Massimi, minimi e punti di flesso di una funzione
Help!
Non sono riuscito a capire come procedere per risolvere esercizi del tipo:
e via dicendo...
In particolare non ho capito bene la differenza tra massimi/minimi RELATIVI e ASSOLUTI; cioè, credo di aver capito che per massimo assoluto si intende il valore massimo che la funzione assume nell'intervallo cercato (idem per minimo), relativo è invece dove la derivata prima si annulla, il flesso dove la derivata seconda si annulla.
Ma come si procede per risolvere un esercizio tipo quelli sopra.
Qualcuno potrebbe aiutarmi spiegandomi i passaggi generali su come procedere?
Please!
Grazie alle menti che mi aiuteranno!
Jago
Non sono riuscito a capire come procedere per risolvere esercizi del tipo:
- Determinare massimi e minimi relativi e punti di flesso di f(x) = x^3 - 2|x^2 - 1|
- Stabilire se l'origine è un punto di massimo, mino o flesso per f(x) = ln(1+x^6) - sin(x^7)
e via dicendo...
In particolare non ho capito bene la differenza tra massimi/minimi RELATIVI e ASSOLUTI; cioè, credo di aver capito che per massimo assoluto si intende il valore massimo che la funzione assume nell'intervallo cercato (idem per minimo), relativo è invece dove la derivata prima si annulla, il flesso dove la derivata seconda si annulla.
Ma come si procede per risolvere un esercizio tipo quelli sopra.
Qualcuno potrebbe aiutarmi spiegandomi i passaggi generali su come procedere?
Please!
Grazie alle menti che mi aiuteranno!
Jago
Risposte
f(x) = ln(1+x^6) - sin(x^7)
Derivando (i calcoli sono abbastanza semplici) si ha:
(6x^5)/(x^6 + 1) - (7x^6)*(cos(x^7))
Si vede già da subito che la derivata prima si annulla per x = 0.
Quindi l'origine è sicuramente un minimo relativo.
La derivata seconda è:
(-42x^5)*(cos(x^7)) + (49x^12)*(sin(x^7)) - ((6x^4)*(x^6 - 5))/(x^6 + 1)²
Anche questa si annulla per x = 0.
Quindi direi che l'origine è sia un minimo che un flesso.
Derivando (i calcoli sono abbastanza semplici) si ha:
(6x^5)/(x^6 + 1) - (7x^6)*(cos(x^7))
Si vede già da subito che la derivata prima si annulla per x = 0.
Quindi l'origine è sicuramente un minimo relativo.
La derivata seconda è:
(-42x^5)*(cos(x^7)) + (49x^12)*(sin(x^7)) - ((6x^4)*(x^6 - 5))/(x^6 + 1)²
Anche questa si annulla per x = 0.
Quindi direi che l'origine è sia un minimo che un flesso.
OK, grazie, ma quello che non mi è chiaro è la differenza tra RELATIVI e ASSOLUTI.
Ad esempio nel primo esercizio so che la soluzione è:
max rel. in -1 e +1
min rel. in 0 e 4/3
flesso in -2/3
Ma come ci si arriva?
Ad esempio questo:
Determinare massimi e minimi sia relativi che assoluti nel suo campo di esistenza
f(x) = sqrt(2x) + sqrt(6-x)
Come si procede?
Mi servirebbe una mano sul procedimento più che sui risultati, quelli li ho già.
Grazie! :F
Jago
Ad esempio nel primo esercizio so che la soluzione è:
max rel. in -1 e +1
min rel. in 0 e 4/3
flesso in -2/3
Ma come ci si arriva?
Ad esempio questo:
Determinare massimi e minimi sia relativi che assoluti nel suo campo di esistenza
f(x) = sqrt(2x) + sqrt(6-x)
Come si procede?
Mi servirebbe una mano sul procedimento più che sui risultati, quelli li ho già.
Grazie! :F
Jago
Il campo di esistenza e':0<=x<=6
La derivata prima si annulla per x=24/5 (accettabile)
La derivata seconda e' negativa in tale punto e percio'
si tratta di un punto di max.rel.
Ora :
f(24/5)=4.34
f(0)=2.45
f(6)=3.46
Pertanto facendo il confronto si vede che il minimo
assoluto e' 2.45 ed il massimo assoluto e' 4.34.
In generale i massimi e minimi assoluti vanno
ricercati tra i punti di estremo relativo,negli estremi
del campo di definizione e nei punti (eventuali) di
discontinuita' della derivata prima.
La differenza tra estremi relativi ed assoluti
consiste nel fatto che i primi sono tali solo
localmente (cioe' in un intorno di essi) e gli altri
lo sono per tutto il dominio di esistenza.
karl.
Modificato da - karl il 07/06/2004 23:52:09
La derivata prima si annulla per x=24/5 (accettabile)
La derivata seconda e' negativa in tale punto e percio'
si tratta di un punto di max.rel.
Ora :
f(24/5)=4.34
f(0)=2.45
f(6)=3.46
Pertanto facendo il confronto si vede che il minimo
assoluto e' 2.45 ed il massimo assoluto e' 4.34.
In generale i massimi e minimi assoluti vanno
ricercati tra i punti di estremo relativo,negli estremi
del campo di definizione e nei punti (eventuali) di
discontinuita' della derivata prima.
La differenza tra estremi relativi ed assoluti
consiste nel fatto che i primi sono tali solo
localmente (cioe' in un intorno di essi) e gli altri
lo sono per tutto il dominio di esistenza.
karl.
Modificato da - karl il 07/06/2004 23:52:09
*quote:
...
Determinare massimi e minimi sia relativi che assoluti nel suo campo di esistenza
...
Come si procede?
Mi servirebbe una mano sul procedimento più che sui risultati, quelli li ho già. [jago]
la risposta, secondo me, jago, è: "dirty manual work"
nel senso che:
- analizzi la funzione con i metodi tradizionali
- fai un elenco dei massimi (inclusi quelli eventuali agli estremi del campo di definiz.)
- ne "eleggi" a massimo assoluto il maggiore (se è unico, ...) similmente per i minimi.
prova con y = sin(100*x+0)-sin(10*x-0.3)+sin(x-0.6), x:(0, pi/2)
qualcuno propone metodi meno trogloditici?
tony
Grazie!
Se ho capito bene si deve vedere dove la derivata prima si annulla e poi la derivata seconda per vedere se è un minimo relativo (f">0) un massimo relativo (f"<0) o un flesso (f"=0).
Inoltre si controllano gli estremi del campo di esistenza e in base ai valori assunti dalla funzione in tutti questi punti si vede quali sono i valori di massimo/minimo assoluto.
Confermate?
Un ultimissimo problemino: non mi è ben chiaro che significa punto a tangenza verticale/orizzontale e come si trovano tali punti.
Grazie ancora
JAGO
Se ho capito bene si deve vedere dove la derivata prima si annulla e poi la derivata seconda per vedere se è un minimo relativo (f">0) un massimo relativo (f"<0) o un flesso (f"=0).
Inoltre si controllano gli estremi del campo di esistenza e in base ai valori assunti dalla funzione in tutti questi punti si vede quali sono i valori di massimo/minimo assoluto.
Confermate?
Un ultimissimo problemino: non mi è ben chiaro che significa punto a tangenza verticale/orizzontale e come si trovano tali punti.
Grazie ancora
JAGO
Punto a tangenza orizzontale : penso si intenda punto della curva ove la tangente è orizzontale e quindi la derivata prima si annulla : senz'altro i punti di massimo e minimo relativi e quelli a flesso orizzontale.
Punto a tangenza verticale : ove la tangente è verticale e quindi la derivata prima tende a +- infinito.
Ad es : sqrt(|x|) ; il punto x=0 è a tangente verticale , infatti la derivata prima vale: +- 1/sqrt(|x|) e tende a +infinito per x che tende a 0+ mentre tende a -infinito per x che tende a 0-.
Modificato da - camillo il 08/06/2004 14:06:38
Punto a tangenza verticale : ove la tangente è verticale e quindi la derivata prima tende a +- infinito.
Ad es : sqrt(|x|) ; il punto x=0 è a tangente verticale , infatti la derivata prima vale: +- 1/sqrt(|x|) e tende a +infinito per x che tende a 0+ mentre tende a -infinito per x che tende a 0-.
Modificato da - camillo il 08/06/2004 14:06:38
Grazie.
Speriamo bene, domani ho l'esame
JAGO
Speriamo bene, domani ho l'esame
JAGO
scusate ma nei punti di flesso la derivata prima si annulla per forza?
Ovviamente no, ad esempio la funzione seno ha derivata unitaria nell'origine pur essendo l'origine un punto di flesso.
No , quella che si annulla per forza nei punti di flesso è la derivata seconda .
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo