $ dx = 1/3* dt $ , ecco $dx = g'(t)*dt $
Sostituiamo nell'integrale iniziale e otteniamo il nuovo integrale $int (1/3) sqrt(t)*dt =1/3 int t^(1/2)*dt = (2/9)sqrt(t^3 )+C $ e ritornando alla variabile $x $ si ha che l'integrale iniziale vale $ (2/9)sqrt((3x+1)^3) +C $ .
Tutto funziona se $g(t) $ è derivabile e invertibile in un opportuno intervallo ..
Questo metodo è spesso usato se si devono integrare funzioni irrazionali o trigonometriche : si introduce sotto il segno di integrale una variabile ausiliaria , ottenenedo un integrale più semplice da calcolare ( questo è lo scopo del metodo).
Un esempio, sia da calcolare $ int sqrt(3x+1)dx $.
Poniamo $3x +1 = t $ da cui : $ x = (t-1)/3 $ ,ecco appunto $ x = x(t) $.
Adesso differenziamo tutti e due i membri : $ dx = 1/3* dt $ , ecco $dx = g'(t)*dt $
Sostituiamo nell'integrale iniziale e otteniamo il nuovo integrale $int (1/3) sqrt(t)*dt =1/3 int t^(1/2)*dt = (2/9)sqrt(t^3 )+C $ e ritornando alla variabile $x $ si ha che l'integrale iniziale vale $ (2/9)sqrt((3x+1)^3) +C $ .
Tutto funziona se $g(t) $ è derivabile e invertibile in un opportuno intervallo ..
grande camillo....l'unica cosaa che non ho capito....quando dicii differenziamo entrambi i membri????quali membri
da dove esce 1/3???? e chee signisica....ecco appunto x = x(t)
nel calso avessimo la stessa funzione al denominatore.....1 / (3x + 1)^1/2
ciàààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà
da dove esce 1/3???? e chee signisica....ecco appunto x = x(t)
nel calso avessimo la stessa funzione al denominatore.....1 / (3x + 1)^1/2
ciàààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà
La derivata di $ (t-1)/3 = (1/3)(t-1 ) $ rispetto a t è proprio $1/3 $ .
"Springer87":
grande camillo....l'unica cosaa che non ho capito....quando dicii differenziamo entrambi i membri????quali membri
da dove esce 1/3???? e chee signisica....ecco appunto x = x(t)
ciàààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà
significa x espresso in funzione di t , sostituisco la variabile x con la variabile t tramite appunto la funzione che effettua la trasformazione $ x = x(t) $ .
ho capitoo quasi tutto, mi sono resoo conto di non saper fare il differenziale, pensavon nell'esempio, di faree la derivata di (3x + 1) = 3....invece èè un discorso difficile, dovreste spiegarmi come si fanno sti differenziali, e nel caso precedente quali sono i due membri....
poi volevo sapere come si agisce se sii ha 1 / (3x + 1)^1/2....
ciàààààààààààààààààààààààààà
poi volevo sapere come si agisce se sii ha 1 / (3x + 1)^1/2....
ciàààààààààààààààààààààààààà
scusate l'insistenza..... 
"Camillo":
Tutto funziona se $g(t) $ è derivabile e invertibile in un opportuno intervallo ..
Sì, e questo talvolta viene dimenticato, purtroppo..
(gli studenti devono saper risolvere in breve tempo gli esercizi,
uno è più bravo di un altro se sa trovare magicamente la sostituzione "geniale", etc..)
Francesco Daddi
Springer, ti è chiara la regola di derivazione delle funzioni composte, $d/(dx) g(f(x)) = g'(f(x))f'(x)$ ? In tal caso non dovresti avere problemi a fare la derivata di $1/(sqrt{3x+1})$ rispetto a t.
ho capito questo metodo, ora see volete aiutarmi con il metodo di integrazione per parti....come ha fatto camillo, quando si usano di solito, se mii fate anche un esercizio....scusate glii imperativi....vi ringrazioo ancoraa.............
ciààààààààààààààààààààà
ciààààààààààààààààààààà
Allora immagino che tu conosca alla perfezione la regola delle derivate (per così dire) per quanto riguarda i prodotti...
$D(f(x)cdotg(x))=f'(x)cdotg(x)+f(x)cdotg'(x)$
E dato che $int(D(f(x)cdotg(x))dx=f(x)cdotg(x)$
Allora:
$intf'(x)cdotg(x)dx=f(x)cdotg(x)-intf(x)cdotg'(x)dx$
O ancor meglio, ponendo $f'(x)=z(x)=>f(x)=intz(x)dx$, si trova una forma ancor più operativa:
$intz(x)cdotg(x)dx=g(x)intz(x)dx-int(g'(x)intz(x)dx)dx$
Vedi tutto questo, perchè alcune volte è molto più semplice integrare un prodotto di due funzioni che una funzione sola...
$D(f(x)cdotg(x))=f'(x)cdotg(x)+f(x)cdotg'(x)$
E dato che $int(D(f(x)cdotg(x))dx=f(x)cdotg(x)$
Allora:
$intf'(x)cdotg(x)dx=f(x)cdotg(x)-intf(x)cdotg'(x)dx$
O ancor meglio, ponendo $f'(x)=z(x)=>f(x)=intz(x)dx$, si trova una forma ancor più operativa:
$intz(x)cdotg(x)dx=g(x)intz(x)dx-int(g'(x)intz(x)dx)dx$
Vedi tutto questo, perchè alcune volte è molto più semplice integrare un prodotto di due funzioni che una funzione sola...
" Tutto funziona se g(t) è derivabile e invertibile in un opportuno intervallo .."
come vedo derivabilità e invertibilità?
come vedo derivabilità e invertibilità?
Il primo integrale si fa subito senza sostituzione. Infatti: $int sqrt(3x+1)dx$ è un integrale del tipo $int f'(x)sqrt(f(x))= f(x)^(3/2)/(3/2)$.
Per fare un integrale con sostituzione prova a fare $int e^x/(e^x+1)$ così ti calcoli un differenziale
Per fare un integrale con sostituzione prova a fare $int e^x/(e^x+1)$ così ti calcoli un differenziale
"febiz":
Il primo integrale si fa subito senza sostituzione. Infatti: $int sqrt(3x+1)dx$ è un integrale del tipo $int f'(x)sqrt(f(x))= f(x)^(3/2)/(3/2)$.
Certamente è vero, l'ho usato come esempio molto semplice per far vedere come funziona il metodo di sostituzione , non certo per mostrarer il metodo più rapido su come risolvere quell'integrale.
"febiz":
Per fare un integrale con sostituzione prova a fare $int e^x/(e^x+1)$ così ti calcoli un differenziale
Ottima idea come esercizio per springer 87, anche se , pure questo integrale è immediatamente risolvibile essendo del tipo....
essendo del tipo f'(x) / f(x) = ln If(x)I + c
vi mostro comee ragione.....impongo e^x = t.....poi devo calcorare x = ln t.....mi calcola la derivata di ln t che è 1/t e vado nell'integrale di partenza a fare:
integrale dii.....$int(t / (t+1)) * 1/t$....anche se qui ho un dubbio che si faccia così
poi non sòò come continuare....
vi mostro comee ragione.....impongo e^x = t.....poi devo calcorare x = ln t.....mi calcola la derivata di ln t che è 1/t e vado nell'integrale di partenza a fare:
integrale dii.....$int(t / (t+1)) * 1/t$....anche se qui ho un dubbio che si faccia così
poi non sòò come continuare....
"Springer87":
essendo del tipo f'(x) / f(x) = ln If(x)I + c
puoi applicare subito questa formula!
in ogni caso, se vuoi usare il metodo di sostituzione arrivato a
$int((t / (t+1)) * 1/t)dt$ puoi semplificare la $t$ e ritrovarti ad applicare la formula appena citata!!
mon amour Milady mi hai lasciato alle derivate e mi ritrovi agli integrali....
in questo esercizio cosa sbaglio....
$int(1 / (1-x)^(1/3))$.....pongo $1-x = t$.....da cui $x=1-t$....e calcolo la derivata che $1*dt$
vado aa sostituire
$int(t^-(2/3))$....poi applico il metodo normalee e ho $3*(t)^(1/3)$.....
cosa sbaglio....visto che non si trova il risultato....
ciaoooooooooooooooooooooooo
in questo esercizio cosa sbaglio....
$int(1 / (1-x)^(1/3))$.....pongo $1-x = t$.....da cui $x=1-t$....e calcolo la derivata che $1*dt$
vado aa sostituire
$int(t^-(2/3))$....poi applico il metodo normalee e ho $3*(t)^(1/3)$.....
cosa sbaglio....visto che non si trova il risultato....
ciaoooooooooooooooooooooooo
"Springer87":
mon amour Milady mi hai lasciato alle derivate e mi ritrovi agli integrali....
in questo esercizio cosa sbaglio....
$int(1 / (1-x)^(1/3))$.....pongo $1-x = t$.....da cui $x=1-t$....e calcolo la derivata che $1*dt$
vado aa sostituire
$int(t^-(2/3))$....poi applico il metodo normalee e ho $3*(t)^(1/3)$.....
cosa sbaglio....visto che non si trova il risultato....
ciaoooooooooooooooooooooooo
se $x=1-t$ allora $dx=-dt$
inoltre sbagli quando sostituisci! l'esponente di $t$ non mi convince!
bravaa avevo sbagliato glii esponenti....
ora mii serve una mano per questoooooooooooooo
$int(1/(9-x^2)^(1/2))$
grazieeeeeeee ciaoooooooooooooooooooooooo
ora mii serve una mano per questoooooooooooooo
$int(1/(9-x^2)^(1/2))$
grazieeeeeeee ciaoooooooooooooooooooooooo
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