Max e min di $f(x,y)$.. primo dubbio..

[21zuclo]

Ciao a tutti, sono ai primi esercizi sui massimi e minimi in 2 variabili. Ho un dubbio come capire se i punti di massimo e di minimo relativi, sono pure massimi e minimi relativi? Aiutatemi per favore, grazie in anticipo

Posto un esercizio che ho fatto
Devo trovare i punti critici della funzione e studiarne la natura $ f(x,y)=2x^3+y^3-3x^2-3y $

ho provato svolgere l'esercizio così

(salto alcuni passaggi),
ho calcolato il gradiente in un vettore generico $ grad f((x),(y))=((6x^2-6x),(3y^2-3)) $

ora pongo, per trovare i punti stazionari $ grad f ((x),(y))=\ul(0)\to { ( 6x^2-6x=0 ),( 3y^2-3=0 ):}\to { ( x^2-x=0 ),( y^2-1=0 ):} $

e mi trovo i 4 punti stazionari $ \ul p_1=((0),(1)), \ul p_2=((0),(-1)), \ul(p_3)=((1),(1)), \ul(p_4)=((1),(-1)) $

ora mi calcolo la matrice Hessiana in un generico vettore $((x),(y))$

$ H f((x),(y))=( ( 12x-6 , 0 ),( 0 , 6y ) ) $

ora la valuto nei punti stazionari trovati prima
$ H f((0),(1))=( ( -6 , 0 ),( 0 , 6 ) ) \to det | ( -6 , 0 ),( 0 , 6 ) |=-36 <0 $
siccome il determinante è minore di 0, il punto $((0),(1))$ è di sella

allo stesso modo trovo che è di sella pure il punto $((1),(-1))$ in quanto il determinante della matrice hessiana viene negativo.

quindi i punti di sella sono $((0),(1)),((1),(-1))$

Ora mi calcolo l'hessiana in $((0),(-1))$
$ H f((0),(-1))=( ( -6 , 0 ),( 0 , -6 ) ) \to det | ( -6 , 0 ),( 0 , -6 ) |=+36 >0 $ e $ partial_ (x x )f((0),(-1))=-6<0 $

quindi il punto $((0),(-1))$ è di max locale

allo stesso modo trovo che il punto $((1),(1))$ è di minimo locale, in quanto il determinante della matrice hessiana è positivo e la derivata seconda rispetto a $x$ è positiva

ORA che ho detto quali sono i punti di max e minimo locale, come faccio a stabilire se sono relativi o assoluti?
Mi perdo in quest'ultima cosa.

ah so che un punto che è massimo/minimo che è assoluto è anche relativo, ma non è vero il viceversa.

Quindi come faccio a stabilire se quei punti sono di max/min relativo o assoluto?

[Quinzio]

Prima bisogna accertarsi che quella funzione abbia un massimo e/o un minimo assoluti, no ?

[gio73]

"21zuclo":
Devo trovare i punti critici della funzione e studiarne la natura $ f(x,y)=2x^3+y^3-3x^2-3y $


ORA che ho detto quali sono i punti di max e minimo locale, come faccio a stabilire se sono relativi o assoluti?
Mi perdo in quest'ultima cosa.

Quindi come faccio a stabilire se quei punti sono di max/min relativo o assoluto?

Non ho svolto l'esercizio e quindi non ho controllato i tuoi conti, immagino che siano corretti.
Io farei così:
valuterei quanto vale la funzione nel minimo
$f(1;1)=2+1-3-3=-3$
e nel massimo
$f(0;-1)=-1+3=+2$

e mi chiederei se ci sono altri punti dove la funzione assume valori più piccoli (minori) di $-3$ e altri punti in cui i valori della funzione più grandi (maggiori) di $+2$

per il minimo scelgo di provare il punto $A (-10;-10)$ così da semplificarmi i conti

$f(-10;-10)=2*(-1000)-1000-3*(100)-3(-10)=-2000-1000-300+30=-3270$

$-3$ non è un minimo assoluto

ora vediamo il massimo, scegliamo il punto $B(+10;+10)$
$f(+10;+10)=2000+1000-300+30=+2930$

$+2$ non è un massimo assoluto

In generale direi che se ti accorgi che lungo determinate direzioni la tua funzione aumenta sempre non sarà limitata superiormente e di conseguenza i massimi locali sono relativi, analogo ragionamento per i minimi.