Massimi e minimi vincolati
Salve a tutti, io ho difficoltà a definire gli insiemi da studiare nei massimi e minimi vincolati. Qualcuno mi riesce a dare una mano magari spiegando come fare? Con insiemi da studiare intendo dividere i vari casi dei vincoli. Per esempio dato questo esercizio:
non riesco a capire come trovare gli insiemi qui sotto
Posto qua qualche esercizio. Grazie a tutti
non riesco a capire come trovare gli insiemi qui sotto
Posto qua qualche esercizio. Grazie a tutti
Risposte
Che vuol dire "determinare $f(A)$"?
"Vulplasir":
Che vuol dire "determinare $f(A)$"?
Vuol dire trovare il massimo globale e il minimo globale, tipo una specie di codominio. In ogni caso devo trovare massimo e minimo assoluti.
Prova a partire da quelli in 2 variabili e con un solo vincolo di uguaglianza/disuguaglianza.
Quando hai un vincolo di disuguaglianza $>=$ (oppure $<=$) allora devi separare i casi con l'uguaglianza (=) e quelli con disugaglianza stretta (> oppure <). Nel secondo caso devi solo calcolare il gradiente e porlo uguale a zero e verificare che tali punti con gradiente nullo appartengano alla zona data dal vincolo di disuaguaglianza stretta, nel primo devi usare i moltiplicatori di lagrange. Per esempio prova a fare il quartultimo es che hai postato.
Quando hai un vincolo di disuguaglianza $>=$ (oppure $<=$) allora devi separare i casi con l'uguaglianza (=) e quelli con disugaglianza stretta (> oppure <). Nel secondo caso devi solo calcolare il gradiente e porlo uguale a zero e verificare che tali punti con gradiente nullo appartengano alla zona data dal vincolo di disuaguaglianza stretta, nel primo devi usare i moltiplicatori di lagrange. Per esempio prova a fare il quartultimo es che hai postato.
"Vulplasir":
Prova a partire da quelli in 2 variabili e con un solo vincolo di uguaglianza/disuguaglianza.
Quando hai un vincolo di disuguaglianza $>=$ (oppure $<=$) allora devi separare i casi con l'uguaglianza (=) e quelli con disugaglianza stretta (> oppure <). Nel secondo caso devi solo calcolare il gradiente e porlo uguale a zero e verificare che tali punti con gradiente nullo appartengano alla zona data dal vincolo di disuaguaglianza stretta, nel primo devi usare i moltiplicatori di lagrange. Per esempio prova a fare il quartultimo es che hai postato.
Intanto grazie mille per la disponibilità. Allora, nel quartultimo esercizio io considererei tre insiemi.
$ S_1=(1
$ S_3=(x^2+y^2=2, x^2+y^2>=1) $
Dove in $ S_1 $ guardo il gradiente dove si annulla mentre in $ S_2 $e $ S_3 $ userei Lagrange. Dimmi che non ho sbagliato tutto
$S_1$ che hai scritto va bene, è un insieme aperto e limitato, la funzione se ammette dei massimi/minimi in questo insieme li ammette dove si annulla il suo gradiente (oppure nei punti in cui il gradiente non è definito).
$S_2$ e $S_3$ scritti così non hanno senso. $S_2$ è l'insieme costituito dai punto che appartengono alla circonferenza di raggio 1 e $s_3$ a quella di raggio 2, quindi:
$S_2=(x^2+y^2=1)$;
$S_3=(x^2+y^2=2)$
In S_2 e S_3 usi lagrange oppure parametrizzi le due circonferenze.
$S_2$ e $S_3$ scritti così non hanno senso. $S_2$ è l'insieme costituito dai punto che appartengono alla circonferenza di raggio 1 e $s_3$ a quella di raggio 2, quindi:
$S_2=(x^2+y^2=1)$;
$S_3=(x^2+y^2=2)$
In S_2 e S_3 usi lagrange oppure parametrizzi le due circonferenze.
"Vulplasir":
$S_1$ che hai scritto va bene, è un insieme aperto e limitato, la funzione se ammette dei massimi/minimi in questo insieme li ammette dove si annulla il suo gradiente (oppure nei punti in cui il gradiente non è definito).
$S_2$ e $S_3$ scritti così non hanno senso. $S_2$ è l'insieme costituito dai punto che appartengono alla circonferenza di raggio 1 e $s_3$ a quella di raggio 2, quindi:
$S_2=(x^2+y^2=1)$;
$S_3=(x^2+y^2=2)$
In S_2 e S_3 usi lagrange oppure parametrizzi le due circonferenze.
ok hai ragione, e fin qua direi di aver capito. Ma in casi con due disequazioni o con una disequazione e un'equazione come devo procedere?
Nel caso di due disequazioni considera la penultima immagine.
$A=x^2+y^2<=1$; $x+y+1>=0$
L'interno di tale insieme è dato da $S_1(x^2+y^2<1, x+y+1>0)$, quindi in questo insieme basta che poni a zero il gradiente e verifichi che i punti in cui si annulla appartengono a tale insieme.
Poi consideri gli altri due insiemi: $S_2=(x^2+y^2=1, x+y+1>=0)$, ossia i punti vicolati sulla circonferenza di raggio 1 e tali da verificare l'altra disuguaglianza. Per risolverla usi lagrange con il vincolo $x^2+y^2=1$ e quindi vedi se i punti che verificano lagrange appartengono a $x+y+1>=0$.
Nello stesso modo si usa lagrange con i punti vincolati da $x+y+1=0$ e tali che $x^2+y^2<=1$, ossia applichi lagrange sul vincolo $x+y+1=0$ e verifichi che i punti che verificano lagrange appartengano a $x^2+y^2<=1$
$A=x^2+y^2<=1$; $x+y+1>=0$
L'interno di tale insieme è dato da $S_1(x^2+y^2<1, x+y+1>0)$, quindi in questo insieme basta che poni a zero il gradiente e verifichi che i punti in cui si annulla appartengono a tale insieme.
Poi consideri gli altri due insiemi: $S_2=(x^2+y^2=1, x+y+1>=0)$, ossia i punti vicolati sulla circonferenza di raggio 1 e tali da verificare l'altra disuguaglianza. Per risolverla usi lagrange con il vincolo $x^2+y^2=1$ e quindi vedi se i punti che verificano lagrange appartengono a $x+y+1>=0$.
Nello stesso modo si usa lagrange con i punti vincolati da $x+y+1=0$ e tali che $x^2+y^2<=1$, ossia applichi lagrange sul vincolo $x+y+1=0$ e verifichi che i punti che verificano lagrange appartengano a $x^2+y^2<=1$
"Vulplasir":
Nel caso di due disequazioni considera la penultima immagine.
$A=x^2+y^2<=1$; $x+y+1>=0$
L'interno di tale insieme è dato da $S_1(x^2+y^2<1, x+y+1>0)$, quindi in questo insieme basta che poni a zero il gradiente e verifichi che i punti in cui si annulla appartengono a tale insieme.
Poi consideri gli altri due insiemi: $S_2=(x^2+y^2=1, x+y+1>=0)$, ossia i punti vicolati sulla circonferenza di raggio 1 e tali da verificare l'altra disuguaglianza. Per risolverla usi lagrange con il vincolo $x^2+y^2=1$ e quindi vedi se i punti che verificano lagrange appartengono a $x+y+1>=0$.
Nello stesso modo si usa lagrange con i punti vincolati da $x+y+1=0$ e tali che $x^2+y^2<=1$, ossia applichi lagrange sul vincolo $x+y+1=0$ e verifichi che i punti che verificano lagrange appartengano a $x^2+y^2<=1$
Ok molto chiaro, e nel caso di una equazione e una disequazione ? come procedo? Adesso comunque provo a fare qualche esercizio e lo posto qua. Se riesci a darci un occhio mi sarebbe di grande aiuto. Grazie mille ancora
Nel caso di due disuguaglianza ti ho indirettamente anche detto cosa fare quando hai un vincolo di uguaglianza e uno di disuguaglianza
"Vulplasir":
Nel caso di due disuguaglianza ti ho indirettamente anche detto cosa fare quando hai un vincolo di uguaglianza e uno di disuguaglianza
Ok forse ci sono. Allora posto qui l'impostazione iniziale di alcuni es che ho postato prima. Secondo te ho sbagliato qualcosa?
Esercizio 1
$ S_1=(x^2+y^2<25,xy > -1) $ guardo gradiente nullo e verifico su tutte e due le disequazioni in $ S_1 $
$ S_2=(x^2+y^2=25,xy > -1) $ uso lagrange sull'equazione e verifico i punti sulla disequazione
$ S_3=(x^2+y^2<25,xy = -1) $ uso lagrange sull'equazione e verifico i punti sulla disequazione
Esercizio 2
$ S_1=(x^2+y^2+z^2=5, x^2+y^2=(z-1)^2) $ uso lagrange sull'equazione e verifico i punti sulla disequazione
$ S_2=(x^2+y^2+z^2=5, x^2+y^2<(z-1)^2) $ userei il gradiente ma non sono sicuro
Esercizio 3
$ S_1=(x^2+y^2+z^2=3) $ uso Lagrange
Esercizio 4
$ S_1=(x^2+y^2<25, |x+y|>5) $ guardo gradiente nullo e verifico su tutte e due le disequazioni in $ S_1 $
$ S_2=(x^2+y^2=25, |x+y|>5) $ uso lagrange sull'equazione e verifico i punti sulla disequazione
$ S_3=(x^2+y^2<25, |x+y|=5) $ uso lagrange sull'equazione e verifico i punti sulla disequazione
Esercizio ultimo
$ S_1=(|x-y|<2,x^2+y^2<10) $ guardo gradiente nullo e verifico su tutte e due le disequazioni in $ S_1 $
$ S_2=(|x-y|=2,x^2+y^2<10) $ uso lagrange sull'equazione e verifico i punti sulla disequazione
$ S_3=(|x-y|<2,x^2+y^2=10) $ uso lagrange sull'equazione e verifico i punti sulla disequazione
Mi sembrano tutti corretti a parte il 2: Nel secondo esercizio hai una uguaglianza e una disuguaglianza, quindi devi solo usare lagrange sull'uguaglianza e verificare i punti sulla disuguaglianza.
"Vulplasir":
Mi sembrano tutti corretti a parte il 2: Nel secondo esercizio hai una uguaglianza e una disuguaglianza, quindi devi solo usare lagrange sull'uguaglianza e verificare i punti sulla disuguaglianza.
Ma sei sicuro? perchè io ho un esercizio simile su degli appunti e il Prof lo svolge con più insiemi.
L'esercizio è questo: $ f(x,y,z)=x^2+yz $ e $ A={x^2+y^2=9,x^2+z^2<=25) $
lui procede con questi insiemi:
$ S_1=(x^2+y^2=9,x^2+z^2=25) $ e $ S_2=(x^2+y^2=9,x^2+z^2<25) $
No, ho sbagliato io, infatti quando si ha un'uguaglianza e una disugaglianza $(>=)$, va fatto lagrange con verifica sulla disuguaglianza stretta $(>)$ e poi va considerato l'insieme determinato dalle due uguaglianze.
"Vulplasir":
No, ho sbagliato io, infatti quando si ha un'uguaglianza e una disugaglianza $(>=)$, va fatto lagrange con verifica sulla disuguaglianza stretta $(>)$ e poi va considerato l'insieme determinato dalle due uguaglianze.
va bene ti ringrazio molto!
Quindi, ricapitolando:
1) Quando hai 2 vincoli di uguaglianza allora applichi lagrange con doppio vincolo
2) quando hai un vincolo di uguaglianza e uno di disuguaglianza $(>=)$ allora applichi lagrange sul vincolo di uguaglianza e verifichi se è soddisfatta la disuaguaglianza stretta $(>)$, poi applichi lagrange sul doppio vincolo di uguaglianza.
3)quando hai due vincoli di disuguaglianza $(>=)$ allora calcoli normalmente gli estremi nel dominio aperto determinato dai due vincoli con disuguaglianza stretta $(>)$, poi applichi lagrange su una delle uguaglianze e verifichi sulla disuguaglianza stretta dell'altra, poi applichi lagrange sull'altra uguaglianza e verifichi sulla prima disuguaglianza stretta e infine applichi lagrange sulla doppia uguaglianza.
1) Quando hai 2 vincoli di uguaglianza allora applichi lagrange con doppio vincolo
2) quando hai un vincolo di uguaglianza e uno di disuguaglianza $(>=)$ allora applichi lagrange sul vincolo di uguaglianza e verifichi se è soddisfatta la disuaguaglianza stretta $(>)$, poi applichi lagrange sul doppio vincolo di uguaglianza.
3)quando hai due vincoli di disuguaglianza $(>=)$ allora calcoli normalmente gli estremi nel dominio aperto determinato dai due vincoli con disuguaglianza stretta $(>)$, poi applichi lagrange su una delle uguaglianze e verifichi sulla disuguaglianza stretta dell'altra, poi applichi lagrange sull'altra uguaglianza e verifichi sulla prima disuguaglianza stretta e infine applichi lagrange sulla doppia uguaglianza.
"Vulplasir":
Quindi, ricapitolando:
1) Quando hai 2 vincoli di uguaglianza allora applichi lagrange con doppio vincolo
2) quando hai un vincolo di uguaglianza e uno di disuguaglianza $(>=)$ allora applichi lagrange sul vincolo di uguaglianza e verifichi se è soddisfatta la disuaguaglianza stretta $(>)$, poi applichi lagrange sul doppio vincolo di uguaglianza.
3)quando hai due vincoli di disuguaglianza $(>=)$ allora calcoli normalmente gli estremi nel dominio aperto determinato dai due vincoli con disuguaglianza stretta $(>)$, poi applichi lagrange su una delle uguaglianze e verifichi sulla disuguaglianza stretta dell'altra, poi applichi lagrange sull'altra uguaglianza e verifichi sulla prima disuguaglianza stretta e infine applichi lagrange sulla doppia uguaglianza.
Allora:
1) quando ho due vincoli di uguaglianza applico Lagrange con doppio vincolo, ma posso anche fare due volte Lagrange con prima un vincolo e poi l'altro?
2)confermo quello che hai scritto
3)Ti correggo: se ho due vincoli di disuguaglianza (>=) o (<=) allora uso gradiente nullo sui due vincoli con disuguaglianza stretta (>) o (<) e verifico su tutte e due contemporaneamente. Poi ho altri 2 casi e non 3 come dici te. In uno applico lagrange sulla prima uguaglianza e verifico sulla seconda disuguaglianza (>=) o (<=) e non (>) o (<), mentre nell'altro applico lagrange sulla seconda uguaglianza e verifico sulla prima disuguaglianza (>=) o (<=) e non (>) o (<). Il quarto caso di lagrange sulla doppia disuguaglianza qua non c'è. Almeno io ieri ho fatto gli esercizi (1,4,5) senza e avevi detto che andava bene. Correggimi se sbaglio
Premetto che non mi sono mai imbattuto in estremi vincolati con lagrange in cui ci fossero doppie disuguaglianze, né tantomeno sono riuscito a trovare qualcosa a riguardo in rete, inoltre mi scuso perché ho fatto qualche errore in ciò che ti ho detto nei messaggi precedenti, tranne nel mio penultimo messaggio in cui ho ricapitolato i vari casi per bene.
${ ( gradf=sumlamda_igradg_i ),( vecg=0 ):}$
Si, qui siamo d'accordo entrambi, ed è quello che ha fatto anche il tuo professore
Riguardo al punto 3 invece sono sicuro che sia come dico io per 3 motivi:
i) Se tu sei d'accordo con me riguardo al punto 2, ossia che quando si ha una uguaglianza $(=)$ e una disuguaglianza $(>=)$ allora bisogna applicare lagrange sulla doppia uguaglianza e poi applicare lagrange sulla prima uguaglianza e verificare la disuguaglianza stretta $(>)$ (che è come ha fatto il tuo professore), allora sarai d'accordo con me anche sul punto 3, dato che tu dici:
ii) Consideriamo per esempio i due vincoli di disuguaglianza $x^2+y^2+z^2<=1$ (ossia lo spazio dentro una sfera di raggio 1, compresa la superficie sferica) e $z>=0$ (ossia lo spazio sopra l'asse z, compreso l'asse z stesso). Questi due vincoli in pratica determinano lo spazio compreso nella semisfera che si trova sopra l'asse zeta.
Se si applica lagrange sulla superficie sferica, allora, dato il significato geometrico dei moltiplicatori di lagrange, si cercano quei punti in cui il gradiente di f è parallelo al vettore normale sulla superficie sferica, supponiamo per esempio che non esista un tale punto, allora il sistema da risolvere dato dal metodo dei moltiplicatori di lagrange non ha nessuna soluzione. Applichiamo ora lagrange al vincolo $z=0$, si cercano cioè i punti in cui il gradiente di f è parallelo al vettore normale all'asse $z$, supponiamo ancora che non esista nessuno punto che soddisfi tale requisito, allora ancora una volta il sistema da risolvere dato dal metodo dei moltiplicatori applicato al vincolo z=0 non da nessuna soluzione.
In pratica quindi, applicando separatamente lagrange al vincolo $x^2+y^2+z^2=1$ e al vincolo $z=0$, il metodo di lagrange ci dice in pratica che il gradiente di f non è mai perpendicolare alla superficie sferica e non è mai perpendicolare al piano $z=0$, ma chi ha detto che il gradiente di f non possa essere una combinazione lineare dei vettori perpendicolari alla sfera e dei vettori perpendicolari al piano $z=0$?, se si considera quindi il doppio vincolo $z=0, x^2+y^2+z^2=1$, questo doppio vincolo non è altro che la circonferenza di raggio 1 situata sul piano $z=0$, applicando lagrange con doppio vincolo, esso geometricamente restituisce quindi i punti su tale circonferenza in cui il gradiente di f è una combinazione lineare del vettore perpendicolare all'asse zeta e dei vettori ortogonali alla superficie sferica situata nel piano $z=0$, e non c'è alcun motivo per cui anche qui il sistema non dia soluzione.
iii) Facciamo un esempio: Sia data la funzione $f(x,y)=y$ e i due vincoli $x<=1$, $y<=x$.
Chiaramente i punti estremanti in $x<1 uu y
Impostiamo il sistema:
${ ( x=1 ),( gradf=lamdagradg ):}$
Si ha:
$(0,1)=(lamda,0)$ -> impossibile, pertanto lagrange applicato al vincolo x=1 non restituisce nessuna soluzione.
Consideriamo il vincolo y=x, sia allora $g(x,y)=x-y$, ai ha:
${ ( x-y=0 ),( gradf=lamdagradg ):}$
Si ha:
$(0,1)=lamda(1,-1)$ -> impossibile, anche qui lagrange non restituisce nessuna soluzione.
Pertanto, in base a ciò che dici tu riguardo al punto 3, dovremmo aver finito, ossia il massimo/minimo si trova annullando il gradiente nella zona determinata dalle due disuguaglianze strette $(<)$, dato che gli altri due casi, ossia applicare lagrange separatamente ai due vincoli non hanno dato risultato. Chiaramente questo è sbagliato, infatti il massimo di f(x,y)=y con i vincoli dati si trovano in $(1,1)$, ma questo punto non è stato trovato da nessuna delle tre mosse che tu hai citato, pertanto bisogna provare con la quarta, ossia applicare lagrange alla doppia uguaglianza:
Sia $g_1(x,y)=x$, $g_2(x,y)=x-y$, si ha:
${ ( x=1 ),( y=x ),( gradf=lamda_1gradg_1+lamda_2gradg_2 ):}$
Come puoi ben verificare, tale sistema restituisce il punto $(1,1)$, il punto desiderato.
quando ho due vincoli di uguaglianza applico Lagrange con doppio vincolo, ma posso anche fare due volte Lagrange con prima un vincolo e poi l'altro?No, perché nella teoria dei moltiplicatori di lagrange il vincolo a cui deve sottostare la funzione $f(x)$ da massimizzare/minimizzare è dato da una funzione vettoriale $vecg(x)=[g_1((x),g_2(x),...,g_n(x)]=0$, si dimostra quindi che, supposte alcune condizione di regolarità sulla $f$ e sulla $vecg$, nei punti di estremo vincolato il gradiente di $f$ è una combinazione lineare degli $n$ gradienti di $vecg$, ossia bisogna risolvere il sistema:
${ ( gradf=sumlamda_igradg_i ),( vecg=0 ):}$
confermo quello che hai scritto
Si, qui siamo d'accordo entrambi, ed è quello che ha fatto anche il tuo professore
Riguardo al punto 3 invece sono sicuro che sia come dico io per 3 motivi:
i) Se tu sei d'accordo con me riguardo al punto 2, ossia che quando si ha una uguaglianza $(=)$ e una disuguaglianza $(>=)$ allora bisogna applicare lagrange sulla doppia uguaglianza e poi applicare lagrange sulla prima uguaglianza e verificare la disuguaglianza stretta $(>)$ (che è come ha fatto il tuo professore), allora sarai d'accordo con me anche sul punto 3, dato che tu dici:
In uno applico lagrange sulla prima uguaglianza e verifico sulla seconda disuguaglianza (>=) o (<=) e non (>) o (<), mentre nell'altro applico lagrange sulla seconda uguaglianza e verifico sulla prima disuguaglianza (>=) o (<=) e non (>) o (<), ma dicendo questo ti stai riconducendo al caso di una uguaglianza e una disuguaglianza, e stai contraddicendo quello che io avevo detto a riguardo nel punto 2, su cui eri d'accordo.
ii) Consideriamo per esempio i due vincoli di disuguaglianza $x^2+y^2+z^2<=1$ (ossia lo spazio dentro una sfera di raggio 1, compresa la superficie sferica) e $z>=0$ (ossia lo spazio sopra l'asse z, compreso l'asse z stesso). Questi due vincoli in pratica determinano lo spazio compreso nella semisfera che si trova sopra l'asse zeta.
Se si applica lagrange sulla superficie sferica, allora, dato il significato geometrico dei moltiplicatori di lagrange, si cercano quei punti in cui il gradiente di f è parallelo al vettore normale sulla superficie sferica, supponiamo per esempio che non esista un tale punto, allora il sistema da risolvere dato dal metodo dei moltiplicatori di lagrange non ha nessuna soluzione. Applichiamo ora lagrange al vincolo $z=0$, si cercano cioè i punti in cui il gradiente di f è parallelo al vettore normale all'asse $z$, supponiamo ancora che non esista nessuno punto che soddisfi tale requisito, allora ancora una volta il sistema da risolvere dato dal metodo dei moltiplicatori applicato al vincolo z=0 non da nessuna soluzione.
In pratica quindi, applicando separatamente lagrange al vincolo $x^2+y^2+z^2=1$ e al vincolo $z=0$, il metodo di lagrange ci dice in pratica che il gradiente di f non è mai perpendicolare alla superficie sferica e non è mai perpendicolare al piano $z=0$, ma chi ha detto che il gradiente di f non possa essere una combinazione lineare dei vettori perpendicolari alla sfera e dei vettori perpendicolari al piano $z=0$?, se si considera quindi il doppio vincolo $z=0, x^2+y^2+z^2=1$, questo doppio vincolo non è altro che la circonferenza di raggio 1 situata sul piano $z=0$, applicando lagrange con doppio vincolo, esso geometricamente restituisce quindi i punti su tale circonferenza in cui il gradiente di f è una combinazione lineare del vettore perpendicolare all'asse zeta e dei vettori ortogonali alla superficie sferica situata nel piano $z=0$, e non c'è alcun motivo per cui anche qui il sistema non dia soluzione.
iii) Facciamo un esempio: Sia data la funzione $f(x,y)=y$ e i due vincoli $x<=1$, $y<=x$.
Chiaramente i punti estremanti in $x<1 uu y
Impostiamo il sistema:
${ ( x=1 ),( gradf=lamdagradg ):}$
Si ha:
$(0,1)=(lamda,0)$ -> impossibile, pertanto lagrange applicato al vincolo x=1 non restituisce nessuna soluzione.
Consideriamo il vincolo y=x, sia allora $g(x,y)=x-y$, ai ha:
${ ( x-y=0 ),( gradf=lamdagradg ):}$
Si ha:
$(0,1)=lamda(1,-1)$ -> impossibile, anche qui lagrange non restituisce nessuna soluzione.
Pertanto, in base a ciò che dici tu riguardo al punto 3, dovremmo aver finito, ossia il massimo/minimo si trova annullando il gradiente nella zona determinata dalle due disuguaglianze strette $(<)$, dato che gli altri due casi, ossia applicare lagrange separatamente ai due vincoli non hanno dato risultato. Chiaramente questo è sbagliato, infatti il massimo di f(x,y)=y con i vincoli dati si trovano in $(1,1)$, ma questo punto non è stato trovato da nessuna delle tre mosse che tu hai citato, pertanto bisogna provare con la quarta, ossia applicare lagrange alla doppia uguaglianza:
Sia $g_1(x,y)=x$, $g_2(x,y)=x-y$, si ha:
${ ( x=1 ),( y=x ),( gradf=lamda_1gradg_1+lamda_2gradg_2 ):}$
Come puoi ben verificare, tale sistema restituisce il punto $(1,1)$, il punto desiderato.
, ma dicendo questo ti stai riconducendo al caso di una uguaglianza e una disuguaglianza, e stai contraddicendo quello che io avevo detto a riguardo nel punto 2, su cui eri d'accordo.
Riguardo al punto 3 invece sono sicuro che sia come dico io per 3 motivi:
i) Se tu sei d'accordo con me riguardo al punto 2, ossia che quando si ha una uguaglianza $ (=) $ e una disuguaglianza $ (>=) $ allora bisogna applicare lagrange sulla doppia uguaglianza e poi applicare lagrange sulla prima uguaglianza e verificare la disuguaglianza stretta $ (>) $ (che è come ha fatto il tuo professore), allora sarai d'accordo con me anche sul punto 3, dato che tu dici:[quote] In uno applico lagrange sulla prima uguaglianza e verifico sulla seconda disuguaglianza (>=) o (<=) e non (>) o (<), mentre nell'altro applico lagrange sulla seconda uguaglianza e verifico sulla prima disuguaglianza (>=) o (<=) e non (>) o (<)
ii) Consideriamo per esempio i due vincoli di disuguaglianza $ x^2+y^2+z^2<=1 $ (ossia lo spazio dentro una sfera di raggio 1, compresa la superficie sferica) e $ z>=0 $ (ossia lo spazio sopra l'asse z, compreso l'asse z stesso). Questi due vincoli in pratica determinano lo spazio compreso nella semisfera che si trova sopra l'asse zeta.
Se si applica lagrange sulla superficie sferica, allora, dato il significato geometrico dei moltiplicatori di lagrange, si cercano quei punti in cui il gradiente di f è parallelo al vettore normale sulla superficie sferica, supponiamo per esempio che non esista un tale punto, allora il sistema da risolvere dato dal metodo dei moltiplicatori di lagrange non ha nessuna soluzione. Applichiamo ora lagrange al vincolo $ z=0 $, si cercano cioè i punti in cui il gradiente di f è parallelo al vettore normale all'asse $ z $, supponiamo ancora che non esista nessuno punto che soddisfi tale requisito, allora ancora una volta il sistema da risolvere dato dal metodo dei moltiplicatori applicato al vincolo z=0 non da nessuna soluzione.
In pratica quindi, applicando separatamente lagrange al vincolo $ x^2+y^2+z^2=1 $ e al vincolo $ z=0 $, il metodo di lagrange ci dice in pratica che il gradiente di f non è mai perpendicolare alla superficie sferica e non è mai perpendicolare al piano $ z=0 $, ma chi ha detto che il gradiente di f non possa essere una combinazione lineare dei vettori perpendicolari alla sfera e dei vettori perpendicolari al piano $ z=0 $?, se si considera quindi il doppio vincolo $ z=0, x^2+y^2+z^2=1 $, questo doppio vincolo non è altro che la circonferenza di raggio 1 situata sul piano $ z=0 $, applicando lagrange con doppio vincolo, esso geometricamente restituisce quindi i punti su tale circonferenza in cui il gradiente di f è una combinazione lineare del vettore perpendicolare all'asse zeta e dei vettori ortogonali alla superficie sferica situata nel piano $ z=0 $, e non c'è alcun motivo per cui anche qui il sistema non dia soluzione.
iii) Facciamo un esempio: Sia data la funzione $ f(x,y)=y $ e i due vincoli $ x<=1 $, $ y<=x $.
Chiaramente i punti estremanti in $ x<1uu y
Impostiamo il sistema:
$ { ( x=1 ),( gradf=lamdagradg ):} $
Si ha:
$ (0,1)=(lamda,0) $ -> impossibile, pertanto lagrange applicato al vincolo x=1 non restituisce nessuna soluzione.
Consideriamo il vincolo y=x, sia allora $ g(x,y)=x-y $, ai ha:
$ { ( x-y=0 ),( gradf=lamdagradg ):} $
Si ha:
$ (0,1)=lamda(1,-1) $ -> impossibile, anche qui lagrange non restituisce nessuna soluzione.
Pertanto, in base a ciò che dici tu riguardo al punto 3, dovremmo aver finito, ossia il massimo/minimo si trova annullando il gradiente nella zona determinata dalle due disuguaglianze strette $ (<) $, dato che gli altri due casi, ossia applicare lagrange separatamente ai due vincoli non hanno dato risultato. Chiaramente questo è sbagliato, infatti il massimo di f(x,y)=y con i vincoli dati si trovano in $ (1,1) $, ma questo punto non è stato trovato da nessuna delle tre mosse che tu hai citato, pertanto bisogna provare con la quarta, ossia applicare lagrange alla doppia uguaglianza:
Sia $ g_1(x,y)=x $, $ g_2(x,y)=x-y $, si ha:
$ { ( x=1 ),( y=x ),( gradf=lamda_1gradg_1+lamda_2gradg_2 ):} $
Come puoi ben verificare, tale sistema restituisce il punto $ (1,1) $, il punto desiderato.[/quote]
Sull'ultimo esempio che hai svolto la soluzione è questa
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e ... 1,y%3C%3Dx
Riguardo a i) del 3 punto ti dico che il mio prof ne ha svolti un paio e in tutti e due il quarto caso che dici non c'è. Ma non ti so dire altro. Non c'è nessuno che sa queste cose sul forum? Capisco sia roba da matti eh
In ogni caso ti ringrazio molto davvero!
Riguardo a i) del 3 punto ti dico che il mio prof ne ha svolti un paio e in tutti e due il quarto caso che dici non c'èDipende, se quegli esercizi che ha svolto il prof erano in 2 variabili allora il quarto caso si può evitare dato che l'intersezione di due curve in $RR^2$ è un punto (o due punti, o più punti), quindi invece di applicare lagrange basta andare a vedere quali valori assume la funzione nei punti che soddisfano la relazione data dal quarto caso...ed è impossibile che il tuo prof non abbia fatto questo, dato che avrebbe sbagliato, e il mio esempio ne è appunto un esempio lampante, infatti invece di applicare lagrange nel quarto caso, basta andare a vedere quale valore assume la funzione nel punto (1,1), ossia il punto in cui si incontrano i due vincoli x=1 e y=x...e se non si fa questo gli altri tre casi non danno alcun risultato come hai potuto vedere, ed è chiaro che il massimo della funzione f(x,y)=y si trova nel punto (1,1).
Se invece erano in 3 variabili allora c'è chiaramente un errore, infatti due uguaglianze del tipo $g_1(x,y,z)=0$ e $g_2(x,y,z)=0$ nello spazio determinano una curva, e per trovare i massimi e minimi in questa curva bisogna per forza applicare lagange.
prova per esempio a trovare il minimo della funzione del penultimo esercizio facendo come dici te.
si capisco benissimo, allora proverò chiedere spiegazioni a lui per vedere cosa dice. Comunque gli esercizi che ha svolto erano in 3 variabili.
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