Massimi/minimi liberi di funzioni in tre variabili

[Me0001]

Buongiorno a tutti,

Ho dei dubbi nella risoluzione di questo esercizio di massimi e minimi, la funzione in questione è:

$ f(x,y,z) = 3y^2z^2-5x^2y-2z^2+4x^2 $

Ho trovato il suo gradiente e ho eguagliato gli elementi del gradiente a 0, il sistema risulta essere:

\begin{cases} -10xy + 8x = 0 \\ 6yz^2 -5x^2 = 0 \\ 6y^2z - 4z = 0 \end{cases}

Risolvendo questo sistema trovo i punti critici della funzione, che mi sembrano essere tutti i punti P(0,y,0).
Calcolo poi la matrice hessiana:

\begin{bmatrix} -10y+8 & -10x & 0 \\ -10x & 6z^2 & 12yz \\ 0 & 12yz & 6y^2-4 \end{bmatrix}

e sostituisco in questa i punti (0,y,0).
Ora mi ritrovo con un autovalore nullo nella matrice hessiana e non saprei come procedere, avete dei suggerimenti?

Grazie in anticipo

[ingres]

Provo a suggerirti una strada sperando che sia quella buona. Osserviamo che si può scrivere:

$f(x,y,z) = x^2*(4-5y) + z^2*(3y^2-2) = x^2*g(y) + z^2*h(y)$

e inoltre che $f(0,y,0) =0$ per qualunque valore di y.

Quindi si può studiare il segno delle due funzioni in y per vedere di trarne delle conclusioni sui punti critici.
Ad es. se sono entrambe positive, allora $f ge 0$ e quindi il punto critico è un minimo, se entrambe negative allora $f le 0$ e quindi il punto critico è un massimo
Se invece sono di segno opposto, per un assegnato valore di y si possono sempre prendere 2 rette opportune, ad es.

$z = sqrt(2*abs((g(y))/(h(y))))*x$
$z = sqrt(1/2*abs((g(y))/(h(y))))*x$

e verificare che il punto critico risulti di massimo per una retta e di minimo per l'altra per cui possiamo concludere che è un punto sella.