Massimi e minimi su un compatto
salve,
non mi è ben chiaro come si applica il teorema di weirstrass per funzioni di più variabili, ovvero come si trovano massimi e minimi in un compatto, tanto per fare un esempio ho questa funzione
[tex]f(x,y)=}{x^3}+{y^3}-3xy}[/tex]
e voglio trovare massimi e minimi su questo dominio
[tex]D={\{0 \leq (x,y) \leq 2 \}}[/tex] (un quadrato di lato 2 con uno spigolo nell'origine)
se studio la funzione in generale trovo un minimo in (1,1) (se non ho sbagliato i conti), che sarà anche un minimo nel mio compatto, e poi che ci faccio con il mio dominio? come trovo gli eventuali punti di massimo all'interno del mio insieme?
grazie mille per le risposte ...
edit: avevo sbagliato funzione, scusate ...
P.S.: una piccola precisazione: non abbiamo fatto i moltiplicatori di Lagrange, quindi vi chiedo se c'è un modo di non usarli, altrimenti so come fare, grazie ...
non mi è ben chiaro come si applica il teorema di weirstrass per funzioni di più variabili, ovvero come si trovano massimi e minimi in un compatto, tanto per fare un esempio ho questa funzione
[tex]f(x,y)=}{x^3}+{y^3}-3xy}[/tex]
e voglio trovare massimi e minimi su questo dominio
[tex]D={\{0 \leq (x,y) \leq 2 \}}[/tex] (un quadrato di lato 2 con uno spigolo nell'origine)
se studio la funzione in generale trovo un minimo in (1,1) (se non ho sbagliato i conti), che sarà anche un minimo nel mio compatto, e poi che ci faccio con il mio dominio? come trovo gli eventuali punti di massimo all'interno del mio insieme?
grazie mille per le risposte ...
edit: avevo sbagliato funzione, scusate ...
P.S.: una piccola precisazione: non abbiamo fatto i moltiplicatori di Lagrange, quindi vi chiedo se c'è un modo di non usarli, altrimenti so come fare, grazie ...
Risposte
se sei in un compatto, allora hai massimo e minimo. hai trovato un minimo relativo, bisogna vedere se è anche assoluto per quell'insieme. e infine bisogna trovare il massimo.
se non hai fatto i moltiplicatori di lagrange non c'è problema, in questo caso sarebbe anche poco conveniente: devi parametrizzare la frontiera del dominio e studiare pure lì i punti di massimo e minimo, alla fine si tratta di studiare funzioni di una sola variabile.
se non hai fatto i moltiplicatori di lagrange non c'è problema, in questo caso sarebbe anche poco conveniente: devi parametrizzare la frontiera del dominio e studiare pure lì i punti di massimo e minimo, alla fine si tratta di studiare funzioni di una sola variabile.
Grazie mille, allora la mia idea era giusta!
Un ultima cosa: i quattro spigoli vanno studiati a parte perché fanno un po' schifo (come diceva sempre la mia professoressa) giusto?
Un ultima cosa: i quattro spigoli vanno studiati a parte perché fanno un po' schifo (come diceva sempre la mia professoressa) giusto?
Sì, la frontiera del tuo dominio è una curva regolare a tratti. Quindi si tratta di trovare massimi e minimi vincolati su quei tratti e poi confrontare i risultati (anche con i valori che la funzione assume ai vertici) per vedere qual è il massimo/minimo assoluto.
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