Matrice hessiana

[Shika93]

Ho questo esercizio $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-xz$ e devo stabilire i di minimo, massimo, flesso e di sella (se c'è).
Ho calcolato la matrice hessiana che viene
| 2 -1 -1|
|-1 2 0|
|-1 0 2|

Dalla teoria so che devo stabilire se la matrice è definita positiva, negativa o semidefinita ecc e per farlo, visto che a calcolare gli autovalori ci vuole una vita, uso il criterio dei minori incapsulati, calcolando il determinante dei tre minori.
Il primo minore è 2 > 0
Il determinante del secondo (fatto rispetto la terza colonna) mi viene 3
Il determinante del terzo mi viene 4
Siccome sono tutti e quattro positivi, allora la matrice è definita positiva
L'unico punto critico è il punto f(x,y,z) = (0,0,0)
Ora non ricordo, per definire i punti massimi e minimi (relativi) posso dire semplicemente che siccome la matrice è definita positiva, allora il punto critico è di minimo relativo e non c'è il punto di massimo, oppure devo farlo azzerando le coordinate una per una?
Cioè: $f(x,0,0) = x^2$ => punto di minimo per x=0;
$f(0,y,0) = y^2$ => punto di massimo per y=0;
$f(0,0,z) = z^2$ => punto di flesso per z=0;

[Shika93]

Si sapevo del corollario e a priori avrei detto che si trattava di un minimo relativo, ma vedendo un esercizio simile fatto in classe, si spezzava la funzione come ho fatto alla fine.
So che è un po' difficile rispondermi, ma perchè avrebbe fatto
$f(x,0,0) = x^2$ => punto di minimo per x=0;
$f(0,y,0) = y^2$ => punto di massimo per y=0;
$f(0,0,z) = z^2$ => punto di flesso per z=0;
Ripeto, stesso problema; cambiava la funzione, ma alla fine la matrice hessiana si vedeva essere indefinita, quindi il punto critico era un punto di sella.
In quel caso si procede scomponendo la funzione annullando i parametri?
E se i punti critici fossero due, bisogna calcolare la matrice nei due punti e quindi calcolare due determinanti separati, giusto? Uno che probabilmente da un punto di minimo e uno un punto di massimo, relativi...

Altra domanda, più connessa con algebra ma che mi serve anche in questo caso.
Se per esempio volevo determinare se la matrice in questione fosse positiva, negativa o altro utilizzando gli autovalori, avrei dovuto calcolare il determinante con il polinomio caratteristico, giusto? Siccome quasi sempre vengono fuori polinomi del 3° ordine o più, risolvendoli con ruffini ci metterei un'eternità (anche perchè l'ho usato una volta in tutta la vita).
Quindi, gli autovalori calcolati col polinomio caratteristico, hanno gli stessi valori dei determinanti calcolati con il criterio dei minori incapsulati?
Ergo: gli autovalori sono i determinanti dei minori della matrice?
(Dico subito che ho seguito geometria e algebra ma non ho dato l'esame perchè lo ritenevo troppo complicato al tempo e non l'ho più studiata fino ad ora, cercando i pezzi che mi servono)

[giuscri]

"Shika93":$f(x,0,0) = x^2$ => punto di minimo per x=0;
$f(0,y,0) = y^2$ => punto di massimo per y=0;
$f(0,0,z) = z^2$ => punto di flesso per z=0;

In realta' tutti questi tre cammini hanno un minimo nell'origine, no? Sono tutte e tre parabole.

Quello che dici - `spezzare la funzione` - mi sembra, a buon senso, un modo per controllare a mano che quel punto sia un candidato minimo. In sostanza, vado a vedere se per un paio di restrizioni sulle quali so camminare facilmente ho un estremante della natura attesa; questo chiaramente non dimostra che il mio punto sia effettivamente un minimo - puo' esistere un qualche cammino per cui quel punto non lo sia. Allora, o vado sempre a mano a vedere in intorni del punto stazionario come si comporta la funzione (a volte e' evidente che salga, e allora e' evidente che si tratta di un minimo); se invece la cosa non e' chiara allora ti calcoli l'Hessiana.

... o vai subito di Hessiana, oppure la usi come ultima spiaggia - di certo una volta che hai trovato che il punto e' un minimo, non ti metti a riverificare per un paio di cammini che quello sia un minimo per alcune restrizioni.

I mean ...
\[f(\underline{a} + \underline{h}) - f{(\underline{a})} = \|\underline{h}\|^2 \left[ \frac{\underline{h}^{T} \cdot H_f{(\underline{a})} \cdot \underline{h}}{\|\underline{h}\|^2} + o(1) \right]\]

Una volta che ti vai a studiare il `segno` di quella forma quadratica nella parentesi, basta!, non c'e' cammino che ti possa contraddire ...la questione e' che a volte studiarsela* puo' essere una vera noia; quindi per funzioni pasticciate, se trovi strade alternative e' meglio.

Si puo' dimostrare che la forma quadratica ha lo stesso range di valori che hanno gli autovalori dell'Hessiana. Quindi se trovi che il minimo autovalore dell'Hessiana e' positivo, allora la forma quadratica sara' sempre positiva, dunque l'incremento della funzione - partendo dal punto \(\underline{a}\) - e' sempre positivo: i.e. in un intorno di \(U(\underline{a})\), \(\underline{a}\) e' il punto piu' basso - i.e. e' un minimo!

* Per quanto ne sappia, devi passare necessariamente per le derivate parziali di ordine 2, il che capisci puo' essere un bordello appena ti metto rapporti di funzioni iperboliche moltiplicate per esponenziali divisi per un arcotangente del coseno di un log di un ...

[Shika93]

Chiaro. Grazie a entrambi!

[Shika93]

Lapsus. Sia che una matrice sia definita positiva o semidefinita positiva in un punto $x0$, il punto $x0$ è di minimo relativo in tutti e due i casi, vero?

Nel senso:
$Hf(0,2/3)=[[4/3,0],[0,2]]$ semidef positiva $=> (0,2/3)$ minimo relativo
$Hf(1,1)=[[4,8],[2,2]]$ definita positiva $=> (1,1)$ minimo relativo

[Shika93]

La seconda ho messo valori a caso senza contare. Quindi come sempre, controllo il primo elemento della matrice e poi faccio il determinante. Se sono con segni concordi allora è definita positiva o negativa, altrimenti indefinita e quindi punti di sella.
Così va bene?

[Shika93]

Così è perfetto! Grazie mille!