Massimo e minimo limite-successioni divergenti.

[galles90]

Buongiorno,

devo dimostrare che la caratterizzazione nel punto B) nel caso in cui la successione risulti, una successione di numeri reali.



A) Definizione di massimo limite per le successioni di numeri reali, cioè :

Considero prima l'insieme, $H={x in mathbb{R}:a_n le x, \ forall n ge k }$

Se $a_n$ è una successione di numeri reali poniamo
1)

$l''=+infty$

nel caso in cui la successione non fosse limitata superiormente.
2)In caso contrario

$l''=mbox{inf(H)}$.

Naturalmente non si può escludere il caso in cui $l''=-infty$, cioè la successione sia divergente negativamente.




B) Caratterizzazione per il massimo limite, nel caso in cui la successione fosse limitata, cioè:

Un numero $l''$ è il massimo limite della successione $a_n$ se e solo se :

1. comunque si fissi $epsilon>0$, è possibile determinare un indice $nu$ tale che $forall n >nu$ si abbia

$a_n
2. comunque si fissi $epsilon>0$, esistono infiniti indici $n$ per i quali riesce

$a_n>l''-epsilon$

Ora se volessi introdurre una caratterizzazione, analoga alla B, dovrei considerare i seguenti casi:
$l''=+infty$

$K>0, \ exists nu in mathbb{N}\ : \ a_n >K, \ qquad forall n > nu $

$l''=-infty$

$M<0, \ exists mu in mathbb{N}\ : \ a_n mu $

$l'' in mathbb{R}$ si ha il punto B)

sono corretti i passsaggi ?

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Risposte

gugo82

22 apr 2019, 20:03

Beh, per capire se hai scritto bene ti basta tener presente che \( l^{\prime \prime} = +\infty \) equivale a dire (per definizione) che la successione non è limitata superiormente, mentre \( l^{\prime \prime} = -\infty \) equivale a dire la successione è negativamente divergente.

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galles90

23 apr 2019, 07:05

Buongiorno gugo82

quindi presumo di aver scritto bene, in quanto questo :

"galles90":
$ l''=+infty $

$ K>0, \ exists nu in mathbb{N}\ : \ a_n >K, \ qquad forall n > nu $

$ l''=-infty $

$ M<0, \ exists mu in mathbb{N}\ : \ a_n mu $

è la definizione di limite di successione divergente positivamente e negativamente, rispettivamente. E cosi ?

Ciao

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gugo82

23 apr 2019, 10:02

Non devi presumere, devi controllare se quello che scrivi è vero o no.

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dissonance

23 apr 2019, 10:06

"gugo82":Non devi presumere, devi controllare se quello che scrivi è vero o no.

@galles: questi controlli te li devi imparare a fare da solo, è importante. Un po' di insicurezza è normale ma devi vincerla.

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galles90

23 apr 2019, 11:09

Si, lo so dissonance
comunque ritornando al problema, considero il caso in cui $l''=+infty$, l'altro si tratta in maniera analoga.
Definisco per prima la successione

$e_k^('') =mbox{sup}(a_(n))_(n ge k)$

cioè la successione "che segue " il massimo limite, la quale risulta essere decrescente.
Considero :

$lim_(k to +infty) e_k^('')=l''.$

essendo che $l''= + infty$, quindi la successione $e_k^('')$ è illimitata superiormente, quindi si ha:
$K>0, \ exists k+1 in mathbb{N} \ : \ e_(k+1)^('') >K$, essendo inoltre la successione decrescente si ha:

$e_k^('') ge e_(k+1)^('') >K$

quindi passando al limite per $k to infty $ si ha $e_k^('') to + infty$.
Quindi quello che ho scritto prima deve essere corretto.

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gugo82

23 apr 2019, 11:26

No. Hai sbagliato tutto.
Cancella e ricomincia.

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galles90

23 apr 2019, 13:13

Si, allora parto dal fatto che devo formulare la seguente proposizione:
Un numero $ l'' $ è il massimo limite della successione $ a_n $ se e solo se :
1. comunque si fissi $ epsilon>0 $, è possibile determinare un indice $ nu $ tale che $ forall n >nu $ si abbia:

$ a_n
2. comunque si fissi $ epsilon>0 $, esistono infiniti indici $ n $ per i quali si riesce

$ a_n>l''-epsilon.$

cioè la devo formulare nel caso in cui $a_n$ sia una successione di numeri reali; quindi supponendo che $l''=+infty$, allora
la successione risulta essere illimitata superiormente, il suo sup sarà $+infty$ quindi, $forall n in mathbb{N} $ si ha $a_n<+infty$

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gugo82

23 apr 2019, 14:39

Se ti fermi all’inizio di un ragionamento, senza concludere, non saprai mai se ciò che pensi sia vero o falso… Semplicemente ti limiterai a scrivere cose ovvie, o frasi senza senso.

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galles90

23 apr 2019, 15:11

$l''= lim_(n to infty) mbox{sup}(a_n)=+infty\ qquad leftrightarrow \ qquad K>0 \ exists nu in mathbb{N} \ : \ a_n >K \ forall n > nu .$
quello che voglio dire, se il massimo limite della successione è $+ infty$, la proposizione che sto cercando di formulare, è equivalente alla definizione di limite di successione, in particolare al limite di una successione divergente positivamente.

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gugo82

23 apr 2019, 15:22

No.

Fatti un esempio di successione con massimo limite $=+oo$.

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galles90

24 apr 2019, 08:04

Il massimo limite della successione $a_n$ è uguale ad $l''=+infty$ se e solo se la successione $a_n$ non è limitata superiormente.

Sia $a_n$ una successione di numeri reali, considero l'insieme immagine della succesione $a_n$, cioè $A={x in mathbb{R^{\prime}}: x=a_n}$, con $mathbb{R^{\prime}}$ esteso.
1)
Sia quindi $l''= +infty$, per definizione di massimo limite, risulta essere l'estremo superiore di $A$, quindi, essendo che l'estremo superiore di $A$, cioè, $mbox{sup(A)}=+infty$, si ha che l''insieme $A$ è illimitato superiormente, quindi, la successione $a_n$ è illimitata superiormente.
2)
Sia $a_n$ illimitata superiormente, quindi, $mbox{sup(A)}=+infty$ allora, dalla definzione di massimo limite, risulta essere l'estremo superiore di $A$, cioè, $l''=+infty$
Cosi va bene ?

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galles90

26 apr 2019, 12:31

Alla fine ho detto un'altra castroneria ?

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gugo82

26 apr 2019, 12:40

Come ho già detto altrove, se non si conoscono bene le definizioni non si va da nessuna parte.
Visto che per definizione si pone $text(maxlim) a_n = +oo$ se e solo se $(a_n)$ non è limitata superiormente, i.e. solo se $text(sup) a_n = +oo$, sopra stai tentando di dimostrare una definizione… Il che è male.

Vuoi determinare una caratterizzazione del $text(maxlim)$ nel caso sia $+oo$ analoga al caso finito.
Secondo te, come si scrive tale caratterizzazione?
È molto semplice, dato che te l’ho suggerita qui sopra. Basta saper leggere.

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galles90

26 apr 2019, 17:46

scusami, hai scritto:

"gugo82":
Visto che per definizione si pone $ text(maxlim) a_n = +oo $ se e solo se $ (a_n) $ non è limitata superiormente

cosa devo scrivere e cosa devo dimostrare ?

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gugo82

26 apr 2019, 18:55

E lo chiedi a me?

Eri tu che volevi scrivere delle proprietà caratteristiche, mica io!?!

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galles90

26 apr 2019, 20:41

Apposto

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gugo82

26 apr 2019, 21:01

Qual è il massimo limite di $a_n = (-1)^n *n$?

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galles90

27 apr 2019, 06:25

Buongiorno gugo82,
si la successione $a_n$ non è rogolare, vista la presenza del fattore $(-1)^n$, inoltre, la successione risulta essere in particolare, illimitata superiormente, per cui il massimo limite è $l''=+infty$.

Se è cosi, va bene il procedimento, oppure occorre procedere diversamente ?

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gugo82

27 apr 2019, 11:32

Ok.
E ti pare caratterizzato da:
\[
\forall K > 0,\ \exists \nu >0:\quad \forall n>\nu,\ a_n > K\;?
\]

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galles90

27 apr 2019, 11:52

si, se considero la sottosuccessione $a_(2n)=n$, quindi, è illimitata superiormente, essendo che:
$K>0 \ to \ n>K$, con $nu=K$, quindi si ha $a_n>K$ per ogni $n>nu$.
Se è corretto, lo stesso, in modo analogo vale per il minimo limite $l'=-infty.$

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[gugo82]

Beh, per capire se hai scritto bene ti basta tener presente che \( l^{\prime \prime} = +\infty \) equivale a dire (per definizione) che la successione non è limitata superiormente, mentre \( l^{\prime \prime} = -\infty \) equivale a dire la successione è negativamente divergente.

[galles90]

Buongiorno gugo82

quindi presumo di aver scritto bene, in quanto questo :

"galles90":
$ l''=+infty $

$ K>0, \ exists nu in mathbb{N}\ : \ a_n >K, \ qquad forall n > nu $

$ l''=-infty $

$ M<0, \ exists mu in mathbb{N}\ : \ a_n mu $

è la definizione di limite di successione divergente positivamente e negativamente, rispettivamente. E cosi ?

Ciao

[gugo82]

Non devi presumere, devi controllare se quello che scrivi è vero o no.

[dissonance]

"gugo82":Non devi presumere, devi controllare se quello che scrivi è vero o no.

@galles: questi controlli te li devi imparare a fare da solo, è importante. Un po' di insicurezza è normale ma devi vincerla.

[galles90]

Si, lo so dissonance
comunque ritornando al problema, considero il caso in cui $l''=+infty$, l'altro si tratta in maniera analoga.
Definisco per prima la successione

$e_k^('') =mbox{sup}(a_(n))_(n ge k)$

cioè la successione "che segue " il massimo limite, la quale risulta essere decrescente.
Considero :

$lim_(k to +infty) e_k^('')=l''.$

essendo che $l''= + infty$, quindi la successione $e_k^('')$ è illimitata superiormente, quindi si ha:
$K>0, \ exists k+1 in mathbb{N} \ : \ e_(k+1)^('') >K$, essendo inoltre la successione decrescente si ha:

$e_k^('') ge e_(k+1)^('') >K$

quindi passando al limite per $k to infty $ si ha $e_k^('') to + infty$.
Quindi quello che ho scritto prima deve essere corretto.

[gugo82]

No. Hai sbagliato tutto.
Cancella e ricomincia.

[galles90]

Si, allora parto dal fatto che devo formulare la seguente proposizione:
Un numero $ l'' $ è il massimo limite della successione $ a_n $ se e solo se :
1. comunque si fissi $ epsilon>0 $, è possibile determinare un indice $ nu $ tale che $ forall n >nu $ si abbia:

$ a_n
2. comunque si fissi $ epsilon>0 $, esistono infiniti indici $ n $ per i quali si riesce

$ a_n>l''-epsilon.$

cioè la devo formulare nel caso in cui $a_n$ sia una successione di numeri reali; quindi supponendo che $l''=+infty$, allora
la successione risulta essere illimitata superiormente, il suo sup sarà $+infty$ quindi, $forall n in mathbb{N} $ si ha $a_n<+infty$

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[gugo82]

Se ti fermi all’inizio di un ragionamento, senza concludere, non saprai mai se ciò che pensi sia vero o falso… Semplicemente ti limiterai a scrivere cose ovvie, o frasi senza senso.

[galles90]

$l''= lim_(n to infty) mbox{sup}(a_n)=+infty\ qquad leftrightarrow \ qquad K>0 \ exists nu in mathbb{N} \ : \ a_n >K \ forall n > nu .$
quello che voglio dire, se il massimo limite della successione è $+ infty$, la proposizione che sto cercando di formulare, è equivalente alla definizione di limite di successione, in particolare al limite di una successione divergente positivamente.

[gugo82]

No.

Fatti un esempio di successione con massimo limite $=+oo$.

[galles90]

Il massimo limite della successione $a_n$ è uguale ad $l''=+infty$ se e solo se la successione $a_n$ non è limitata superiormente.

Sia $a_n$ una successione di numeri reali, considero l'insieme immagine della succesione $a_n$, cioè $A={x in mathbb{R^{\prime}}: x=a_n}$, con $mathbb{R^{\prime}}$ esteso.
1)
Sia quindi $l''= +infty$, per definizione di massimo limite, risulta essere l'estremo superiore di $A$, quindi, essendo che l'estremo superiore di $A$, cioè, $mbox{sup(A)}=+infty$, si ha che l''insieme $A$ è illimitato superiormente, quindi, la successione $a_n$ è illimitata superiormente.
2)
Sia $a_n$ illimitata superiormente, quindi, $mbox{sup(A)}=+infty$ allora, dalla definzione di massimo limite, risulta essere l'estremo superiore di $A$, cioè, $l''=+infty$
Cosi va bene ?

[galles90]

Alla fine ho detto un'altra castroneria ?

[gugo82]

Come ho già detto altrove, se non si conoscono bene le definizioni non si va da nessuna parte.
Visto che per definizione si pone $text(maxlim) a_n = +oo$ se e solo se $(a_n)$ non è limitata superiormente, i.e. solo se $text(sup) a_n = +oo$, sopra stai tentando di dimostrare una definizione… Il che è male.

Vuoi determinare una caratterizzazione del $text(maxlim)$ nel caso sia $+oo$ analoga al caso finito.
Secondo te, come si scrive tale caratterizzazione?
È molto semplice, dato che te l’ho suggerita qui sopra. Basta saper leggere.

[galles90]

scusami, hai scritto:

"gugo82":
Visto che per definizione si pone $ text(maxlim) a_n = +oo $ se e solo se $ (a_n) $ non è limitata superiormente

cosa devo scrivere e cosa devo dimostrare ?

[gugo82]

E lo chiedi a me?

Eri tu che volevi scrivere delle proprietà caratteristiche, mica io!?!

[galles90]

Apposto

[gugo82]

Qual è il massimo limite di $a_n = (-1)^n *n$?

[galles90]

Buongiorno gugo82,
si la successione $a_n$ non è rogolare, vista la presenza del fattore $(-1)^n$, inoltre, la successione risulta essere in particolare, illimitata superiormente, per cui il massimo limite è $l''=+infty$.

Se è cosi, va bene il procedimento, oppure occorre procedere diversamente ?

[gugo82]

Ok.
E ti pare caratterizzato da:
\[
\forall K > 0,\ \exists \nu >0:\quad \forall n>\nu,\ a_n > K\;?
\]

[galles90]

si, se considero la sottosuccessione $a_(2n)=n$, quindi, è illimitata superiormente, essendo che:
$K>0 \ to \ n>K$, con $nu=K$, quindi si ha $a_n>K$ per ogni $n>nu$.
Se è corretto, lo stesso, in modo analogo vale per il minimo limite $l'=-infty.$