Max e Minimi ASSOLUTI di funzioni a due variabili

[Bartolomeo2]

ciao a tutti ho due dubbietti su come si trovano i max e i min assoluti delle funzioni a due variabili....

allora... il primo è:
Il sistema delle due derivate parzili prime si deve annullare per forza affinche esistano questi massimi e minimi? O questo ale sono nel caso di massimi e minimi relativi


il secondo è: coem faccio a capire doe si annulla il sistema? onestamente io vado a tentoni....

grazie

[Bartolomeo2]

ok penso ceh ci sono allora... grazie

[Fioravante Patrone1]

"luke84":
Restano 2 punti singolari della frontiera $(1, 1), (1, -1)$
Ora, ai fini dello studio dell'immagine di f, posso semplicemente calcolare quanto vale f in tali punti e confrontare i valori ottenuti con quelli ricavati precedentemente, e abbiamo fatto contento Weierstrass.

esatto

"luke84":
Ma non mi è chiara una cosa.. cosa significa applicare Lagrange relativamente a quei due punti? Cioè, cosa significa soddisfare le varie relazioni sui gradienti che i moltiplicatori impongono relativamente a quei due punti?
supponiamo $f(x, y) = x + y^2$
abbiamo il seguente sistema:
$1 = alpha*1 - beta*2*y$
$2y = alpha*2*x + beta*2*y$
$x - y^2 = 0$
$x^2 + y^2 - 2 = 0$
Questo sistema che informazioni mi da?
Grazie per il chiarimento.

infatti non applichi Lagrange
Lagrange si applica laddove il numero di vincoli $m$ è strettamente minore del numero $n$ di variabili
Oltretutto, la condizione di regolarità (avendo numero vincoli = numero incognite) ti direbbe che il vincolo $g(x)=0$ (qui $g:RR^n -> RR^n$) è localmente invertibile. Quindi che ti trovi in un punto isolato $\bar x$ dell'insieme ${ x \in RR^n \ : \ g(x)=0}$ e quindi non c'è spazio per poter fare alcuna derivata di sorta nel punto $\bar x$.


Quando dico che non puoi fare alcuna derivata, mi riferisco a due cose:

- per poter fare una derivata bisogna avere un punto di accumulazione perché la derivata è definita mediante un limite (questo in "sharp contrast" con la nozione di continuità che può essere definita anche evitando l'uso dei limiti: la ben nota condizione $\lim_{x -> x_0} f(x) = f(x_0)$ è semplicemente una condizione equivalente alla continuità se $x_0$ è di accumulazione per l'insieme di def di $f$)

- come detto in un mio precedente post: "il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non è altro che un metodo furbino per ridurre un problema di estremo vincolato ad uno libero". Quando dico che non si possono fare derivate non mi riferisco certo alla funzione obiettivo o alle funzioni che mi danno i vincoli (la $f$ e le $g_i$, nella iconografia più comune). Loro sono belle lisce e beatamente definite su insieme abbastanza grosso (magari tutto $RR^n$) e quidi restano derivabili. Mi riferisco alla funzione implicita definita dai vincoli, che è il tramite per arrivare, per l'appunto, ad un problema di minimo libero