Max e min al variare di un parametro
Ragazzi c'è un altro esercizio che mi mette in difficoltà! ecco il testo! Qualcuno sa gentilmente spiegarmi come trovare $β$?? 
Siano $ β ∈ R, f : R^2 → R $ la funzione definita da $ f(x, y) = (y − 2βx)[(x − 2)^2 + y^2 − 2]^4 $
Verificare che tutti i punti della circonferenza $ C = {(x, y) ∈ R^2: (x − 2)^2 + y^2 = 2} $ sono
stazionari per f. Determinare per quali valori di $β$ tutti i punti di C sono di massimo relativo
per f.
Siano $ β ∈ R, f : R^2 → R $ la funzione definita da $ f(x, y) = (y − 2βx)[(x − 2)^2 + y^2 − 2]^4 $
Verificare che tutti i punti della circonferenza $ C = {(x, y) ∈ R^2: (x − 2)^2 + y^2 = 2} $ sono
stazionari per f. Determinare per quali valori di $β$ tutti i punti di C sono di massimo relativo
per f.
Risposte
ciao falconi, da regolamento dovresti proporre un tuo tentativo di soluzione (giusto o sbagliato che sia)
opsssss.... scusate non lo sapevo... 
allora, il mio ragionamento è stato:
affinchè la circonferenza sia luogo geometrico di punti stazionari deve essere che le derivate parziali di f sulla circonferenza siano pari a zero.
Ho notato quindi che:
$ partial f(x,y)/(partial x )= 2βx[(x−2)^2+y^2−2]^4+4(y−2βx)2(x-2)[(x−2)^2+y^2−2]^3 = 0 $ perchè dal dominio ricavo proprio $[(x−2)^2+y^2−2]=0 $
Analogo ragionamento per l'altra derivata parziale.
Ciò mi permette quindi di dire (credo almeno ) che i punti della circonferenza (cioè del dominio) sono punti stazionari.
A questo punto avevo derivato nuovamente per ottenere la matrice hessiana, ma non so che valori inserire al posto della x e della y in modo da avere solo $β$ come unica variabile... e quindi non so che pesci pigliare! Help me please...
allora, il mio ragionamento è stato:
affinchè la circonferenza sia luogo geometrico di punti stazionari deve essere che le derivate parziali di f sulla circonferenza siano pari a zero.
Ho notato quindi che:
$ partial f(x,y)/(partial x )= 2βx[(x−2)^2+y^2−2]^4+4(y−2βx)2(x-2)[(x−2)^2+y^2−2]^3 = 0 $ perchè dal dominio ricavo proprio $[(x−2)^2+y^2−2]=0 $
Analogo ragionamento per l'altra derivata parziale.
Ciò mi permette quindi di dire (credo almeno
) che i punti della circonferenza (cioè del dominio) sono punti stazionari.A questo punto avevo derivato nuovamente per ottenere la matrice hessiana, ma non so che valori inserire al posto della x e della y in modo da avere solo $β$ come unica variabile... e quindi non so che pesci pigliare! Help me please...
Da quanto ho letto, calcoli il determinante della hessiana in un generico punto della circonferenza, poni il determinante uguale a zero e ricavi $\beta$.
"CaMpIoN":
Da quanto ho letto, calcoli il determinante della hessiana in un generico punto della circonferenza, poni il determinante uguale a zero e ricavi $\beta$.
cioè scelgo dei valori numerici a caso basta che appartengano alla circonferenza?
Devi fare praticamente un sistema tra l'equazione della circonferenza è l'equazione ottenuta uguagliando a zero il determinante della hessiana.
Comunque questo ragionamento lo potevi applicare già da prima, in quanto essendo:
\(\displaystyle (x,y) \in C \)
Allora hai
\(\displaystyle (x-2)^2+y^2-2=0 \)
Pertanto ottieni che nell'intervallo di questi punti, la funzione è
\(\displaystyle f(x,y)=0 \)
E tutte le derivate parziali sono uguali a zero.
Quindi avendo le derivate parziali uguali a zero, hai anche la matrice hessiana con componenti nulle, pertanto il determinante è nullo, questo dovrebbe significare che il risultato è valido per ogni $\beta$.
Comunque prima di proseguire meglio che leggi qualcuno che ne sappia di più, io ne so davvero poco, anche meno di te, ho letto ora questo argomento su internet.
Comunque questo ragionamento lo potevi applicare già da prima, in quanto essendo:
\(\displaystyle (x,y) \in C \)
Allora hai
\(\displaystyle (x-2)^2+y^2-2=0 \)
Pertanto ottieni che nell'intervallo di questi punti, la funzione è
\(\displaystyle f(x,y)=0 \)
E tutte le derivate parziali sono uguali a zero.
Quindi avendo le derivate parziali uguali a zero, hai anche la matrice hessiana con componenti nulle, pertanto il determinante è nullo, questo dovrebbe significare che il risultato è valido per ogni $\beta$.
Comunque prima di proseguire meglio che leggi qualcuno che ne sappia di più, io ne so davvero poco, anche meno di te, ho letto ora questo argomento su internet.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo