\(\mathcal{C}^0 (\Omega)\) non è riflessivo

[Sk_Anonymous]

Se \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^n\) è un aperto limitato, leggo nei miei appunti che \(\mathcal{C}^0 (\Omega)\) non è riflessivo; ne segue una dimostrazione per assurdo in cui si dice che se \(\mathcal{C}^0 (\Omega)\) fosse riflessivo, allora esisterebbe \(f \in \mathcal{C}^0 ( \overline{\Omega})\) tale che \[ \langle \Phi, \mu \rangle = \int_{\overline{\Omega}} f \, d \mu \qquad [1] \]ove si era definito \(\Phi \in \mathcal{M}(\overline{\Omega}) ^*\) (duale topologico delle misure di Radon munito della norma \(\| \mu \| = \mu^+ (\overline{\Omega}) + \mu^- (\overline{\Omega})\)) mediante \[\langle \Phi , \mu \rangle = \sum_{x \in \overline{\Omega}} \mu ( \{x \})\]

Non mi è chiaro perché debba esistere una \(f\) tale che valga la \([1]\)... c'è forse dietro qualche teorema di rappresentazione (di Riesz)?

Ringrazio.

[Lumi1]

Premetto che è tardi e probabilmente non lucidissimo. Tuttavia:

se $C^0(\Omega)$ fosse riflessivo, la topologia debole e la topologia debole* coincidono. In particolare $M(\Omega) =C_0(\Omega)^*$ dove $C_0$ è l'insieme di funzioni continue che fa zero all'infinito (qui ovviamente C_0 = C^0): questo vale per ogni spazio X localmente compatto, ma la dimostrazione è piuttosto laboriosa...

Tornando a noi: dato che le due topologie sopra citate coincidono, ogni funzionale nel duale topologico di $M(\Omega)$ (che è a sua volta il duale di $C(\Omega)$, è in realtà una valutazione della misura su una funzione in $C(\Omega)$.
Fondamentalmente ogniqualvolta lo spazio è riflessivo la topologia debole coincide con quella generata dai funzionali di valutazione sul duale topologico.