Massimo Vincolato
Salve,
potreste dirmi se il seguente esercizio l'ho svolto bene?
TESTO: Determinare il massimo del prodotto $xyz$ sull'insieme $E = {x^2 + y^2 + 2z^2 <= 1}$
SOLUZIONE: Osservo prima di tutto che la funzione è continua e che l'insieme $E$, essendo un ellissoide, è un insieme Compatto di $R^3$. Pertanto valgono le ipotesi del Teorema di Weiestrass e mi è garantita l'esistenza del massimo (ovvio anche del minimo).
Essendo l'insieme "pieno", studio dapprima i punti all'interno dell'insieme $E$. Dallo studio delle derivate parziali ottengo che $f'x = yz$, $f'y = xz$ e $f'z = xy$. Il gradiente si annulla solo nel punto di coordinate $O (0,0,0)$, che è interno ad $E$. Studio quanto vale l'immagine della funzione in tale punto ed ottengo che $f(0,0,0) = 0$.
Studio il bordo dell'insieme. Applico il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ed ottengo
$xyz - lambda(x^2 + y^2 + 2z^2 - 1) = L$
Risolvendo il sistema delle derivate parziali della funzione L, ottengo come soluzioni
$x = +- 1/sqrt(3)$
$y = +- 1/sqrt(3)$
$z = +- 1/sqrt(6)$
Pertanto il $max(E) f = 1/(3sqrt(6))$
Può essere? Nel caso dovrei giustificare qualcos'altro a livello teorico?
potreste dirmi se il seguente esercizio l'ho svolto bene?
TESTO: Determinare il massimo del prodotto $xyz$ sull'insieme $E = {x^2 + y^2 + 2z^2 <= 1}$
SOLUZIONE: Osservo prima di tutto che la funzione è continua e che l'insieme $E$, essendo un ellissoide, è un insieme Compatto di $R^3$. Pertanto valgono le ipotesi del Teorema di Weiestrass e mi è garantita l'esistenza del massimo (ovvio anche del minimo).
Essendo l'insieme "pieno", studio dapprima i punti all'interno dell'insieme $E$. Dallo studio delle derivate parziali ottengo che $f'x = yz$, $f'y = xz$ e $f'z = xy$. Il gradiente si annulla solo nel punto di coordinate $O (0,0,0)$, che è interno ad $E$. Studio quanto vale l'immagine della funzione in tale punto ed ottengo che $f(0,0,0) = 0$.
Studio il bordo dell'insieme. Applico il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ed ottengo
$xyz - lambda(x^2 + y^2 + 2z^2 - 1) = L$
Risolvendo il sistema delle derivate parziali della funzione L, ottengo come soluzioni
$x = +- 1/sqrt(3)$
$y = +- 1/sqrt(3)$
$z = +- 1/sqrt(6)$
Pertanto il $max(E) f = 1/(3sqrt(6))$
Può essere? Nel caso dovrei giustificare qualcos'altro a livello teorico?
Risposte
La tua soluzione (ovviamente non ho controllato i conti) va bene rispetto ai criteri standard.
Volendo, potresti aggiungere che per la tua funzione e su tutto il vincolo $x^2+y^2+2z^2=1$ (che esaurisce l'insieme dei punti del vincolo che non sono interni) sono soddisfatte le condizioni per cui un punto di massimo locale (e quindi anche un punto di max globale) deve soddisfare le "condizioni necessarie" provviste dal "metodo dei moltiplicatori di Lagrange".
In altri termini, garantisci che non ti sia "scappato" niente usando Lagrange, come potrebbe succedere, ad esempio, nel caso in cui tu avessi un vincolo (in $RR^2$ per fare cose semplici): $y \ge 0$ e $x^2+y^2 \le 1$
Volendo, potresti aggiungere che per la tua funzione e su tutto il vincolo $x^2+y^2+2z^2=1$ (che esaurisce l'insieme dei punti del vincolo che non sono interni) sono soddisfatte le condizioni per cui un punto di massimo locale (e quindi anche un punto di max globale) deve soddisfare le "condizioni necessarie" provviste dal "metodo dei moltiplicatori di Lagrange".
In altri termini, garantisci che non ti sia "scappato" niente usando Lagrange, come potrebbe succedere, ad esempio, nel caso in cui tu avessi un vincolo (in $RR^2$ per fare cose semplici): $y \ge 0$ e $x^2+y^2 \le 1$
Grazie per la risposta.
Condizione necessaria, ma non sufficiente, è che sia verificata:
1) $g(x0,y0) = 0$ ed inoltre il gradiente della funzione (vincolo) $g$ non sia nullo nel punto.
NEL CASO IN ESAME:
$x^2 + y^2 + 2z^2 = 1$ in $P = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3),1/sqrt(6))$ diventa
$1/3 + 1/3 + 2(1/6) - 1 = 0$.
Inoltre il gradiente non si annulla in $P$.
Ho dimenticato qualcosa?
Condizione necessaria, ma non sufficiente, è che sia verificata:
1) $g(x0,y0) = 0$ ed inoltre il gradiente della funzione (vincolo) $g$ non sia nullo nel punto.
NEL CASO IN ESAME:
$x^2 + y^2 + 2z^2 = 1$ in $P = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3),1/sqrt(6))$ diventa
$1/3 + 1/3 + 2(1/6) - 1 = 0$.
Inoltre il gradiente non si annulla in $P$.
Ho dimenticato qualcosa?
$GM<=QM$
"AAnto":
Grazie per la risposta.
Condizione necessaria, ma non sufficiente, è che sia verificata:
1) $g(x0,y0) = 0$ ed inoltre il gradiente della funzione (vincolo) $g$ non sia nullo nel punto.
NEL CASO IN ESAME:
$x^2 + y^2 + 2z^2 = 1$ in $P = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3),1/sqrt(6))$ diventa
$1/3 + 1/3 + 2(1/6) - 1 = 0$.
Inoltre il gradiente non si annulla in $P$.
Ho dimenticato qualcosa?
altroché!!!
Tu devi garantire che in OGNI punto del vincolo sono soddisfatte le condizioni del teorema sui moltiplicatori di Lagrange.
Occhio, che hai completamente ciccato il punto chiave. La mia aggiunta serviva a garantire che non ci possano essere ALTRI punti meritevoli di attenzione. In sintesi, non ci sono altri punti indiziati di poter essere di max perché in TUTTI i punti del vincolo valgono le condizioni per i moltiplicatori di Lagrange, e il sistema dato non ha altre soluzioni oltre a quelle che hai trovato
Suggerimento: rifletti con calma su tutto e magari fatti uno schemino logico dei punti chiave del problema.
PS: scrivere
$x = +- 1/sqrt(3)$
$y = +- 1/sqrt(3)$
$z = +- 1/sqrt(6)$
è ambiguo, uno potrebbe anche pensare che tu abbia trovato 8 punti, invece che 2.
Meglio scrivere i vettori di $RR^3$ che sono soluzioni del sistema
"arnett":
Essendo l'insieme "pieno", studio dapprima i punti all'interno dell'insieme $E$. Dallo studio delle derivate parziali ottengo che $f'x = yz$, $f'y = xz$ e $f'z = xy$. Il gradiente si annulla solo nel punto di coordinate $O (0,0,0)$, che è interno ad $E$. Studio quanto vale l'immagine della funzione in tale punto ed ottengo che $f(0,0,0) = 0$.
Ciao, ti faccio solo notare che il gradiente è nullo in tutti i punti degli assi coordinati, non solo nell'origine (poi il massimo non viene assunto lì, ma è comunque bene notarlo)
e meno male che avevo detto che non ho controllato i conti!
"Fioravante Patrone":
altroché!!!
Tu devi garantire che in OGNI punto del vincolo sono soddisfatte le condizioni del teorema sui moltiplicatori di Lagrange.
Occhio, che hai completamente ciccato il punto chiave. La mia aggiunta serviva a garantire che non ci possano essere ALTRI punti meritevoli di attenzione. In sintesi, non ci sono altri punti indiziati di poter essere di max perché in TUTTI i punti del vincolo valgono le condizioni per i moltiplicatori di Lagrange, e il sistema dato non ha altre soluzioni oltre a quelle che hai trovato
Suggerimento: rifletti con calma su tutto e magari fatti uno schemino logico dei punti chiave del problema.
Allora, se ho capito, devo verificare che non vi siano altri punti candidati ad essere massimo o minimo oltre quelli che il metodo dei moltiplicatori di Lagrange mi ha fornito. Giusto?
Come faccio?
Quindi, se ho sbagliato, qual'è la condizione necessaria?
"arnett":
Essendo l'insieme "pieno", studio dapprima i punti all'interno dell'insieme $ E $. Dallo studio delle derivate parziali ottengo che $ f'x = yz $, $ f'y = xz $ e $ f'z = xy $. Il gradiente si annulla solo nel punto di coordinate $ O (0,0,0) $, che è interno ad $ E $. Studio quanto vale l'immagine della funzione in tale punto ed ottengo che $ f(0,0,0) = 0 $.
Ciao, ti faccio solo notare che il gradiente è nullo in tutti i punti degli assi coordinati, non solo nell'origine (poi il massimo non viene assunto lì, ma è comunque bene notarlo)
Grazie. Ho sbagliato pure questo!!
"Vulplasir":
$ GM<=QM $
Grazie, ma sinceramente questo non l'ho capito
Grazie, ma sinceramente questo non l'ho capito
Niente è solo un trucchetto per trovare subito il massimo in questo caso, GM è la media geometrica, QM la media quadratica.
Il punto di massimo di $xyz$ corrisponde al punto di massimo di $sqrt2xyz$, da quella disuguaglianza risulta:
$(xyzsqrt(2))^(1/3)<=sqrt((x^2+y^2+2z^2)/3)$
Quindi:
$xyz<=1/(3sqrt(6))$
Il massimo in quel vincolo vale quindi $1/(3sqrt(6))$ e si trova dove media quadratica e geometrica coincidono, ossia in $x=y=sqrt(2)z$.
p.s. no ora che ci penso questo è valido solo quando x,y e z sono tutti e tre positivi.
..Sto cercando di capire.. ma non mi sta riuscendo...
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