Max e min su funzioni in due variabili

[Yayoyoddu]

Devo calcolare il max e min, più i relativi punti di max e min, della funzione $f(x,y)=(y+x)^2$ sul dominio $x^4-x^2+Y^2<=0$.
Il mio problema è che non riesco a capire dove si trova il mio dominio nel piano e di conseguenza non ho idea di chi siano i punti interni.

Mi date un consiglio?

Grazie

[*pizzaf40]

Anche senza capire la forma del dominio, è sufficiente trovare i punti di massimo e minimo relativo con le derivate parziali nulle e sostituirli nella disequazione del dominio per vedere se sono verificati.

Per massimi e minimi assoluti, è sufficiente trovare massimo e minimo dei punti della funzione che fanno anche parte della funzione del dominio, quindi:

${(z=(x+y)^2),(y^2=x^2-x^4):}$

${(z=x^2+y^2+2xy),(y=+-sqrt(x^2-x^4)):}$

$z_1=x^2+x^2-x^4+2xsqrt(x^2-x^4)=2xsqrt(x^2-x^4)-x^4$ per $x^2-x^4>=0$ => $-1<=x<=1$
$z_2=x^2+x^2-x^4-2xsqrt(x^2-x^4)=-2xsqrt(x^2-x^4)-x^4$ per $x^2-x^4<0$ => $x<-1$ 3 $x>1$

così indentifichi le curve date dall'intersezione tra la superficie della funzione $z$ e la supercicie del dominio, o meglio, la sua proiezione sul piano $xz$.
Derivando rispetto ad $x$ e uguagliano a zero dovresti trovare i punti di massimo e minimo appartenenti alla curva, cioè i punti con $z$ maggiore e minore appartenenti al bordo del dominio..