Massimo e minimo limite-successioni divergenti.

[galles90]

Buongiorno,

devo dimostrare che la caratterizzazione nel punto B) nel caso in cui la successione risulti, una successione di numeri reali.



A) Definizione di massimo limite per le successioni di numeri reali, cioè :

Considero prima l'insieme, $H={x in mathbb{R}:a_n le x, \ forall n ge k }$

Se $a_n$ è una successione di numeri reali poniamo
1)

$l''=+infty$

nel caso in cui la successione non fosse limitata superiormente.
2)In caso contrario

$l''=mbox{inf(H)}$.

Naturalmente non si può escludere il caso in cui $l''=-infty$, cioè la successione sia divergente negativamente.




B) Caratterizzazione per il massimo limite, nel caso in cui la successione fosse limitata, cioè:

Un numero $l''$ è il massimo limite della successione $a_n$ se e solo se :

1. comunque si fissi $epsilon>0$, è possibile determinare un indice $nu$ tale che $forall n >nu$ si abbia

$a_n
2. comunque si fissi $epsilon>0$, esistono infiniti indici $n$ per i quali riesce

$a_n>l''-epsilon$

Ora se volessi introdurre una caratterizzazione, analoga alla B, dovrei considerare i seguenti casi:
$l''=+infty$

$K>0, \ exists nu in mathbb{N}\ : \ a_n >K, \ qquad forall n > nu $

$l''=-infty$

$M<0, \ exists mu in mathbb{N}\ : \ a_n mu $

$l'' in mathbb{R}$ si ha il punto B)

sono corretti i passsaggi ?

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Risposte

gugo82

27 apr 2019, 11:57

No, vabbè… Quello che hai scritto significa che non hai ben chiare le basi, a partire dalla definizione di limite di successione per arrivare al ruolo delle successioni estratte ed al significato delle proprietà caratteristiche del massimo e minimo limite.

Devi rivedere la teoria.

Che libro usi di Analisi I? Marcellini & Sbordone?
Nel caso, lascialo perdere e vatti a guardare il Giusti o il Pagani & Salsa (ma su questo argomento specifico, i.e. massimo e minimo limite, il Giusti mi piace di più).

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galles90

27 apr 2019, 12:20

Però voglio capire dove sbaglio, quello che ho fatto, ho applicato questa proposizione:

Da una successione non regolare $a_n$ si possono sempre estrarre almeno due successioni regolari ( quinidi convergenti se limitate) con limiti diversi fra loro (uguali rispettivamente a $min lim_(n to infty) a_n$ ed a $max lim_(n to infty) a_n$ ).

Ho estratto la sottosuccesione $a_(2n)=2n$ cioè la successione con indice pari, ora devo verificare che :

"gugo82":
\[ \forall K > 0,\ \exists \nu >0:\quad \forall n>\nu,\ a_n > K\;? \]

Scelgo un $K>0$ in corrispondenza di tale valore esiste un indice $nu>0$ tale che verifichi la relazione $2n>K$, per ogni $n>nu$, quindi $2n>K$ per ogni $n>K/2$

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galles90

27 apr 2019, 12:26

Il Giusti che ho, edizione 2016, non è presente questa parte di teoria inerente al massimo limite e minimo limte, comunque uso:
Marcellini & Sbordone-Analisi Matematica 1
Stampacchia & Cecconi-Analisi Matematica 1

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gugo82

27 apr 2019, 13:00

Il Cecconi & Stampacchia è buono, ma un po’ datato.
Per quanto concerne il Giusti, getta quello che hai e prendi quello pre-riforma (seconda edizione, ristampa 1996). Ovviamente, prendilo in prestito in biblioteca.

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galles90

27 apr 2019, 13:25

Provederò, comunque ti ringrazio per la cortese pazienza, ciao.

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gugo82

28 apr 2019, 02:17

Valgono i seguenti fatti:

Sia $(a_n)$ una successione reale.

Risulta $text(maxlim) a_n = +oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} > K\; ;
\]
mentre risulta $text(maxlim) a_n = - oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu,\ a_{n} < - K\; .
\]

Dim.:

Per definizione, è $text(maxlim) a_n = +oo$ se e solo se $text(sup) a_n = +oo$ e ciò, a norma delle proprietà dell’estremo superiore, significa che nessun numero positivo è un maggiorante per $(a_n)$; dunque:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} > K\; ,
\]
che è la tesi.

D’altra parte, si ha $text(maxlim) a_n = - oo$ solo se anche $text(minlim) a_n = - oo$ (perché $text(maxlim) a_n >= text(minlim) a_n$ in $hat(RR)$), ossia se $lim a_n = -oo$; dunque:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu,\ a_{n} < - K\; ,
\]
come volevamo.

Esercizio: Dimostrare che la proprietà:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} > K\; ;
\]
equivale a dire che per ogni $K>0$ esistono infiniti indici $n in NN$ tali che $a_n > K$.

Analogamente si dimostra che:

Sia $(a_n)$ una successione reale.

Risulta $text(minlim) a_n = - oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} < - K\; ;
\]
mentre risulta $text(minlim) a_n = + oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu,\ a_{n} > K\; .
\]

L’esempio di $(-1)^n*n$ che ti ho proposto più sopra serviva proprio a farti capire che non è vero che $text(maxlim) a_n = +oo => lim a_n = +oo$ e, quindi, che non può essere corretto caratterizzare le successioni aventi $text(maxlim) a_n = +oo$ usando la proprietà:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n >\nu,\ a_n > K
\]
che caratterizza le successioni positivamente divergenti!
Infatti, quando $text(maxlim) a_n = +oo$, non puoi affatto dire che da un certo indice in poi tutti i termini della successione sono maggiori di $K$; quello che puoi dire è solo che ci sono infiniti termini della successione (ma non necessariamente tutti da un certo punto in poi) maggiori di $K$.

Ad esempio, nel caso di $(-1)^n*n$, fissato $K=1000$, non è affatto vero che risulta $(-1)^n*n > 1000$ per ogni $n>1001$, perché per $n=1003$ hai $(-1)^(1003)*1003=-1003<1000$!
Tuttavia è molto vero che esistono infiniti indici $n$ tali che $(-1)^n*n > 1000$, precisamente tutti gli indici pari maggiori di $1001$.

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galles90

28 apr 2019, 08:38

Esercizio: Dimostrare che la proprietà:

$forall K>0, \ exists n_k in mathbb{N}\ : \ a_(n_K)>K$;

equivale a dire che per ogni $K>0$ esistono infiniti indici $n in mathbb{N}$ tali che $a_n>K$.

Sia quindi

$forall K>0, \ exists n_k in mathbb{N}\ : \ a_(n_K)>K leftrightarrow mbox{sup}(a_n)=+infty$

quindi la successione $a_n$ risulta illimitata superiomente, cioè

$forall K>0, \ qquad a_n>K$ per infiniti indici.

Viceversa, sia quindi

$K>0$ esistono infiniti indici $n in mathbb{N}$ tali che $a_n>K$.

per cui in particolare esiste un indice $n_K$ in corrispondenza di $K$, tale $a_(n_K)>K.$

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gugo82

28 apr 2019, 08:59

La $=>$ devi scriverla meglio.
Non hai dimostrato nulla, perché dire che $(a_n)$ non è limitata superiormente non vuol dire che esistono infiniti $a_n$ maggiori di $K$.

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galles90

28 apr 2019, 11:23

Definzione estremo superiore

$mbox{sup}(a_n)=+ infty leftrightarrow forall K \ exists n in mathbb{N} \ : \ a_n>K.$

Considero l'insieme dei maggioranti $A={K in mathbb{R}:\ a_n le K\ forall n in mathbb{N}}$.
L'insieme $A$ è necessariamente vuoto, essendo che il $mbox{sup}(a_n)=+infty$, quindi si deve avere:

$a_n >K \ forall n in mathbb{N}.$

Quindi dalla definizione di $mbox{sup}$, si ha:

$forall K>0, \ quad a_n>K \ qquad forall n in mathbb{N}.$

Cancello e ricomincio ?

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gugo82

28 apr 2019, 12:20

"galles90":Cancello e ricomincio?

Già.
Non solo non hai ancora dimostrato la proposizione, ma hai pure usato in maniera sbagliatissima i quantificatori.

La dimostrazione o la fai determinando esplicitamente un modo per individuare gli infiniti $a_n$ che sono maggiori di $K$, oppure provi per assurdo.

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galles90

28 apr 2019, 14:55

Scusami gugo, il fatto di sfruttare l'insieme dei maggioranti è giusta ?
cioè voglio dire se dico che il $mbox{sup}(a_n)=+infty$ quindi l'insieme $A$ è vuoto, cioè, per essere vuoto $A$ deve succedere che

$forall n in mathbb{N}:\ a_n>K$

dov'è l'errore ?

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gugo82

28 apr 2019, 17:07

L’errore è che:

[*:17qrxqig] c’è un quantificatore universale usato ove non ci va e non ce n’è uno che ci va;

[/*:m:17qrxqig]
[*:17qrxqig] c’è un insieme $A$ che non si sa cosa sia;

[/*:m:17qrxqig]
[*:17qrxqig] $text(sup) a_n = +oo$ non vuol dire (i.e., non è definito come) quello che vuoi dire tu;

[/*:m:17qrxqig]
[*:17qrxqig] se una cosa che vuoi usare non è una definizione, devi averla già dimostrata oppure devi dimostrarla all’occorrenza.[/*:m:17qrxqig][/list:u:17qrxqig]

Queste, a parte fatti incidentali relativi ai $text(sup)$ e compagnia bella, sono proprio le basi del ragionamento matematico; se non hai capito come si procede, vuol dire che non stai studiando bene.
E, per quanto mi secchi dirlo, non è scrivendo e leggendo un forum che risolverai questo problema.
Occorre che ripensi in toto il tuo modo di approcciare lo studio; probabilmente, potrebbe giovarti chiederti e cercare di spiegarti sempre “perché” di certi passaggi nelle dimostrazioni.

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galles90

28 apr 2019, 18:14

Grazie....Ciao.

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[gugo82]

No, vabbè… Quello che hai scritto significa che non hai ben chiare le basi, a partire dalla definizione di limite di successione per arrivare al ruolo delle successioni estratte ed al significato delle proprietà caratteristiche del massimo e minimo limite.

Devi rivedere la teoria.

Che libro usi di Analisi I? Marcellini & Sbordone?
Nel caso, lascialo perdere e vatti a guardare il Giusti o il Pagani & Salsa (ma su questo argomento specifico, i.e. massimo e minimo limite, il Giusti mi piace di più).

[galles90]

Però voglio capire dove sbaglio, quello che ho fatto, ho applicato questa proposizione:

Da una successione non regolare $a_n$ si possono sempre estrarre almeno due successioni regolari ( quinidi convergenti se limitate) con limiti diversi fra loro (uguali rispettivamente a $min lim_(n to infty) a_n$ ed a $max lim_(n to infty) a_n$ ).

Ho estratto la sottosuccesione $a_(2n)=2n$ cioè la successione con indice pari, ora devo verificare che :

"gugo82":
\[ \forall K > 0,\ \exists \nu >0:\quad \forall n>\nu,\ a_n > K\;? \]

Scelgo un $K>0$ in corrispondenza di tale valore esiste un indice $nu>0$ tale che verifichi la relazione $2n>K$, per ogni $n>nu$, quindi $2n>K$ per ogni $n>K/2$

[galles90]

Il Giusti che ho, edizione 2016, non è presente questa parte di teoria inerente al massimo limite e minimo limte, comunque uso:
Marcellini & Sbordone-Analisi Matematica 1
Stampacchia & Cecconi-Analisi Matematica 1

[gugo82]

Il Cecconi & Stampacchia è buono, ma un po’ datato.
Per quanto concerne il Giusti, getta quello che hai e prendi quello pre-riforma (seconda edizione, ristampa 1996). Ovviamente, prendilo in prestito in biblioteca.

[galles90]

Provederò, comunque ti ringrazio per la cortese pazienza, ciao.

[gugo82]

Valgono i seguenti fatti:

Sia $(a_n)$ una successione reale.

Risulta $text(maxlim) a_n = +oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} > K\; ;
\]
mentre risulta $text(maxlim) a_n = - oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu,\ a_{n} < - K\; .
\]

Dim.:

Per definizione, è $text(maxlim) a_n = +oo$ se e solo se $text(sup) a_n = +oo$ e ciò, a norma delle proprietà dell’estremo superiore, significa che nessun numero positivo è un maggiorante per $(a_n)$; dunque:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} > K\; ,
\]
che è la tesi.

D’altra parte, si ha $text(maxlim) a_n = - oo$ solo se anche $text(minlim) a_n = - oo$ (perché $text(maxlim) a_n >= text(minlim) a_n$ in $hat(RR)$), ossia se $lim a_n = -oo$; dunque:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu,\ a_{n} < - K\; ,
\]
come volevamo.

Esercizio: Dimostrare che la proprietà:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} > K\; ;
\]
equivale a dire che per ogni $K>0$ esistono infiniti indici $n in NN$ tali che $a_n > K$.

Analogamente si dimostra che:

Sia $(a_n)$ una successione reale.

Risulta $text(minlim) a_n = - oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists n_K \in \mathbb{N}:\quad a_{n_K} < - K\; ;
\]
mentre risulta $text(minlim) a_n = + oo$ se e solo se:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu,\ a_{n} > K\; .
\]

L’esempio di $(-1)^n*n$ che ti ho proposto più sopra serviva proprio a farti capire che non è vero che $text(maxlim) a_n = +oo => lim a_n = +oo$ e, quindi, che non può essere corretto caratterizzare le successioni aventi $text(maxlim) a_n = +oo$ usando la proprietà:
\[
\forall K>0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n >\nu,\ a_n > K
\]
che caratterizza le successioni positivamente divergenti!
Infatti, quando $text(maxlim) a_n = +oo$, non puoi affatto dire che da un certo indice in poi tutti i termini della successione sono maggiori di $K$; quello che puoi dire è solo che ci sono infiniti termini della successione (ma non necessariamente tutti da un certo punto in poi) maggiori di $K$.

Ad esempio, nel caso di $(-1)^n*n$, fissato $K=1000$, non è affatto vero che risulta $(-1)^n*n > 1000$ per ogni $n>1001$, perché per $n=1003$ hai $(-1)^(1003)*1003=-1003<1000$!
Tuttavia è molto vero che esistono infiniti indici $n$ tali che $(-1)^n*n > 1000$, precisamente tutti gli indici pari maggiori di $1001$.

[galles90]

Esercizio: Dimostrare che la proprietà:

$forall K>0, \ exists n_k in mathbb{N}\ : \ a_(n_K)>K$;

equivale a dire che per ogni $K>0$ esistono infiniti indici $n in mathbb{N}$ tali che $a_n>K$.

Sia quindi

$forall K>0, \ exists n_k in mathbb{N}\ : \ a_(n_K)>K leftrightarrow mbox{sup}(a_n)=+infty$

quindi la successione $a_n$ risulta illimitata superiomente, cioè

$forall K>0, \ qquad a_n>K$ per infiniti indici.

Viceversa, sia quindi

$K>0$ esistono infiniti indici $n in mathbb{N}$ tali che $a_n>K$.

per cui in particolare esiste un indice $n_K$ in corrispondenza di $K$, tale $a_(n_K)>K.$

[gugo82]

La $=>$ devi scriverla meglio.
Non hai dimostrato nulla, perché dire che $(a_n)$ non è limitata superiormente non vuol dire che esistono infiniti $a_n$ maggiori di $K$.

[galles90]

Definzione estremo superiore

$mbox{sup}(a_n)=+ infty leftrightarrow forall K \ exists n in mathbb{N} \ : \ a_n>K.$

Considero l'insieme dei maggioranti $A={K in mathbb{R}:\ a_n le K\ forall n in mathbb{N}}$.
L'insieme $A$ è necessariamente vuoto, essendo che il $mbox{sup}(a_n)=+infty$, quindi si deve avere:

$a_n >K \ forall n in mathbb{N}.$

Quindi dalla definizione di $mbox{sup}$, si ha:

$forall K>0, \ quad a_n>K \ qquad forall n in mathbb{N}.$

Cancello e ricomincio ?

[gugo82]

"galles90":Cancello e ricomincio?

Già.
Non solo non hai ancora dimostrato la proposizione, ma hai pure usato in maniera sbagliatissima i quantificatori.

La dimostrazione o la fai determinando esplicitamente un modo per individuare gli infiniti $a_n$ che sono maggiori di $K$, oppure provi per assurdo.

[galles90]

Scusami gugo, il fatto di sfruttare l'insieme dei maggioranti è giusta ?
cioè voglio dire se dico che il $mbox{sup}(a_n)=+infty$ quindi l'insieme $A$ è vuoto, cioè, per essere vuoto $A$ deve succedere che

$forall n in mathbb{N}:\ a_n>K$

dov'è l'errore ?

[gugo82]

L’errore è che:

[*:17qrxqig] c’è un quantificatore universale usato ove non ci va e non ce n’è uno che ci va;

[/*:m:17qrxqig]
[*:17qrxqig] c’è un insieme $A$ che non si sa cosa sia;

[/*:m:17qrxqig]
[*:17qrxqig] $text(sup) a_n = +oo$ non vuol dire (i.e., non è definito come) quello che vuoi dire tu;

[/*:m:17qrxqig]
[*:17qrxqig] se una cosa che vuoi usare non è una definizione, devi averla già dimostrata oppure devi dimostrarla all’occorrenza.[/*:m:17qrxqig][/list:u:17qrxqig]

Queste, a parte fatti incidentali relativi ai $text(sup)$ e compagnia bella, sono proprio le basi del ragionamento matematico; se non hai capito come si procede, vuol dire che non stai studiando bene.
E, per quanto mi secchi dirlo, non è scrivendo e leggendo un forum che risolverai questo problema.
Occorre che ripensi in toto il tuo modo di approcciare lo studio; probabilmente, potrebbe giovarti chiederti e cercare di spiegarti sempre “perché” di certi passaggi nelle dimostrazioni.

[galles90]

Grazie....Ciao.