Max e min relativi e assoluti
Sono incappato in una situazione un po' particolare, e prima di proseguire volevo chiedervi se non ho commesso errori.
Devo calcolare massimi e minimi relativi e assoluti della funzione:
$f(x) =$ $log(x^2 - 1) + 1/(x^2 - 1)$
Quindi il dominio è: $x in ]-oo, -1[ uu ]1, +oo[$
Allora, la derivata prima mi viene:
$f'(x) =$ $(2x^3 - 4x)/(x^4 - 2x^2 + 1)$
Ponendola maggiore di zero, mi trovo questi valori di x:
$-1 < x < -sqrt(2) uu$ $0 < x < sqrt(2) uu$ $x > 1$
Ora, sono valori che non posso accettare in quanto non sono compresi nel dominio. E' possibile che questa funzione non ha limiti relativi?
Lo chiedo perchè era in un compito della mia professoressa, mi è sembrato un po' strano che non ci fossero limiti relativi.
Devo calcolare massimi e minimi relativi e assoluti della funzione:
$f(x) =$ $log(x^2 - 1) + 1/(x^2 - 1)$
Quindi il dominio è: $x in ]-oo, -1[ uu ]1, +oo[$
Allora, la derivata prima mi viene:
$f'(x) =$ $(2x^3 - 4x)/(x^4 - 2x^2 + 1)$
Ponendola maggiore di zero, mi trovo questi valori di x:
$-1 < x < -sqrt(2) uu$ $0 < x < sqrt(2) uu$ $x > 1$
Ora, sono valori che non posso accettare in quanto non sono compresi nel dominio. E' possibile che questa funzione non ha limiti relativi?
Lo chiedo perchè era in un compito della mia professoressa, mi è sembrato un po' strano che non ci fossero limiti relativi.
Risposte
In effetti mi sono complicato un bel po' la vita..
Ho la funzione
$f(x) = x * |logx|$
Esiste in $]0, +oo[$. Ho fatto i limiti:
$\lim_{x \to \0^+} f(x) = 0$
$\lim_{x \to \+oo} f(x) = +oo$
Ammette minimo assoluto ma non massimo assoluto, giusto?
$f(x) = x * |logx|$
Esiste in $]0, +oo[$. Ho fatto i limiti:
$\lim_{x \to \0^+} f(x) = 0$
$\lim_{x \to \+oo} f(x) = +oo$
Ammette minimo assoluto ma non massimo assoluto, giusto?
"Mr.Mazzarr":
Esiste in $]0, +oo[$
Infatti... Nonostante wolframalpha la pensi in modo diverso!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x+|log%28x%29|
In teoria un massimo assoluto non c'è perché per $x->+\infty$ la funzione tende essa stessa a $+\infty$.
Aspetta Zero, non ho capito. Ho ragione io o Wolfram Alpha?
Riguardo il massimo assoluto, come ho detto anche io non ci dovrebbe essere. Tendendo la funzione a $+oo$ è $+oo$ il risultato.
Riguardo il massimo assoluto, come ho detto anche io non ci dovrebbe essere. Tendendo la funzione a $+oo$ è $+oo$ il risultato.
Per me tu (e non solo per me dato che $log(x)$ non è definito per $x<=0$). Il modulo "abbraccia" il logaritmo, non è $log(|x|)$ ma $|log(x)|$ che ha lo stesso dominio di $log(x)$.
Per il massimo avevo capito il contrario (ho sbagliato a leggere), pensavo che dicessi che non avesse minimo.
Per il massimo avevo capito il contrario (ho sbagliato a leggere), pensavo che dicessi che non avesse minimo.
Ah okok. Non so però perchè Wolfram Alpha da valori anche prima dello $0$.
Rientra nel campo dei numeri complessi?
Rientra nel campo dei numeri complessi?
"Mr.Mazzarr":
Ah okok. Non so però perchè Wolfram Alpha da valori anche prima dello $0$.
Rientra nel campo dei numeri complessi?
Non lo so, so solo che ogni tanto "mescola" e alcune volte, come in questo caso, non si sa cosa ci restituisce... (in genere permette di selezionare "real plot" o "imaginary plot"... roba da English corner
).
Zero, ho questa funzione:
$f(x) = 2x - tgx$
Come controllo l'esistenza dei max e dei min assoluti? Il limite a $pm oo$ ( gli estremi del Dominio ) non esiste, è oscillante!
$f(x) = 2x - tgx$
Come controllo l'esistenza dei max e dei min assoluti? Il limite a $pm oo$ ( gli estremi del Dominio ) non esiste, è oscillante!
"Mr.Mazzarr":
Il limite a $pm oo$ ( gli estremi del Dominio ) non esiste, è oscillante!
Infatti, il limite è un problema.
Però seguo il metodo di gio73 dell'immaginare il grafico.
Aguzzando la vista, vediamo che questa funzione è differenza tra:
- un "tranquillissimo" $2x$;
- un $tg(x)$ tutt'altro che tranquillo e che a intervalli limitati possiede discontinuità (cioè va a $+\infty$ e a $-\infty$).
A parte questo, sai che la somma di funzioni continue è continua anch'essa eccetto in eventuali punti di discontinuità (non dirmi che teorema è perché non me lo ricordo
). Quindi puoi vedere cosa succede in uno di questi, ad esempio in $\pi/2$.Senza fare innumerevoli conti, puoi verificare che a destra di $\pi/2$ la funzione tende a $+\infty$ mentre a sinistra tende a $-\infty$.
Dato che si tratta di una funzione continua e ho trovato che in almeno un punto va a $+\infty$ da destra e a $-\infty$ da sinistra quindi massimi/minimi assoluti non ci sono$ proprio perché arriva agli infiniti.
E' un po' contorto come ragionamento... però... it works
Per quelli relativi il calcolo è semplice: quando derivi, siccome una delle due funzioni è lineare... "sparisce"
Mmm vediamo se ho capito il tuo discorso...
In pratica abbiamo un limite oscillante agli estremi, perchè stiamo lavorando su una funzione un po' contrastante. Abbiamo una funzione di x in somma con una trigonometrica che con $x->pmoo$ non esiste. A tal proposito, andiamo a fare il limite nei punti in cui si annulla, vedendoli da dx e da sx per vedere come la funzione si '' stacca '' da quei punti notevoli.
Giusto ?
In pratica abbiamo un limite oscillante agli estremi, perchè stiamo lavorando su una funzione un po' contrastante. Abbiamo una funzione di x in somma con una trigonometrica che con $x->pmoo$ non esiste. A tal proposito, andiamo a fare il limite nei punti in cui si annulla, vedendoli da dx e da sx per vedere come la funzione si '' stacca '' da quei punti notevoli.
Giusto ?
"Mr.Mazzarr":
A tal proposito, andiamo a fare il limite nei punti in cui si annulla, vedendoli da dx e da sx per vedere come la funzione si '' stacca '' da quei punti notevoli.
Pressappoco sì, anche se chiarisco qualche punto.
In generale "questo" è un metodo: cioè quando non so cosa fa la funzione all'infinito, mi si "accende" un campanello d'allarme perché mi ricordo che la tangente va a $+-\infty$ come se piovesse.
Allora sfrutto questo fatto (c'è di mezzo il teorema che ho detto prima, cioè "somma di funzioni continue è continua eccetto discontinuità presenti in almeno una delle due") e vedo che, effettivamente, la tangente ha questi problemi strani e che quindi concludo che non esistono massimi e minimi "assoluti" (relativi non lo so, però) dopo aver verificato una di queste.
Cioè, quando il limite non c'è (e non solo lì, prendi ad esempio - esempio piuttosto semplice, in verità, ma rende l'idea - $1/x$ che tende a zero in entrambi i fronti), ci si deve ingegnare e vedere che succede nelle discontinuità.
Il discorso è che bisogna capire dove finisce la propria incapacità nel calcolo dei limiti e dove inizia la reale inesistenza del limite stesso. Sinceramente in un compito avrei pensato di essere incapace nel fare il limite, non che fosse oscillante!
Quindi Zero tu consigli di studiare i punti di discontinuità della funzione in casi di funzione oscillante?
E come studio gli eventuali risultati del limite in quei punti? Direi che se convergono, allora c'è un max o min assoluto ( min se parlo di limite da dx, max se parlo di limite da sx ), se divergono non c'è alcun max o min assoluto. No?
Quindi Zero tu consigli di studiare i punti di discontinuità della funzione in casi di funzione oscillante?
E come studio gli eventuali risultati del limite in quei punti? Direi che se convergono, allora c'è un max o min assoluto ( min se parlo di limite da dx, max se parlo di limite da sx ), se divergono non c'è alcun max o min assoluto. No?
Capitolo massimi assoluti, sempre lo studio della loro esistenza.
Ho una funzione il cui dominio è, ad esempio, $]-oo, 1[ uu ]1, +oo[$.
Oltre a fare il limite con $x-> pm oo$, devo fare anche il limite con $x->1^pm$.
Ma come devo '' studiare '' i risultati dei limiti? Fosse stata una funzione definita in tutto $RR$, avrei detto semplicemente che se i risultati dei limiti agli estremi sono $pm oo$ allora non è limitata. Ma c'è anche il limite a $1^pm$ che non so studiare.
Ho una funzione il cui dominio è, ad esempio, $]-oo, 1[ uu ]1, +oo[$.
Oltre a fare il limite con $x-> pm oo$, devo fare anche il limite con $x->1^pm$.
Ma come devo '' studiare '' i risultati dei limiti? Fosse stata una funzione definita in tutto $RR$, avrei detto semplicemente che se i risultati dei limiti agli estremi sono $pm oo$ allora non è limitata. Ma c'è anche il limite a $1^pm$ che non so studiare.
"Mr.Mazzarr":
Ho una funzione il cui dominio è, ad esempio, $]-oo, 1[ uu ]1, +oo[$.
Oltre a fare il limite con $x-> pm oo$, devo fare anche il limite con $x->1^pm$.
Io farei così, infatti. In modo che - se non è limitata - lo vedo subito (mi spiace che non t'ho risposto prima, ma sono tornato da poco).
Per l'esempio, postalo con vari passaggi... poi ti daremo una mano
[size=90]PS. Come è andata oggi?[/size]
Riuppo un attimo per una domanda stupida ma a cui devo dare una risposta 
Il massimo assoluto (e il minimo assoluto) è unico?
Il massimo assoluto (e il minimo assoluto) è unico?
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