Max/min funzione due variabili!

[angelo.intile]

Ciao ragazzi, devo cercare i punti di max/min relativi della funzione $f(x,y)$ e anche i punti di max/min assoluti nel dominio $D$. La funzione e il domino sono i seguenti:

$f(x,y)=log(sqrt((x-3)^2+y^2)+8)$

$D={ (x,y) \in RR^2: (x-3)^2+y^2 <=9, x<=3, y>=0}$

Per prima cosa ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x ed y, e mi viene fuori il seguente sistema (ponendo $nabla f(x,y)=0$, per ricercare i punti stazionari):

$\{( (x-3)/(8*sqrt(x^2+y^2-6x+9)+x^2+y^2-6x+9)=0 ),( (y)/(8*sqrt(x^2+y^2-6x+9)+x^2+y^2-6x+9)=0):}$

Ma questo sistema non ha soluzioni, o sbaglio ? Quindi è possibile che non ci siano punti di max/min relativi ?

[Lo_zio_Tom]

Anche se il sistema non avesse soluzioni, i punti stazionari ci saranno sicuramente sulla frontiera del dominio (teorema di Weierstrass).

Quindi devi cercare i massimi e minimi (assoluti) vincolati

[angelo.intile]

"tommik":non ho controllato i conti ma, anche se il sistema non avesse soluzioni, i punti stazionari ci saranno sicuramente sulla frontiera del dominio (teorema di Weierstrass).

Quindi devi cercare i massimi e minimi (assoluti) vincolati

Certamente, però volevo capire se è possibile che capiti di non trovare punti stazionari dal sistema

[angelo.intile]

In questo caso il dominio sarebbe questo (in giallo la parte interessata):



Procedo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrande per il tratto della circonferenza, e con la parametrizzazione per gli altri due lati ?

[Lo_zio_Tom]

non mi sembra giusto il grafico....la circonferenza ha centro in $(3;0)$ e raggio $3$

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":

Procedo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrande per il tratto della circonferenza, e con la parametrizzazione per gli altri due lati (secondo me c'è un metodo molto più semplice)

EDIT

[angelo.intile]

"tommik":non mi sembra giusto il grafico....la circonferenza ha centro in $(3;0)$ e raggio $3$

Si hai ragione xD

"tommik":[quote="angelointi94"]

Procedo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrande per il tratto della circonferenza (Y), e con la parametrizzazione per gli altri due lati (secondo me c'è un metodo molto più semplice)

[/quote]

Cioè ?

[Lo_zio_Tom]

cioè mi pare che ponendo $y=0$ e, successivamente $x=3$ la funzione $f(x,y)$ diventi, in entrambi i casi, funzione in una variabile...

[angelo.intile]

"tommik":cioè mi pare che ponendo $y=0$ e, successivamente $x=3$ la funzione $f(x,y)$ diventi, in entrambi i casi, funzione in una variabile...

Si ma per il tratto di circonferenza ?

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":[quote="tommik"]cioè mi pare che ponendo $y=0$ e, successivamente $x=3$ la funzione $f(x,y)$ diventi, in entrambi i casi, funzione in una variabile...

Si ma per il tratto di circonferenza ?[/quote]

parametrizzando

[angelo.intile]

"tommik":[quote="angelointi94"][quote="tommik"]cioè mi pare che ponendo $y=0$ e, successivamente $x=3$ la funzione $f(x,y)$ diventi, in entrambi i casi, funzione in una variabile...

Si ma per il tratto di circonferenza ?[/quote]
con i moltiplicatori di lagrange...come hai detto tu. Infatti ho messo (Y) fra parentesi = Yes[/quote]
Ah si perfetto, solo che viene un sistemone allucinante per gli altri due tratti si li ho risolti in quel modo, cioè ponendo una volta x=3 e una volta y=0

[angelo.intile]

"tommik":[quote="angelointi94"][quote="tommik"]cioè mi pare che ponendo $y=0$ e, successivamente $x=3$ la funzione $f(x,y)$ diventi, in entrambi i casi, funzione in una variabile...

Si ma per il tratto di circonferenza ?[/quote]

parametrizzando[/quote]


E come faccio parametrizzando ? Perché per il tratto di circonferenza variano contemporaneamente sia la x che la y

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":[quote="tommik"]
Ah si perfetto, solo che viene un sistemone allucinante per gli altri due tratti si li ho risolti in quel modo, cioè ponendo una volta x=3 e una volta y=0

[/quote]

scusa avevo detto sì ai moltiplicatori di Lagrange ma non avevo nemmeno guardato la funzione...ho solo notato che avevi sbagliato a disegnare il dominio.

Per parametrizzare? Non ho fatto conti perché sono in ufficio...ma a me pare che la funzione sia addirittura costante sull'arco in questione....devi massimizzare $log(sqrt(f(x))+8)$ con vincolo $f(x)=9$

[angelo.intile]

"tommik":[quote="angelointi94"][quote="tommik"]
Ah si perfetto, solo che viene un sistemone allucinante per gli altri due tratti si li ho risolti in quel modo, cioè ponendo una volta x=3 e una volta y=0

[/quote]

scusa avevo detto sì ai moltiplicatori di Lagrange ma non avevo nemmeno guardato la funzione...ho solo notato che avevi sbagliato a disegnare il dominio.

Per parametrizzare? Non ho fatto conti perché sono in ufficio...ma a me pare che la funzione sia addirittura costante sull'arco in questione....devi massimizzare $log(sqrt(f(x))+8)$ con vincolo $f(x)=9$ [/quote]
Mmm quindi non uso i moltiplicatori, però non ho capito bene come fare

[Lo_zio_Tom]

secondo me non devi risolvere un bel niente.

se il vincolo è $(x-3)^2+y^2-9=0$ io direi che $y^2=9-(x-3)^2$ e quindi la funzione diventa $log(sqrt(9)+8)$, sempre costante in tutti i punti dell'arco. Poi andrei a sentire gli altri punti stazionari (quelli su $y=0$ e su $x=3$) che cosa dicono e cercherei un max e un min così come garantito dall'amico Weierstrass....però non sono un prof di Matematica....quindi se dico un'eresia non bannatemi

[angelo.intile]

"tommik":secondo me non devi risolvere un bel niente.

se il vincolo è $(x-3)^2+y^2-9=0$ io direi che $y^2=9-(x-3)^2$ e quindi la funzione diventa $log(sqrt(9)+8)$, sempre costante in tutti i punti dell'arco. Poi andrei a sentire gli altri punti stazionari (quelli su $y=0$ e su $x=3$) che cosa dicono e cercherei un max e un min così come garantito dall'amico Weierstrass....però non sono un prof di Matematica....quindi se dico un'eresia non bannatemi

La funzione è questa, e sicuramente il punto (3,0) è il punto di min assoluto in D, che ho trovato nei due bordi dove x=3 e dove y=0, solamente che gli altri punti trovati non sono appartenenti al dominio D, cioè non riesco a trovare il max in D

[angelo.intile]

"tommik":
se il vincolo è $(x-3)^2+y^2-9=0$ io direi che $y^2=9-(x-3)^2$ e quindi la funzione diventa $log(sqrt(9)+8)$, sempre costante in tutti i punti dell'arco.

Come hai detto la funzione nel tratto di circonferenza è costante, e il max assoluto in D è proprio il valore che assume la funzione in qualsiasi punto di quel tratto di circonferenza, solo che non so come trovare questo risultato analiticamente, cioè con i calcoli

[Lo_zio_Tom]

"angelointi94":[quote="tommik"]
se il vincolo è $(x-3)^2+y^2-9=0$ io direi che $y^2=9-(x-3)^2$ e quindi la funzione diventa $log(sqrt(9)+8)$, sempre costante in tutti i punti dell'arco.

Come hai detto la funzione nel tratto di circonferenza è costante, e il max assoluto in D è proprio il valore che assume la funzione in qualsiasi punto di quel tratto di circonferenza, solo che non so come trovare questo risultato analiticamente, cioè con i calcoli [/quote]

non ho capito..non sai trovare analiticamente il massimo di una costante????

cioè se nel compito all'esame ti fanno studiare la funzione $y=3$ per $0

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[angelo.intile]

"tommik":[quote="angelointi94"][quote="tommik"]
se il vincolo è $(x-3)^2+y^2-9=0$ io direi che $y^2=9-(x-3)^2$ e quindi la funzione diventa $log(sqrt(9)+8)$, sempre costante in tutti i punti dell'arco.

Come hai detto la funzione nel tratto di circonferenza è costante, e il max assoluto in D è proprio il valore che assume la funzione in qualsiasi punto di quel tratto di circonferenza, solo che non so come trovare questo risultato analiticamente, cioè con i calcoli [/quote]

non ho capito..non sai trovare analiticamente il massimo di una costante????

cioè se nel compito all'esame ti fanno studiare la funzione $y=3$ per $0 Ah si xD ovvio che si

[angelo.intile]

Quindi concludo dicendo che per $y^2=(x-3)^2+9$ la funzione assume il suo valore massimo assoluto nel dominio $D$ o no ? E il minimo assoluto è nel punto $(3,0)$

[Lo_zio_Tom]

Sì