Max e min relativi e assoluti
Sono incappato in una situazione un po' particolare, e prima di proseguire volevo chiedervi se non ho commesso errori.
Devo calcolare massimi e minimi relativi e assoluti della funzione:
$f(x) =$ $log(x^2 - 1) + 1/(x^2 - 1)$
Quindi il dominio è: $x in ]-oo, -1[ uu ]1, +oo[$
Allora, la derivata prima mi viene:
$f'(x) =$ $(2x^3 - 4x)/(x^4 - 2x^2 + 1)$
Ponendola maggiore di zero, mi trovo questi valori di x:
$-1 < x < -sqrt(2) uu$ $0 < x < sqrt(2) uu$ $x > 1$
Ora, sono valori che non posso accettare in quanto non sono compresi nel dominio. E' possibile che questa funzione non ha limiti relativi?
Lo chiedo perchè era in un compito della mia professoressa, mi è sembrato un po' strano che non ci fossero limiti relativi.
Devo calcolare massimi e minimi relativi e assoluti della funzione:
$f(x) =$ $log(x^2 - 1) + 1/(x^2 - 1)$
Quindi il dominio è: $x in ]-oo, -1[ uu ]1, +oo[$
Allora, la derivata prima mi viene:
$f'(x) =$ $(2x^3 - 4x)/(x^4 - 2x^2 + 1)$
Ponendola maggiore di zero, mi trovo questi valori di x:
$-1 < x < -sqrt(2) uu$ $0 < x < sqrt(2) uu$ $x > 1$
Ora, sono valori che non posso accettare in quanto non sono compresi nel dominio. E' possibile che questa funzione non ha limiti relativi?
Lo chiedo perchè era in un compito della mia professoressa, mi è sembrato un po' strano che non ci fossero limiti relativi.
Risposte
Dal mio libro leggo che se la funzione esiste in un dominio con estremi aperti ( tipo $pm oo$ ) ed il limite ad essi da $pm oo$, vuol dire che non esistono max e/o min assoluti.
Se le divergenze delle quali parli non avvengono tutte nello stesso verso,
hai ragione ad affermare che ne consegue l'illimitatezza sia inferiore che superiore dell'immagine d'una funzione:
è che l'ipotesi di questa condizione sufficiente non è rispettata dalla $f$ oggetto di questo thread..
Saluti dal web.
hai ragione ad affermare che ne consegue l'illimitatezza sia inferiore che superiore dell'immagine d'una funzione:
è che l'ipotesi di questa condizione sufficiente non è rispettata dalla $f$ oggetto di questo thread..
Saluti dal web.
L'illimitatezza quindi è confermata solo se:
$\lim_{x \to \+infty} f(x)$ $=-oo$
$\lim_{x \to \-infty} f(x)$ $=+oo$
$\lim_{x \to \+infty} f(x)$ $=-oo$
$\lim_{x \to \-infty} f(x)$ $=+oo$
Ciao
Sarebbe meglio affermare che non esistono minimi (massimi) assoluti poiché agli estremi del dominio la funzione diverge verso $-oo$ ($+oo$).
Sarebbe meglio affermare che non esistono minimi (massimi) assoluti poiché agli estremi del dominio la funzione diverge verso $-oo$ ($+oo$).
@M
mmm
e se $lim_(x->+oo)=0$, $lim_(x->-oo)=0$ma
$lim_(x->0^+)=+oo$ e $lim_(x->0^-)=-oo$?
pensa al grafico dell'iperbole $f(x)=1/x$
Edit: ciao Branca, mi precedi sempre di un soffio.
mmm
e se $lim_(x->+oo)=0$, $lim_(x->-oo)=0$ma
$lim_(x->0^+)=+oo$ e $lim_(x->0^-)=-oo$?
pensa al grafico dell'iperbole $f(x)=1/x$
Edit: ciao Branca, mi precedi sempre di un soffio.
Aspettate, mi sto un secondo perdendo. Vi riporto la teoria del mio libro:
$f(x) in ]a, b[$, allora:
$\lim_{x \to \a} f(x)$ $=-oo$ $->$ esiste massimo assoluto
$\lim_{x \to \b} f(x)$ $=+oo ->$ esiste minimo assoluto
Ovviamente a e b possono essere anche $-oo$ e $+oo$.
Ecco, io qui non ho captato bene il perchè. Capisco se invece quel risultato dei limiti mi comporta l'inesistenza rispettivamente di min e max assoluto.
$f(x) in ]a, b[$, allora:
$\lim_{x \to \a} f(x)$ $=-oo$ $->$ esiste massimo assoluto
$\lim_{x \to \b} f(x)$ $=+oo ->$ esiste minimo assoluto
Ovviamente a e b possono essere anche $-oo$ e $+oo$.
Ecco, io qui non ho captato bene il perchè. Capisco se invece quel risultato dei limiti mi comporta l'inesistenza rispettivamente di min e max assoluto.
"Mr.Mazzarr":
$f(x) in ]a, b[$, allora:
$\lim_{x \to \a} f(x)$ $=-oo$ $->$ esiste massimo assoluto
$\lim_{x \to \b} f(x)$ $=+oo ->$ esiste minimo assoluto
Ovviamente a e b possono essere anche $-oo$ e $+oo$.
Scritta così non è assolutamente corretta...
Esempio banale: $f(x)=x:RR->RR$
$lim_(x ->-oo)x=-oo$, ma non per questo esiste un massimo assoluto, tanto è vero che $lim_(x ->+oo)x=+oo$
$lim_(x ->+oo)x=+oo$, ma non per questo esiste un minimo assoluto, tanto è vero che $lim_(x ->-oo)x=-oo$
Sei sicuro che questo non sia solo un passaggio del tuo libro?
EDIT:
Ciao gio73
Getto il libro, faccio prima. 
Quindi, ricapitolando un attimo. Appena mi chiede di trovare gli estremi relativi, mi conviene andare a dare un'occhiata ai limiti per controllarne l'esistenza, no?
Quindi, ricapitolando un attimo. Appena mi chiede di trovare gli estremi relativi, mi conviene andare a dare un'occhiata ai limiti per controllarne l'esistenza, no?
Per quelli assoluti sì, per quelli relativi no.
In generale, data una funzione continua, per provare la non esistenza di massimo/minimo assoluto ti basta controllare i limiti agli estremi del dominio: se almeno uno diverge a $+oo$ (-oo), allora non esiste massimo (minimo) assoluto. Se invece tali limiti non divergono, bisogna allora controllare quale tra tutti i massimi (minimi) relativi sia il maggiore (minore).
Per trovare invece i massimi/minimi relativi, invece, bisogna studiare la derivata prima.
EDIT:
Esempio: per trovare i massimi/minimi relativi di $f(x)=x^3+x^2+1$ lo studio dei limiti all'infinito certamente ti informa se esistono massimi/minimi assoluti, ma non può esserti d'aiuto per sapere qualcosa su quelli relativi: in questo caso uno studio della derivata prima ti toglie ogni dubbio.
In generale, data una funzione continua, per provare la non esistenza di massimo/minimo assoluto ti basta controllare i limiti agli estremi del dominio: se almeno uno diverge a $+oo$ (-oo), allora non esiste massimo (minimo) assoluto. Se invece tali limiti non divergono, bisogna allora controllare quale tra tutti i massimi (minimi) relativi sia il maggiore (minore).
Per trovare invece i massimi/minimi relativi, invece, bisogna studiare la derivata prima.
EDIT:
Esempio: per trovare i massimi/minimi relativi di $f(x)=x^3+x^2+1$ lo studio dei limiti all'infinito certamente ti informa se esistono massimi/minimi assoluti, ma non può esserti d'aiuto per sapere qualcosa su quelli relativi: in questo caso uno studio della derivata prima ti toglie ogni dubbio.
Ovviamente volevo scrivere assoluti.
I limiti agli estremi del dominio lo faccio ogni volta che mi chiede max o min assoluti? O ci sono alcune restrizioni?
Ad esempio se il dominio è un intervallo chiuso.
I limiti agli estremi del dominio lo faccio ogni volta che mi chiede max o min assoluti? O ci sono alcune restrizioni?
Ad esempio se il dominio è un intervallo chiuso.
Dipende.
Se il dominio è un intervallo chiuso $[a,b]$, il teorema di Weierstrass afferma che la funzione assume massimi e minimi assoluti in tale intervallo, ma non è detto che siano in $a$ o in $b$.
Se il dominio è un intervallo chiuso $[a,b]$, il teorema di Weierstrass afferma che la funzione assume massimi e minimi assoluti in tale intervallo, ma non è detto che siano in $a$ o in $b$.
Potrebbero essere però.
Ricapitolando, la prima cosa che faccio quando ho max e min assoluti è osservare il dominio.
Se è aperto: limite agli estremi per studiare l'eventuale convergenza e divergenza.
Se è chiuso: considero gli estremi stessi come eventuali max e min assoluti.
Nel caso in cui ho, dopo questo studio, max e min assoluti, vado a considerare eventuali estremi dell'intervallo se chiuso, punti in cui la derivata prima è uguale a 0 e punti di non derivabilità ( ovvero punti dove esiste la primitiva ma non la derivata prima, in poche parole un confronto tra dominio della primitiva e dominio della derivata ).
Bene così, grazie mille a tutti per l'aiuto
Ricapitolando, la prima cosa che faccio quando ho max e min assoluti è osservare il dominio.
Se è aperto: limite agli estremi per studiare l'eventuale convergenza e divergenza.
Se è chiuso: considero gli estremi stessi come eventuali max e min assoluti.
Nel caso in cui ho, dopo questo studio, max e min assoluti, vado a considerare eventuali estremi dell'intervallo se chiuso, punti in cui la derivata prima è uguale a 0 e punti di non derivabilità ( ovvero punti dove esiste la primitiva ma non la derivata prima, in poche parole un confronto tra dominio della primitiva e dominio della derivata ).
Bene così, grazie mille a tutti per l'aiuto
Non ho risultati del libro, potreste dirmi se ho fatto bene?
$f(x) = log(x^2-2x) + 1/(x^2-2x)$
DOMINIO
$x in ]-oo, 0[ uu ]2, +oo[$
ESTREMI RELATIVI
Ho posto ovviamente la derivata prima maggiore di zero, ovvero:
$((2x-2)[x^2 - 2x - 1])/(x^2-2x)^2$ $>0$
E mi risultano: $1-sqrt(2)$ e $1+sqrt(2)$ punti di minimo relativo, $1$ punto di massimo relativo.
ESTREMI ASSOLUTI
Ho fatto i limiti agli estremi dell'intervallo del dominio, e viene $-oo$ e $+oo$ ai limiti agli estremi $-oo$ e $+oo$. Quindi deduco che non ammette estremi assoluti.
ASINTOTI VERTICALI
Ho studiato il limite nei punti in cui la funzione non è definita. In questo caso ho fatto limiti a $0^(pm)$ e $2^(pm)$. Punti non interni all'intervallo; ad $1$ la funzione non esiste proprio, quindi non l'ho preso in considerazione. E comunque ci sono asintoti verticali in $0$ e $2$ poiché il risultato di quei limiti è sempre $-oo$.
ASINTOTI ORIZZONTALI
Ho fatto il limite a $pm oo$ della funzione e risulta $+oo$ quando la x tende a $+oo$ e $-oo$ quando la x tende a $-oo$. Quindi non ci sono asintoti orizzontali.
ASINTOTI OBLIQUI
Ho calcolato il valore di $m$, che deve essere diverso da $pm oo$ e da $0$. Solo che il limite con $x->+oo$ di $(f(x))/x$ risulta $0$, quindi non esiste nemmeno l'asintoto obliquo.
LA FUNZIONE E' LIMITATA?
Considerando che il limite a $pm oo$ della funziona da $pm oo$, si può dire che la funzione non è limitata.
$f(x) = log(x^2-2x) + 1/(x^2-2x)$
DOMINIO
$x in ]-oo, 0[ uu ]2, +oo[$
ESTREMI RELATIVI
Ho posto ovviamente la derivata prima maggiore di zero, ovvero:
$((2x-2)[x^2 - 2x - 1])/(x^2-2x)^2$ $>0$
E mi risultano: $1-sqrt(2)$ e $1+sqrt(2)$ punti di minimo relativo, $1$ punto di massimo relativo.
ESTREMI ASSOLUTI
Ho fatto i limiti agli estremi dell'intervallo del dominio, e viene $-oo$ e $+oo$ ai limiti agli estremi $-oo$ e $+oo$. Quindi deduco che non ammette estremi assoluti.
ASINTOTI VERTICALI
Ho studiato il limite nei punti in cui la funzione non è definita. In questo caso ho fatto limiti a $0^(pm)$ e $2^(pm)$. Punti non interni all'intervallo; ad $1$ la funzione non esiste proprio, quindi non l'ho preso in considerazione. E comunque ci sono asintoti verticali in $0$ e $2$ poiché il risultato di quei limiti è sempre $-oo$.
ASINTOTI ORIZZONTALI
Ho fatto il limite a $pm oo$ della funzione e risulta $+oo$ quando la x tende a $+oo$ e $-oo$ quando la x tende a $-oo$. Quindi non ci sono asintoti orizzontali.
ASINTOTI OBLIQUI
Ho calcolato il valore di $m$, che deve essere diverso da $pm oo$ e da $0$. Solo che il limite con $x->+oo$ di $(f(x))/x$ risulta $0$, quindi non esiste nemmeno l'asintoto obliquo.
LA FUNZIONE E' LIMITATA?
Considerando che il limite a $pm oo$ della funziona da $pm oo$, si può dire che la funzione non è limitata.
"Mr.Mazzarr":
Non ho risultati del libro, potreste dirmi se ho fatto bene?
$f(x) = log(x^2-2x) + 1/(x^2-2x)$
DOMINIO
$x in ]-oo, 0[ uu ]2, +oo[$
ESTREMI RELATIVI
Ho posto ovviamente la derivata prima maggiore di zero, ovvero:
$((2x-2)[x^2 - 2x - 1])/(x^2-2x)^2$ $>0$
E mi risultano: $1-sqrt(2)$ e $1+sqrt(2)$ punti di minimo relativo, $1$ punto di massimo relativo.
Ma $x=1$ non avevi detto che non era nel dominio? Ricordi: la ascissa deve essere minore di 0 o maggiore di 2, dunque $x=1$ non la posso considerare perchè la funzione lì proprio non c'è, or I'm wrong?
Sì giusto, mea culpa. Eccetto quest'errore riguardo il massimo locale, c'è altro di sbagliato gio?
"Mr.Mazzarr":
Non ho risultati del libro, potreste dirmi se ho fatto bene?
$f(x) = log(x^2-2x) + 1/(x^2-2x)$
DOMINIO
$x in ]-oo, 0[ uu ]2, +oo[$
ESTREMI ASSOLUTI
Ho fatto i limiti agli estremi dell'intervallo del dominio, e viene $-oo$ e $+oo$ ai limiti agli estremi $-oo$ e $+oo$. Quindi deduco che non ammette estremi assoluti.
Hi, I'm very tired tonight...
ma ho provato a farmi un'idea della nostra funzione e non mi sembra che vada mai a $-oo$, ma ripeto magari mi sbaglio. Rifai i limiti uno per uno, se non te li guarda nessuno stasera, domani li vedo: good night.
"Mr.Mazzarr":
Sì giusto, mea culpa. Eccetto quest'errore riguardo il massimo locale, c'è altro di sbagliato gio?
Massimo locale? Come fai a dire che quei punti sono dei massimi locali?
"Mr.Mazzarr":
ESTREMI ASSOLUTI
Ho fatto i limiti agli estremi dell'intervallo del dominio, e viene $-oo$ e $+oo$ ai limiti agli estremi $-oo$ e $+oo$. Quindi deduco che non ammette estremi assoluti.
"Mr.Mazzarr":
ASINTOTI VERTICALI
Ho studiato il limite nei punti in cui la funzione non è definita. In questo caso ho fatto limiti a $0^(pm)$ e $2^(pm)$. Punti non interni all'intervallo; ad $1$ la funzione non esiste proprio, quindi non l'ho preso in considerazione. E comunque ci sono asintoti verticali in $0$ e $2$ poiché il risultato di quei limiti è sempre $-oo$.
"Mr.Mazzarr":
ASINTOTI ORIZZONTALI
Ho fatto il limite a $pm oo$ della funzione e risulta $+oo$ quando la x tende a $+oo$ e $-oo$ quando la x tende a $-oo$. Quindi non ci sono asintoti orizzontali.
"Mr.Mazzarr":
LA FUNZIONE E' LIMITATA?
Considerando che il limite a $pm oo$ della funziona da $pm oo$, si può dire che la funzione non è limitata.
Puoi inserire il tuo svolgimento dei limiti?
Brancaleone infatti l'errore era quello di considerare 1 come massimo relativo, quando lì la funzione non esiste proprio.
Riguardo lo svolgimento dei limiti, fra poco te li scrivo ma comunque è vero, non tendono a $-oo$.
Riguardo lo svolgimento dei limiti, fra poco te li scrivo ma comunque è vero, non tendono a $-oo$.
Ti scrivo il limite a $+oo$ come l'ho svolto:
$\lim_{x \to \infty} log(x^2-2x)+1/(x^-2x)$ $=$ $\lim_{x \to \infty} (log(x^2-2x)(x^2-2x)+1)/(x^2-2x)$
Applico De L'Hopital:
$\lim_{x \to \infty} [(2x-2) + log(x^2-2x)*(2x-2)]*1/(2x-2)$ $=$ $\lim_{x \to \infty} 1+log(x^2-2x)$ $= +oo$
Tutto esatto?
$\lim_{x \to \infty} log(x^2-2x)+1/(x^-2x)$ $=$ $\lim_{x \to \infty} (log(x^2-2x)(x^2-2x)+1)/(x^2-2x)$
Applico De L'Hopital:
$\lim_{x \to \infty} [(2x-2) + log(x^2-2x)*(2x-2)]*1/(2x-2)$ $=$ $\lim_{x \to \infty} 1+log(x^2-2x)$ $= +oo$
Tutto esatto?
Sì ok, anche se avresti fatto prima così:
$lim_(x->+oo) ln(x^2-2x)+1/(x^2-2x)=+oo+0=+oo$
$lim_(x->+oo) ln(x^2-2x)+1/(x^2-2x)=+oo+0=+oo$
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