Massimi/minini relativi funzione di due variabili
data la seguente funzione
$f(x,y)=xsqrt(x^2-y^2)$
calcolare gli eventuali punti di max e/o min relativi
mi studio il dominio della funzione. risulta essere definita in $x^2>=y^2$. mi calcolo i punti critici derivando parzialmente rispetto $x$ ed $y$.annullo il gradiente.ottengo così il punto $(0,0)$.non ci faccio neanche la prova a calcolarmi l'hessiano perché sicuramente sarà semi-definito.allora mi studio il segno di $f(x,y)-f(0,0)$. la funzione è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$. da ciò segue che il punto $(0,0)$ è un punto di sella perché in un intorno del punto cadono sia valori positivi che negativi. a questo punto mi chiedo: ed i punti nella frontiera?sbaglio o i punti sulla retta $y=-x$ sono di minimo e quelli sulla retta $y=x$ sono per $x>0$ punti di min e per $x<0$ punti di max. giusto o sbagliato?
$f(x,y)=xsqrt(x^2-y^2)$
calcolare gli eventuali punti di max e/o min relativi
mi studio il dominio della funzione. risulta essere definita in $x^2>=y^2$. mi calcolo i punti critici derivando parzialmente rispetto $x$ ed $y$.annullo il gradiente.ottengo così il punto $(0,0)$.non ci faccio neanche la prova a calcolarmi l'hessiano perché sicuramente sarà semi-definito.allora mi studio il segno di $f(x,y)-f(0,0)$. la funzione è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$. da ciò segue che il punto $(0,0)$ è un punto di sella perché in un intorno del punto cadono sia valori positivi che negativi. a questo punto mi chiedo: ed i punti nella frontiera?sbaglio o i punti sulla retta $y=-x$ sono di minimo e quelli sulla retta $y=x$ sono per $x>0$ punti di min e per $x<0$ punti di max. giusto o sbagliato?
Risposte
Sostituisci la y così definita nella funzione data e controlla la funzione nella sola x che ti trovi.
Devi calcolare [tex]f(x;x)[/tex] ed [tex]f(x;-x)[/tex]!
Devi calcolare [tex]f(x;x)[/tex] ed [tex]f(x;-x)[/tex]!
"j18eos":
Sostituisci la y così definita nella funzione data e controlla la funzione nella sola x che ti trovi.
scusa ma non ho capito cosa vuoi dire
lo sò, ho scritto di fretta! Aspetta un minuto che lo modifico!
"j18eos":
Sostituisci la y così definita nella funzione data e controlla la funzione nella sola x che ti trovi.
Devi calcolare [tex]f(x;x)[/tex] ed [tex]f(x;-x)[/tex]!
in questo caso la funzione è identicamente nulla
$f(x,x)=xsqrt(x^2-x^2)=0$
[edit]
quindi segue che...?
Che devi controllare se la f cambiasse di segno attorno a tali punti.
"j18eos":
Che devi controllare se la f cambiasse di segno attorno a tali punti.
ma io avevo fatto il seguente ragionamento:
il segno della funzione $f(x,y)$ dipende solamente da x dato che sqrt(x^2-y^2) è sempre positiva.adesso $x$ è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$.perciò posso giungere a dire che in $(0,0)$ è un punto di sella e i punti per $x>0$ sono di min mentre per $x<0$ sn di max
Allora le bisettrici sono punti di minimo e massimo relativi secondo le opportune condizioni sulla x; quello che hai scritto non l'avevo visto!
"j18eos":
Allora le bisettrici sono punti di minimo e massimo relativi secondo le opportune condizioni sulla x; quello che hai scritto non l'avevo visto!
ah ok benissimo allora problema risolto.invece se volessi sapere se la $f(x,y)$ fosse limitata devo dimostrare che questa ammette maggiorante/minorante ma come?magari fare il limite per $lim_{x,y\to\+oo} f(x,y)$
I limiti nel piano reale non si fanno all'infinito come hai scritto tu; dovresti dimostrare che: [tex]\exists M>0\mid\forall(x;y)\in D,\,|f(x;y)|\leq M[/tex] (D insieme di definizione)
"j18eos":
I limiti nel piano reale non si fanno all'infinito come hai scritto tu; dovresti dimostrare che: [tex]\exists M>0\mid\forall(x;y)\in D,\,|f(x;y)|\leq M[/tex] (D insieme di definizione)
e quindi...?devo mettermi a cercare quel valore $M$ per cui viene soddisfatta quella condizione?
I) Non esistono i punti [tex](\pm\infty;\pm\infty)[/tex] nel piano reale! I limiti all'infinito si calcolano fissando una direzione verso l'infinito; mi spiego, limite per [tex]y\to+\infty[/tex] lungo un ramo della funzione [tex]\frac{1}{x}[/tex].
II) Esattamente; ammesso che esista o che tu possa dimostrare che esista.
II) Esattamente; ammesso che esista o che tu possa dimostrare che esista.
"j18eos":
I) Non esistono i punti [tex](\pm\infty;\pm\infty)[/tex] nel piano reale! I limiti all'infinito si calcolano fissando una direzione verso l'infinito; mi spiego, limite per [tex]y\to+\infty[/tex] lungo un ramo della funzione [tex]\frac{1}{x}[/tex].
II) Esattamente; ammesso che esista o che tu possa dimostrare che esista.
mmm secondo me non è la strada corretta applicare direttamente la definizione.devo vedere se esiste o non esiste il maggiorante/minorante.secondo me non esistono perchè il limite sopra non esiste
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