Max e Minimi ASSOLUTI di funzioni a due variabili
ciao a tutti ho due dubbietti su come si trovano i max e i min assoluti delle funzioni a due variabili....
allora... il primo è:
Il sistema delle due derivate parzili prime si deve annullare per forza affinche esistano questi massimi e minimi? O questo ale sono nel caso di massimi e minimi relativi
il secondo è: coem faccio a capire doe si annulla il sistema? onestamente io vado a tentoni....
grazie
allora... il primo è:
Il sistema delle due derivate parzili prime si deve annullare per forza affinche esistano questi massimi e minimi? O questo ale sono nel caso di massimi e minimi relativi
il secondo è: coem faccio a capire doe si annulla il sistema? onestamente io vado a tentoni....
grazie
Risposte
La condizione di annullamento del gradiente vale solo se cerchi estremi interni; se sei sul bordo la cosa è più complicata.
Sperando che Bartolomeo non si offenda per essermi intromesso nel suo post, colgo l'occasione per porre l'attenzione sulla risoluzione di un sistema senza aprire un'altro thread (il che potrebbe anche essere d'aiuto per la sua seconda domanda 
).
Data: $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2) + 4xy$, al fine di ricercare i punti critici, calcoliamo il gradiente (la funzione è un polinomio, quindi differenziabile per ogni (x, y) -> gradiente esiste ovunque).
$grad(f(x, y)) = (4x^3 - 4x + 4y, 4y^3 - 4y + 4x)$
$4x^3 - 4x + 4y = 0$
$4y^3 - 4y + 4x = 0$
Qualche consiglio su come risolvere il sistema in questione?
).Data: $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2) + 4xy$, al fine di ricercare i punti critici, calcoliamo il gradiente (la funzione è un polinomio, quindi differenziabile per ogni (x, y) -> gradiente esiste ovunque).
$grad(f(x, y)) = (4x^3 - 4x + 4y, 4y^3 - 4y + 4x)$
$4x^3 - 4x + 4y = 0$
$4y^3 - 4y + 4x = 0$
Qualche consiglio su come risolvere il sistema in questione?
Somma membro a membro ...
Penso che devo ricercarli sia sui bordi che all'interno.... solitamente io quando vedevo che il sistema non si annullava scrivevo che non c'erano massimi e minimi in quella funzione e concludevo lì l'esercizio... ma mi pare di aver capito che così sbaglio...
quindi se il sistema NON si annulla mi pare di aver capito che devo ricercarli solo sui bordi.. e questo penso di saperlo fare....
Se il sistema si annulla devo ricercare sia sui bordi che all'interno.... quidni sui bordi penso di saperlo fai.. all'interno devo ricercarli come se fossero massimi e minimi assoluti???
quindi se il sistema NON si annulla mi pare di aver capito che devo ricercarli solo sui bordi.. e questo penso di saperlo fare....
Se il sistema si annulla devo ricercare sia sui bordi che all'interno.... quidni sui bordi penso di saperlo fai.. all'interno devo ricercarli come se fossero massimi e minimi assoluti???
"MaMo":
Somma membro a membro ...
Vero, grazie!
Direi che saltano fuori un bel pò di punti, pomeriggio vedo di calcolarli!
"Bartolomeo":
Penso che devo ricercarli sia sui bordi che all'interno.... solitamente io quando vedevo che il sistema non si annullava scrivevo che non c'erano massimi e minimi in quella funzione e concludevo lì l'esercizio... ma mi pare di aver capito che così sbaglio...
Dipende, Weierstrass può tornarti utile.
"Bartolomeo":
quindi se il sistema NON si annulla mi pare di aver capito che devo ricercarli solo sui bordi.. e questo penso di saperlo fare....
Sempre che tu abbia bordi!
Se ti può tornare utile dai un occhio al mio post sui moltiplicatori di Lagrange dove ho riportato un esempio completo, che, calcoli a parte, dovrebbe seguire un procedimento corretto
"Bartolomeo":
Se il sistema si annulla devo ricercare sia sui bordi che all'interno.... quidni sui bordi penso di saperlo fai.. all'interno devo ricercarli come se fossero massimi e minimi assoluti???
Occhio che i punti che soddisfano il sistema devono essere Interni al dominio nel quale stai lavorando.
Per la frontiera puoi provare a parametrizzarla e calcolare la funzione lungo essa, piuttosto che utilizzare i Moltiplicatori; e occhio ad eventuali punti singolari della frontiera.
ok..allora vi faccio vedere 2 esercizi che ho svolto...
1) Studiare la funzione $f(x,y) = 5y(x^2-1)+2y^2-1$ nel riquadro di vertici $A=(0,1)$, $B=(1,1)$, $C=(1,0)$ e $O=(0,0)$.
Calcoloto le derivate prima e le metto in sistema:
$f'_x(x,y) = 10xy$
$f'_y(x,y) = 5x^2-5+4y$
Questo sistema si annulla in $(0,5/4)$, $(-1,0)$ e in $(1,0)$. I primi 2 li escludo perchè sono fuori dal quadrato...
A questo punto studio la
$Frontiera OA$ -> $x=0$ con $0 le y le 1$
$f(0,y)=-5y+2y^2-1$
$f'(0,y)=-5+4y$ -> $y=5/4$ che è fuori dal riquadro
$Frontiera AB$ -> $y=1$ con $0 le x le 1$
$f(x,1)=5x^2-4$
$f'(x,1)=10x$ -> $x=0$ -> $f(0,1)= -4$
$Frontiera BC$ -> $x=1$ con $0 le y le 1$
$f(1,y)=2y^2-1$
$f'(1,y)=4y$ -> $y=0$ -> $f(1,0)= -1$
$Frontiera OC$ -> $y=0$ con $0 le x le 1$
$f(x,0)=-1$
$f'(x,0)=0$ -> $f(x,0)= -1$
In questa funzione ho solo un minimo assoluto che è nel punto $A=(0,1)$
Però non ho studiato la funzione al suo interno ma solo nelle frontiere... come devo fare a studiarla all'interno??
2)Calcolare massimo e minimo assoluto della funzione $f(x,y)=(2xy-3y+1)/(x)-x^2$ nel rettangolo di vertici $A=(1,0)$, $B=(2,0)$, $C=(2,3)$, $D=(1,3)$
Anche qui calcolo le derivate prime parziali e le metto in sistema:
$f'_x(x,y)=(3y-1)/(x^2)-2x$
$f'_y(x,y)=2-(3y)/x$
In questo caso il sistema non si annulla... quindio non ho studiato nulla e ho messo che non ci sono massimi e minimi assoluti... ma mi pare di aver capito che così sbaglio.... potete correggermi gentilmente?
grazie ancora
1) Studiare la funzione $f(x,y) = 5y(x^2-1)+2y^2-1$ nel riquadro di vertici $A=(0,1)$, $B=(1,1)$, $C=(1,0)$ e $O=(0,0)$.
Calcoloto le derivate prima e le metto in sistema:
$f'_x(x,y) = 10xy$
$f'_y(x,y) = 5x^2-5+4y$
Questo sistema si annulla in $(0,5/4)$, $(-1,0)$ e in $(1,0)$. I primi 2 li escludo perchè sono fuori dal quadrato...
A questo punto studio la
$Frontiera OA$ -> $x=0$ con $0 le y le 1$
$f(0,y)=-5y+2y^2-1$
$f'(0,y)=-5+4y$ -> $y=5/4$ che è fuori dal riquadro
$Frontiera AB$ -> $y=1$ con $0 le x le 1$
$f(x,1)=5x^2-4$
$f'(x,1)=10x$ -> $x=0$ -> $f(0,1)= -4$
$Frontiera BC$ -> $x=1$ con $0 le y le 1$
$f(1,y)=2y^2-1$
$f'(1,y)=4y$ -> $y=0$ -> $f(1,0)= -1$
$Frontiera OC$ -> $y=0$ con $0 le x le 1$
$f(x,0)=-1$
$f'(x,0)=0$ -> $f(x,0)= -1$
In questa funzione ho solo un minimo assoluto che è nel punto $A=(0,1)$
Però non ho studiato la funzione al suo interno ma solo nelle frontiere... come devo fare a studiarla all'interno??
2)Calcolare massimo e minimo assoluto della funzione $f(x,y)=(2xy-3y+1)/(x)-x^2$ nel rettangolo di vertici $A=(1,0)$, $B=(2,0)$, $C=(2,3)$, $D=(1,3)$
Anche qui calcolo le derivate prime parziali e le metto in sistema:
$f'_x(x,y)=(3y-1)/(x^2)-2x$
$f'_y(x,y)=2-(3y)/x$
In questo caso il sistema non si annulla... quindio non ho studiato nulla e ho messo che non ci sono massimi e minimi assoluti... ma mi pare di aver capito che così sbaglio.... potete correggermi gentilmente?
grazie ancora
"Bartolomeo":
ok..allora vi faccio vedere 2 esercizi che ho svolto...
1) Studiare la funzione $f(x,y) = 5y(x^2-1)+2y^2-1$ nel riquadro di vertici $A=(0,1)$, $B=(1,1)$, $C=(1,0)$ e $O=(0,0)$.
Calcoloto le derivate prima e le metto in sistema:
$f'_x(x,y) = 10xy$
$f'_y(x,y) = 5x^2-5+4y$
Questo sistema si annulla in $(0,5/4)$, $(-1,0)$ e in $(1,0)$. I primi 2 li escludo perchè sono fuori dal quadrato...
Devi escluderli tutti, perchè sono tutti punti di frontiera. In fatti i punti critici relativi alla frontiera li studi già separatamente.
"Bartolomeo":
Però non ho studiato la funzione al suo interno ma solo nelle frontiere... come devo fare a studiarla all'interno??
L'hai già fatto.. cerchi i punti dove il gradiente, se esiste, si annulla. E poi verifichi che tali punti siano interni al dominio che stia analizzando.
Ahhh ok ok .... quindi se non si annulla devo studiare solo i punti sulla frontiera... dunque il punto due era sbagliato... se si annulla e sono interni al dominio... li studio... ehm... ehm penso sostituendo il valore di x e y con il punto trovato... corretto?
"Bartolomeo":
Ahhh ok ok .... quindi se non si annulla devo studiare solo i punti sulla frontiera... dunque il punto due era sbagliato... se si annulla e sono interni al dominio... li studio... ehm... ehm penso sostituendo il valore di x e y con il punto trovato... corretto?
Se trovi dei punti interni al dominio dove il gradiente si annulla, si, hai trovato dei punti critici.
Devi poi capire di che natura siano tali punti, per esempio calcolando l'Hessiana o facendo uno studio della funzione nell'intorno dei punti critici.
Occhio ad una cosa però: i vertici dei quadrato della prima funzione che hai scritto, sono punti singolari della frontiera, quindi quando scrivi:
$Frontiera AB$ -> $y=1$ con $0 le x le 1$
$f(x,1)=5x^2-4$
$f'(x,1)=10x$ -> $x=0$ -> $f(0,1)= -4$
La x di questa funzione di 1 variabile che hai scritto, varia da 0 a 1, estremi esclusi! Stai cercando i punti in cui la derivata prima si annulla, e tali punti devono essere interni al dominio (in questo caso interni alla frontiera).
E' sempre lo stesso discorso se ci pensi.. in R^n studi il gradiente per i punti *interni*, in R studi la derivata prima per i punti *interni*.
(0, 1) è un punto singolare della frontiera, va studiato separatamente.
Concludendo, i 4 vertici, sono punti singolari della frontiera: alla fine non ti resta che valutare la funzione in questi 4 punti e vedere se ottieni valori maggiori o minori dei rispettivi massimi e minimi che avevi ottenuto in precedenza.
Detto in altro modo: muovendoti lungo un lato, può essere che un vertice sia un max o min per la funzione calcolata lungo quel lato, ma che non lo sia più per la funzione calcoalta muovendoti lungo un'altro lato da cui parte quel vertice; ecco perchè sono punti singolari della frontiera.
Spero di non aver detto castronerie e che eventualmente qualcuno intervenga a correggermi!
Anche perchè io credo di aver capito l'argomento, ma effettivamente ho difficoltà a spiegarlo a qualcun'altro..
"luke84":
[quote="Bartolomeo"]Ahhh ok ok .... quindi se non si annulla devo studiare solo i punti sulla frontiera... dunque il punto due era sbagliato... se si annulla e sono interni al dominio... li studio... ehm... ehm penso sostituendo il valore di x e y con il punto trovato... corretto?
Se trovi dei punti interni al dominio dove il gradiente si annulla, si, hai trovato dei punti critici.
Devi poi capire di che natura siano tali punti, per esempio calcolando l'Hessiana o facendo uno studio della funzione nell'intorno dei punti critici.
...
[/quote]
Dunque mi pare di aver capito che devo utilizzare lo stesso procedimento di quando faccio la ricerca degli estremi relativi o dei punti di sella... no?
"luke84":
(0, 1) è un punto singolare della frontiera, va studiato separatamente.
Concludendo, i 4 vertici, sono punti singolari della frontiera: alla fine non ti resta che valutare la funzione in questi 4 punti e vedere se ottieni valori maggiori o minori dei rispettivi massimi e minimi che avevi ottenuto in precedenza.
Detto in altro modo: muovendoti lungo un lato, può essere che un vertice sia un max o min per la funzione calcolata lungo quel lato, ma che non lo sia più per la funzione calcoalta muovendoti lungo un'altro lato da cui parte quel vertice; ecco perchè sono punti singolari della frontiera.
Spero di non aver detto castronerie e che eventualmente qualcuno intervenga a correggermi!
Anche perchè io credo di aver capito l'argomento, ma effettivamente ho difficoltà a spiegarlo a qualcun'altro..
si capisce che l'hai capito
c'è una cosa che vale la pena precisare: sembra che tu ritenga importante il fatto che in un "vertice" finisca un lato e ne cominci un altro
in realtà, anche se non ci fosse un altro lato, dovremmo mettere da parte il vertice, come sospettato sempre di poter essere punto di massimo o di minimo
come mai? il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non è altro che un metodo furbino per ridurre un problema di estremo vincolato ad uno libero (ovviamente qualcosa si paga: spunta quache variabile nuova...)
ho ribadito questo fatto (ben noto) per dire che i problemi che luke84 spiegava sopra non sono nient'altro che la vecchia riproposizione del fatto ultranoto che "gli estremi dell'intervallo di definizione" sono sempre da tenere come sospettati di essere punti di estremo per la funzione
faccio un esempio, per chiarire (spero...):
abbiamo $[a,b]$ ed $f:[a,b] -> RR$, continua
per Weierstrass ha max e min
supponiamo che $f$ sia derivabile su tutto $[a,b]$
allora i punti di massimo o minimo globale (=assoluto) si cercano fra:
- i punti $x$ in cui $f'(x) = 0$
- $a$, $b$
ciao
si forse ho capito... ciò vuol dire che dopo che cerco gli estremi nei lati li devo cercare anche nei vertici ponendo le variabili x e y della funzione uguale alle coordinate del punto del vertice....
per spiegarmi meglio che al solito sono contorto
se ho un vertice A=(0,1) devo studiare la funzione f(x,y) in quel punto.. dunque devo studiarmi a parte f(0,1)....
ho capito bene?
per spiegarmi meglio che al solito sono contorto
se ho un vertice A=(0,1) devo studiare la funzione f(x,y) in quel punto.. dunque devo studiarmi a parte f(0,1)....
ho capito bene?
"Bartolomeo":
si forse ho capito... ciò vuol dire che dopo che cerco gli estremi nei lati li devo cercare anche nei vertici ponendo le variabili x e y della funzione uguale alle coordinate del punto del vertice....
per spiegarmi meglio che al solito sono contorto
se ho un vertice A=(0,1) devo studiare la funzione f(x,y) in quel punto.. dunque devo studiarmi a parte f(0,1)....
ho capito bene?
sì
anche se io mi esprimerei in modo diverso
f(0,1) è un numero
c'è quindi poco da "studiarlo"
semplicemente, lo metti nel cestino dei sospettati, assieme agli altri che hai (eventualmente) trovato prima:
- dove si annulla il gradiente
- dove il gradiente non c'è
- quelli che vengono dal metodo di Lagrange
ed eventuali varianti sul tema
"Bartolomeo":
[quote="luke84"][quote="Bartolomeo"]Ahhh ok ok .... quindi se non si annulla devo studiare solo i punti sulla frontiera... dunque il punto due era sbagliato... se si annulla e sono interni al dominio... li studio... ehm... ehm penso sostituendo il valore di x e y con il punto trovato... corretto?
Se trovi dei punti interni al dominio dove il gradiente si annulla, si, hai trovato dei punti critici.
Devi poi capire di che natura siano tali punti, per esempio calcolando l'Hessiana o facendo uno studio della funzione nell'intorno dei punti critici.
...
[/quote]
Dunque mi pare di aver capito che devo utilizzare lo stesso procedimento di quando faccio la ricerca degli estremi relativi o dei punti di sella... no?[/quote]
E questa cosa qui è giusta?
"Bartolomeo":
Dunque mi pare di aver capito che devo utilizzare lo stesso procedimento di quando faccio la ricerca degli estremi relativi o dei punti di sella... no?
E questa cosa qui è giusta?
Cosa intendi? Nei procedimenti descritti oltre che ai massimi e minimi assoluti trovi anche quelli relativi (o eventuali punti di sella).
Ovviamente per trovare massimi/minimi assoluti ti basta confrontare i valori che la f assume in quei punti, se invece vuoi discriminare tra max/min/sella è un'altro discorso.
intendevo come trovare i punti di max e minimo assoluti che non sono sulle frontiere (se ci sono)...
"Fioravante Patrone":
[quote="luke84"]
Spero di non aver detto castronerie e che eventualmente qualcuno intervenga a correggermi!
Anche perchè io credo di aver capito l'argomento, ma effettivamente ho difficoltà a spiegarlo a qualcun'altro..
si capisce che l'hai capito
[/quote]
Aspetta aspetta, mi è già sorto un dubbio...
Facciamo un esempio che è meglio:
supponiamo di dover trovare l'immagine di f in
$A = {(x, y) in R^2: x >= y^2, x^2 + y^2 <= 2}$
A è dato dall'intersezione della circonferenza di centro l'origine e raggio $sqrt(2)$ e dalla parabola.
Per i punti interni non ci sono problemi..
Per la frontiera non ci sono problemi, prima considero il pezzo dato dalla circonferenza e poi quello dato dalla parabola (posso parametrizzare o applicare i moltiplicatori).
Restano 2 punti singolari della frontiera $(1, 1), (1, -1)$
Ora, ai fini dello studio dell'immagine di f, posso semplicemente calcolare quanto vale f in tali punti e confrontare i valori ottenuti con quelli ricavati precedentemente, e abbiamo fatto contento Weierstrass.
Ma non mi è chiara una cosa.. cosa significa applicare Lagrange relativamente a quei due punti? Cioè, cosa significa soddisfare le varie relazioni sui gradienti che i moltiplicatori impongono relativamente a quei due punti?
supponiamo $f(x, y) = x + y^2$
abbiamo il seguente sistema:
$1 = alpha*1 - beta*2*y$
$2y = alpha*2*x + beta*2*y$
$x - y^2 = 0$
$x^2 + y^2 - 2 = 0$
Questo sistema che informazioni mi da?
Grazie per il chiarimento.
beh io non sto capendo proprio niente... neanche come devo trovare i max e minimi all'interno del dominio...
"Bartolomeo":
intendevo come trovare i punti di max e minimo assoluti che non sono sulle frontiere (se ci sono)...
Prima abbiamo elencato i vari mod per trovare i punti *sospettati* ok? Ora se sup(f) e inf(f) sono finiti, esistono il massimo e il minimo assoluti e sono rispettivamente il valore max e min che la f assume nei punti che trovi nel cestino dei sospettati prima elencati, altrimenti massimo e minimo assoluti non esistono.
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