Max e Min relativi di funz. a 2 variabili con Hessiano nullo

[qwert90]

salve a tutti , ho qualche difficoltà con la ricerca di massimi e minimi di funzioni a due variabili quqando l'Hessiano è nullo.

ad esempio ho la funzione:

f(x,y) = $x^2$ - x$y^2$

calcolo :

$f_x$ = 2x - $y^2$

$f_y$ = -2xy

risolvo il sistema che ha per equzioni le due derivate parziali (che pongo uguali a zero entrambe)
e mi trovo che l'unico punto stazionario della funzione è il punto :

P (0,0)

vado a scrivere la matrice hessiana e ne calcolo il determinante considerando che il punto P ($x_0$, $y_0$) in cui vado a calcolarlo è il punto P= (0,0) e mi trovo che esso è nullo .

Ora come dovrei procedere per determinare la natura di tale punto e quindi per dire se è d minimo di massimo o punto sella??

Se potete datemi una mano
Ve ne sarei grato.


grazie anticipatamente a chi risponderà.

[Camillo]

Devi fare uno studio locale della funzione nell'intorno del punto $(0,0)$.
Riscrivi così la funzione $f(x,y)=x(x-y^2)$
Nell'origine la funzione vale $0$ ; vale $0$ anche lungo la retta $x=0 $ , cioè l'asse $y$ e anche lungo la parabola di equazione $x=y^2 $.
Bisogna studiare , sempre nell'intorno del punto critico cioè l'origine, quanto vale $Delta f = f(x,y) -f(0,0)=f(x,y)=x(x-y^2)$.
Fai uno studio del segno di $Delta f $ : se è $>0 $ allora l'origine è un punto di minimo; se è $ < 0 $ allora l'origine è un punto di max .
Se invece $Delta f $cambia segno allora l'origine è punto di sella.

[qwert90]

grazie mille camillo
ho seguito il tuo consiglio..
mi trovo che la funzione è positiva per
x >0 e $y^2$< x

se ho sbagliato qualcosa nello studio del segno della funzione fammelo sapere

il punto (0,0) sarebbe di sella vero??
grazie mille

[Gatto891]

"qwert90":
$x > 0$ e $y^2 < x$

E non solo... suppongo per trovarlo hai risolto $x(x -y^2) > 0$, ma ricordati che è verificato anche quando sono entrambi negativi

[qwert90]

esatto hai ragione,,,

quindi verrebbe che la funzione è positiva anche per

x<0 e $y^2$ >x

è cosi??

ma allora P= (0,0) sarebbe un punto di sella ??

mi sto confondendo un tantino

grazie 1000 per l'aiuto

[qwert90]

ho qualche problema nello studio del sengo della funzione... ci sto provando

[Gatto891]

Perchè questi dubbi? Lo studio del segno l'hai fatto bene, la funzione è positiva in ${x>0, y^2x}$... ora ti puoi accorgere (e se ti fai il disegno aiuta molto) che il punto $(0,0)$ è di sella perchè comunque preso un intorno di $(0,0)$ la funzione assume al suo interno sia valori positivi che negativi.

[qwert90]

Grazie di cuore a Gatto 89 e Camillo

[obelix23]

scusate il punto (0,0)è una sella perche quando si va a fare il grafico delle soluzione di x>0 e x>y^2 oppure di x<0 e x

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[kiblast]

"Camillo":
Bisogna studiare , sempre nell'intorno del punto critico cioè l'origine, quanto vale $Delta f = f(x,y) -f(0,0)=f(x,y)=x(x-y^2)$.
Fai uno studio del segno di $Delta f $ : se è $>0 $ allora l'origine è un punto di minimo; se è $ < 0 $ allora l'origine è un punto di max .
Se invece $Delta f $cambia segno allora l'origine è punto di sella.

Scusate la domanda, al quanto stupida, ma che mi sta mettendo in crisi:
Una volta valutato il $\Deltaf$ come lo studio il segno, lo pongo maggiore di zero e calcolo una delle 2 incognite, giusto?

Ho questa funzione :$ y^2tgx $ e come punto stazionario (x,0).

Pongo: $\Deltaf= y^2tgx => y^2tgx>0 => tgx>0$

Giusto? Ma una volta ricavato ció, come ricavo la natura del gruppo di punti?!?