Massimo e minimo vincolato

[jackhill]

scusate gente,ma non mi è chiaro come risolvere questo problema di max.e min. vincolato,dove
f(x,y)=$((x-y)^2)/2 -((x+y)^3)/3 $ e V={$|y|\leq1-|x|$}

[jackhill]

ho sviluppato il gradiente e mi viene =0 se e solo se x=-y.....inoltre non so come comportarmi con quei due valori assoluti,se suddividere la frontiera in 4 casi,e poi sostituire(gran casino mi pare)ponendo la derivata =0,ma in questo caso come posso fare avendo un grado massimo di 3?

[MasterCud]

provo a disegnarti il dominio anche se poi prova a rifartelo tu per sicurezza:
[jxg]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[/jxg]
esce praticamente un rombo.

[jackhill]

grazie mille,il disegno è giusto,i miei dubbi erano:avendo trovato il gradiente=0 per x=-y,mi sta bene cosi?posso guardare la frontiera?
quest'ultima,dal disegno posso considerare gli spigoli..ma poi quando vado ad applicare la sostituzione per i vari casi dei valori assoluti nella mia f(x,y)(perchè cosi mi si chiede di fare)mi è chiaramente impossibile annullare la derivata prima...dunque?

[gugo82]

Il gradiente si annulla solo nell'origine.

[MasterCud]

"jackhill":
quest'ultima,dal disegno posso considerare gli spigoli..ma poi quando vado ad applicare la sostituzione per i vari casi dei

a me non risulta, immagino stia applicando il metodo della sostituzione diretta giusto?? mi scrivi le parametrizzazioni di un tratto di FD? sono curioso di capire come stai o hai intenzione di procedere.

[jackhill]

io ho considerato 4 casi,cioè in cui o x o y sono rispettivamente positiva e negativa,positiva e positiva,negativa e positiva,negativa e negativa.
per quanto riguarda il gradiente,io ottengo $x-y-x^2-2xy-y^2;-x+y-x^2-2xy-y^2 $ e mettendo a sistema ottengo che si annulla se e solo se x=-y.

[gugo82]

Il sistema che individua i punti critici è:
\[
\begin{cases}
(x-y) - (x+y)^2=0\\
-(x-y) - (x+y)^2=0\; ;
\end{cases}
\]
sottraendo le due equazioni si ottiene \(2(x-y)=0\), mentre sommandole si ottiene \(-2(x+y)^2=0\); pertanto il sistema è equivalente a:
\[
\begin{cases}
x-y=0\\
x+y=0\; ,
\end{cases}
\]
il quale ha come unica soluzione \((0,0)\).

Ma d'altra parte, che non sia vero che tutti i punti della retta di equazione \(y=-x\) siano soluzione del sistema si vede semplicemente sostituendo \(y=-x\) nella prima equazione: facendo ciò si trova \(2x=0\), che è soddisfatta solo se \(x=0\) e non da tutti gli \(x\in \mathbb{R}\).

[jackhill]

aspetta,come fai ad ottenere quelle due equazioni come gradiente?non si deve considerare prima in dx e poi in dy?..altra cosa,ho svolto i vari casi,ma in due su 4 mi viene il delta minore di 0,in particolare mi ritrovo entrambe le volte $ 4x^2+2x+1=0,come fare?

[gugo82]

"jackhill":aspetta,come fai ad ottenere quelle due equazioni come gradiente?non si deve considerare prima in dx e poi in dy?

Guarda che le equazioni dei punti critici sono le stesse, solo che tu ti complichi la vita sviluppando tutti i quadrati quando non ce n'è bisogno.

[jackhill]

C.V.D sono cotto.
detto questo,per le derivate da eguagliare a 0 che ti ho scritto come posso fare?

[gugo82]

Fai come ho fatto io: somma e sottrai, dopo aver messo ordine lì dentro.