Max/min funzione due variabili!
Ciao ragazzi, devo cercare i punti di max/min relativi della funzione $f(x,y)$ e anche i punti di max/min assoluti nel dominio $D$. La funzione e il domino sono i seguenti:
$f(x,y)=log(sqrt((x-3)^2+y^2)+8)$
$D={ (x,y) \in RR^2: (x-3)^2+y^2 <=9, x<=3, y>=0}$
Per prima cosa ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x ed y, e mi viene fuori il seguente sistema (ponendo $nabla f(x,y)=0$, per ricercare i punti stazionari):
$\{( (x-3)/(8*sqrt(x^2+y^2-6x+9)+x^2+y^2-6x+9)=0 ),( (y)/(8*sqrt(x^2+y^2-6x+9)+x^2+y^2-6x+9)=0):}$
Ma questo sistema non ha soluzioni, o sbaglio ? Quindi è possibile che non ci siano punti di max/min relativi ?
$f(x,y)=log(sqrt((x-3)^2+y^2)+8)$
$D={ (x,y) \in RR^2: (x-3)^2+y^2 <=9, x<=3, y>=0}$
Per prima cosa ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x ed y, e mi viene fuori il seguente sistema (ponendo $nabla f(x,y)=0$, per ricercare i punti stazionari):
$\{( (x-3)/(8*sqrt(x^2+y^2-6x+9)+x^2+y^2-6x+9)=0 ),( (y)/(8*sqrt(x^2+y^2-6x+9)+x^2+y^2-6x+9)=0):}$
Ma questo sistema non ha soluzioni, o sbaglio ? Quindi è possibile che non ci siano punti di max/min relativi ?
Risposte
angelo: togli HELP!! dal titolo, è vietato dal regolamento; ricordalo per i topic futuri.
"gio73":
angelo: togli HELP!! dal titolo, è vietato dal regolamento; ricordalo per i topic futuri.
Perdonami lo tolgo subito
"angelointi94":
...
La funzione e il domino sono i seguenti:
$f(x,y)=log(sqrt((x-3)^2+y^2)+8)$
$D={ (x,y) \in RR^2: (x-3)^2+y^2 <=9, x<=3, y>=0}$
...
Ho dato una scorsa veloce al thread, per cui può essere che mi sia sfuggito, ma non ho notato che sia stata fatta la seguente osservazione.
I punti di max/min (locali o globali, non fa differenza) di $f$ sono gli stessi di $g$, dove:
$g(x,y)=(x-3)^2+y^2$,
visto che:
$sqrt$ è una funzione strettamente crescente
"+8" non dovrebbe cambiare granché le cose
$log$ è anch'essa una funzione strettamente crescente
"Fioravante Patrone":
[quote="angelointi94"]
...
La funzione e il domino sono i seguenti:
$f(x,y)=log(sqrt((x-3)^2+y^2)+8)$
$D={ (x,y) \in RR^2: (x-3)^2+y^2 <=9, x<=3, y>=0}$
...
Ho dato una scorsa veloce al thread, per cui può essere che mi sia sfuggito, ma non ho notato che sia stata fatta la seguente osservazione.
I punti di max/min (locali o globali, non fa differenza) di $f$ sono gli stessi di $g$, dove:
$g(x,y)=(x-3)^2+y^2$,
visto che:
$sqrt$ è una funzione strettamente crescente
"+8" non dovrebbe cambiare granché le cose
$log$ è anch'essa una funzione strettamente crescente[/quote]
scusa ma in questo modo come lo trovi il massimo
? se studi $g(x,y)=(x-3)^2+y^2$ trovi il minimo in $(3;0)$ e stop. La funzione data dal testo è continua e definita su un insieme chiuso e limitato -> ammette anche massimo assoluto
Mentre attendiamo la risposta di Fioravante Patrone , volevo fare un'altra domanda.
Per trovare gli eventuali punti singolari interni, ovvero dove la funzione non è derivabile ( $\nabla f(x,y)$ non esiste!), praticamente cosa bisogna fare ? Il limite ?
Per trovare gli eventuali punti singolari interni, ovvero dove la funzione non è derivabile ( $\nabla f(x,y)$ non esiste!), praticamente cosa bisogna fare ? Il limite ?
"angelointi94":
Mentre attendiamo la risposta di Fioravante Patrone , volevo fare un'altra domanda.
Per trovare gli eventuali punti singolari interni, ovvero dove la funzione non è derivabile ( $\nabla f(x,y)$ non esiste!), praticamente cosa bisogna fare ? Il limite ?
basta vedere il dominio della derivata...esistono punti all'interno del dominio della funzione dove la derivata ha problemi?...denominatori che si azzerano, radici quadrate con radicandi <0, logaritmi con argomento <0 ecc ecc
"tommik":
[quote="angelointi94"]Mentre attendiamo la risposta di Fioravante Patrone , volevo fare un'altra domanda.
Per trovare gli eventuali punti singolari interni, ovvero dove la funzione non è derivabile ( $\nabla f(x,y)$ non esiste!), praticamente cosa bisogna fare ? Il limite ?
basta vedere il dominio della derivata...esistono punti all'interno del dominio della funzione dove la derivata ha problemi?...denominatori che si azzerano, radici quadrate con radicandi <0, logaritmi con argomento <0 ecc ecc[/quote]
Ah perfetto, quindi eventualmente quelli sarebbero altri punti stazionari da candidare come ruolo di max o min
"angelointi94":
[quote="tommik"][quote="angelointi94"]Mentre attendiamo la risposta di Fioravante Patrone , volevo fare un'altra domanda.
Per trovare gli eventuali punti singolari interni, ovvero dove la funzione non è derivabile ( $\nabla f(x,y)$ non esiste!), praticamente cosa bisogna fare ? Il limite ?
basta vedere il dominio della derivata...esistono punti all'interno del dominio della funzione dove la derivata ha problemi?...denominatori che si azzerano, radici quadrate con radicandi <0, logaritmi con argomento <0 ecc ecc[/quote]
Ah perfetto, quindi eventualmente quelli sarebbero altri punti stazionari da candidare come ruolo di max o min
[/quote]non sono punti stazionari. I punti stazionari sono quelli con derivata =0. Quelli in cui la derivata non esiste sono punti che meritano ulteriori indagini
"tommik":
non sono punti stazionari. I punti stazionari sono quelli con derivata =0. Quelli in cui la derivata non esiste sono punti che meritano ulteriori indagini
Detti punti singolari ?
"angelointi94":
[quote="tommik"] non sono punti stazionari. I punti stazionari sono quelli con derivata =0. Quelli in cui la derivata non esiste sono punti che meritano ulteriori indagini
Detti punti singolari ?[/quote]
sì
"tommik":
[quote="angelointi94"][quote="tommik"] non sono punti stazionari. I punti stazionari sono quelli con derivata =0. Quelli in cui la derivata non esiste sono punti che meritano ulteriori indagini
Detti punti singolari ?[/quote]
sì[/quote]
Grazie mille veramente
"Fioravante Patrone":
I punti di max/min (locali o globali, non fa differenza) di $f$ sono gli stessi di $g$, dove:
$g(x,y)=(x-3)^2+y^2$,
visto che:
$sqrt$ è una funzione strettamente crescente
"+8" non dovrebbe cambiare granché le cose
$log$ è anch'essa una funzione strettamente crescente
scusa ma in questo modo come lo trovi il massimo
Mi sento di interpretare l'intervento di Fioravante. Lui suggerisce giustamente di studiare la funzione $g$ *sul dominio assegnato* (mi pare che si chiami $D$). Quindi il problema è ancora un problema di ottimizzazione vincolata. Il vantaggio sta nel fatto che la funzione da studiare ha una espressione MOLTO più semplice.
"dissonance":
Mi sento di interpretare l'intervento di Fioravante. Lui suggerisce giustamente di studiare la funzione $g$ *sul dominio assegnato* (mi pare che si chiami $D$). Quindi il problema è ancora un problema di ottimizzazione vincolata. Il vantaggio sta nel fatto che la funzione da studiare ha una espressione MOLTO più semplice.
adesso ho capito....
"tommik":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="angelointi94"]
...
La funzione e il domino sono i seguenti:
$f(x,y)=log(sqrt((x-3)^2+y^2)+8)$
$D={ (x,y) \in RR^2: (x-3)^2+y^2 <=9, x<=3, y>=0}$
...
Ho dato una scorsa veloce al thread, per cui può essere che mi sia sfuggito, ma non ho notato che sia stata fatta la seguente osservazione.
I punti di max/min (locali o globali, non fa differenza) di $f$ sono gli stessi di $g$, dove:
$g(x,y)=(x-3)^2+y^2$,
visto che:
$sqrt$ è una funzione strettamente crescente
"+8" non dovrebbe cambiare granché le cose
$log$ è anch'essa una funzione strettamente crescente[/quote]
scusa ma in questo modo come lo trovi il massimo
? se studi $g(x,y)=(x-3)^2+y^2$ trovi il minimo in $(3;0)$ e stop. La funzione data dal testo è continua e definita su un insieme chiuso e limitato -> ammette anche massimo assoluto[/quote]Amo i prof che danno questi esercizi.
Questo esercizio è di una banalità assoluta, visto che il vincolo $(x-3)^2+y^2 \le 9$ non è altro che $g(x,y) \le 9$.
Pertanto è ovvio, SENZA USARE NULLA DEL CALCOLO DIFFERENZIALE, che la funzione ha minimo assoluto in (3,0) e assume massimo assoluto sulla circonferenza $(x-3)^2+y^2 \le 9$ (che è una curva di livello di $g$ ma, si badi bene, ovviamente anche di $f$). Precisamente, sulla porzione di circonferenza individuata dalle limitazioni $x \le 3$, $y \ge 0$.
Naturalmente per rispondere in modo corretto a questo tipo di esercizi occorre pensare, anziché applicare meccanicamente metodi appresi più o meno bene.
PS: sì, conosco il teorema di Weierstrass, grazie
PPS: grazie a dissonance per l'esegesi
Mi scusi prof Fioravante, l'errore è stato mio che ho risolto l'esercizio in maniera meccanica e, come avrà notato, ho pure faticato a capirne tardivamente la banalità. Del resto io di mestiere faccio il genitore e leggo di matematica solo per diletto...forse dovrei pure smetterla di rispondere a quesiti di studenti che, pur fequentando fior fiore di Atenei, si ritrovano al II o III anno con delle lacune imbarazzanti anche viste da me, che ho smesso di studiare prima che loro nascessero......forse che una parte di responsabilità di queste lacune sia anche attribuibile alla Sua categoria che non insegna bene a "pensare"?
Cordialmente,
Alberto Tomelleri
Cordialmente,
Alberto Tomelleri
Io insegno alle medie, sono forse più responsabile di Patrone e dei suoi colleghi; sono anche genitore (come molti insegnanti di qualsiasi ordine e grado) e nella mia esperienza umana ho notato come si tenda a "proteggere" i giovani, purtroppo contro il loro interesse.
"tommik":
Mi scusi prof Fioravante, l'errore è stato mio che ho risolto l'esercizio in maniera meccanica e, come avrà notato, ho pure faticato a capirne tardivamente la banalità.
Del resto io di mestiere faccio il genitore e leggo di matematica solo per diletto...forse dovrei pure smetterla di rispondere a quesiti di studenti che, pur fequentando fior fiore di Atenei, si ritrovano al II o III anno con delle lacune imbarazzanti anche viste da me, che ho smesso di studiare prima che loro nascessero......forse che una parte di responsabilità di queste lacune sia anche attribuibile alla Sua categoria che non insegna bene a "pensare"?
Cordialmente,
Alberto Tomelleri
Certo, è sempre colpa degli altri.
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