Matrice associata a trasformazione lineare e cambiamento di base

[ale92t]

Buongiorno :)

Come si deduce già dal titolo, avrei urgentemente bisogno di qualche puntualizzazione circa lo svolgimento di esercizi sulle matrici associate a trasformazioni lineari e sul cambiamento di base, possibilmente con opportuni esempi.

Grazie :)

[bimbozza]

Provo a spiegartelo tramite due esercizi:

1) Determinare la matrice associata, rispetto alla base canonica, alle applicazioni lineari

[math]f:R^3 \to R^4[/math]

definite da

[math]f(x,y,z)=(3x-2y+2z,2x+3z,2y-2x,3x-4y+2z)[/math]

.

Per prima cosa bisogna determinare

[math]f(1,0,0)[/math]

,

[math]f(0,1,0)[/math]

e

[math]f(0,0,1)[/math]

, andando a sostituire le rispettive componenti:

[math]f(1,0,0)=(3*1-2*0+2*0,2*1+3*0,2*0-2*1,3*1-4*0+2*0)=(3,2,-2,3)[/math]

;

[math]f(0,1,0)=(3*0-2*1+2*0,2*0+3*0,2*1-2*0,3*0-4*1+2*0)=(-2,0,2,-4)[/math]

;

[math]f(0,0,1)=(3*0-2*0+2*1,2*0+3*1,2*0-2*0,3*0-4*0+2*1)=(2,3,0,2)[/math]

;

La matrice associata è la matrice che ha per colonne i vettori appena trovati, quindi

[math]\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-2 & 2 & 0 \\
3 & -4 & 2
\end{pmatrix}[/math]

2)Consideriamo la base

[math]B=(u_1,u_2)[/math]

formata dai vettori

[math]u_1=(1,2)[/math]

[math]u_2=(1,0)[/math]

e la base

[math]B'=(w_1,w_2) [/math]

formata dai vettori

[math]w_1=(3,3)[/math]

[math]w_2=(5,1)[/math]

. Determinare la matrice del passaggio da B a B'.

Scriviamo

[math] w_1[/math]

e

[math]w_2[/math]

come combinazione lineare di

[math]u_1,u_2[/math]

:

[math]{3 \choose 3} =a {1 \choose 2}+b{1 \choose 0}[/math]

che equivale al sistema

[math]\left{
3=a+b\\
3=2a[/math]

che ha soluzione a=3/2 e b=3/2 quindi

[math]w_1=3u_1/2 +3u_2/2[/math]

Analogo discorso per

[math]w_2 [/math]

per cui troviamo a=1/2 e b=9/2, quindi

[math]w_2=u_1/2+9u_2/2[/math]

quindi la matrice cercata è la matrice che ha per colonne

[math]w_1 [/math]

e

[math]w_2[/math]

, cioè

[math]\begin{pmatrix} 3/2 & 1/2 \\
3/2 & 9/2
\end{pmatrix}[/math]

[ale92t]

Ok, per quanto riguarda il primo esercizio non ci sono problemi; mi sono un pò perso nel secondo esercizio, non riesco a capire alcuni dati: qual'è il valore di w1 nella traccia, perchè hai scritto solo w2? da dove esce fuori quel 3 3 incolonnato nel momento in cui dobbiamo scrivere w1 e w2 come c.l. di u1 e u2?
Grazie e scusa ancora :cry

[bimbozza]

...io lo leggo... comunque w1=(3,3)

[ale92t]

Ah ok, non so perchè ma prima non mi comparivano alcuni dati :con
Adesso è tutto chiaro! :)

Grazie ancora! :gratta