Massimi e minimi su dominio chiuso
Ciao ragazzi!
Lunedì ho l'orale di analisi 2 e proprio oggi mi sono messo a rifare gli esercizi del compito.. mi dite se il mio procedimento per questo esercizio è giusto o sbagliato?? Grazie
Nel caso anche una eventuale correzione mostrandomi il procedimento corretto per favore
Allora..la richiesta era trovare massimi e minimi, sia assoluti sia relativi, di questa funzione:
$f(x,y)=x^2+y^2-xy$
$A= {(x,y) R^2: 0≤x≤y≤1}$
Ecco il mio procedimento:
1) Inizio a trovare massimi e minimi liberi studiando i punti in cui il gradiente è nullo:
$fx(x,y)=2x-y=0$
$fy(x,y)=2y-x=0$
metto a sistema le due equazioni e ottengo il punto P1=(0,0). Ne studio ora la natura usando l'hessiana:
$fx x(x,y)=2$
$fxy(x,y)=-1$
$fyy(x,y)=2$
Il determinante dell'hessiana è 3, ovvero >0, e dato che $fx x>0$ allora deduco il punto di minimo.
2) Studio ora i punti lungo il dominio.
2-1) Studio lungo x=0
$f(x,y)=y^2$
$fy(x,y)=2y=0$
Ottengo il punto P2=(0,0).
2-2) Studio lungo y=1
$f(x,y)=x^2-x+1$
$fx(x,y)=2x-1=0$
Ottengo il punto P3(1/2;1)
2-3) Studio lungo y=x
$f(x,y)=x^2$
$fx(x,y)=2x=0$
Ottengo il punto P4(0,0).
E' corretto fin qui?? A questo punto nel compito avevo messo tutti i punti nella funzione, e massimo assoluto era il punto che mi dava il valore maggiore, minimo assoluto il punto che dava il valore minore.
E per i punti di massimo o minimo relativi?? Mi potreste spiegare questa parte finale del procedimento?
Grazie
Lunedì ho l'orale di analisi 2 e proprio oggi mi sono messo a rifare gli esercizi del compito.. mi dite se il mio procedimento per questo esercizio è giusto o sbagliato?? Grazie
Nel caso anche una eventuale correzione mostrandomi il procedimento corretto per favore
Allora..la richiesta era trovare massimi e minimi, sia assoluti sia relativi, di questa funzione:
$f(x,y)=x^2+y^2-xy$
$A= {(x,y) R^2: 0≤x≤y≤1}$
Ecco il mio procedimento:
1) Inizio a trovare massimi e minimi liberi studiando i punti in cui il gradiente è nullo:
$fx(x,y)=2x-y=0$
$fy(x,y)=2y-x=0$
metto a sistema le due equazioni e ottengo il punto P1=(0,0). Ne studio ora la natura usando l'hessiana:
$fx x(x,y)=2$
$fxy(x,y)=-1$
$fyy(x,y)=2$
Il determinante dell'hessiana è 3, ovvero >0, e dato che $fx x>0$ allora deduco il punto di minimo.
2) Studio ora i punti lungo il dominio.
2-1) Studio lungo x=0
$f(x,y)=y^2$
$fy(x,y)=2y=0$
Ottengo il punto P2=(0,0).
2-2) Studio lungo y=1
$f(x,y)=x^2-x+1$
$fx(x,y)=2x-1=0$
Ottengo il punto P3(1/2;1)
2-3) Studio lungo y=x
$f(x,y)=x^2$
$fx(x,y)=2x=0$
Ottengo il punto P4(0,0).
E' corretto fin qui?? A questo punto nel compito avevo messo tutti i punti nella funzione, e massimo assoluto era il punto che mi dava il valore maggiore, minimo assoluto il punto che dava il valore minore.
E per i punti di massimo o minimo relativi?? Mi potreste spiegare questa parte finale del procedimento?
Grazie
Risposte
Ciao, il tuo procedimento è tutto giusto ed anche i calcoli lo sono (complimenti, io raramente riesco a farli entrambi giusti 
). Ricordati però che i punti da te trovati sul vincolo (quindi tutti tranne $P_1$) sono effettivamente degli estremanti perchè la derivata seconda di f non cambia segno in essi, e non perchè annullano la derivata prima e basta (se fosse solo così potrebbero essere dei flessi o anche schifezze peggiori). Certo, queste derivate sono addirittura lineari quindi non c'è problema, ma un professore preso male potrebbe benissimo farti le pulci su questo.
Per gli estremanti relativi basta che distingui i minimi dai massimi (studi il segno delle varie derivate nell'estremante che hai trovato: roba da analisi 1 insomma). Poi metti i minimi da una parte ed i massimi dall'altra e come hai detto tu "massimo assoluto era il punto che mi dava il valore maggiore, minimo assoluto il punto che dava il valore minore." Tutti gli altri sono massimi o minimi relativi.
). Ricordati però che i punti da te trovati sul vincolo (quindi tutti tranne $P_1$) sono effettivamente degli estremanti perchè la derivata seconda di f non cambia segno in essi, e non perchè annullano la derivata prima e basta (se fosse solo così potrebbero essere dei flessi o anche schifezze peggiori). Certo, queste derivate sono addirittura lineari quindi non c'è problema, ma un professore preso male potrebbe benissimo farti le pulci su questo.Per gli estremanti relativi basta che distingui i minimi dai massimi (studi il segno delle varie derivate nell'estremante che hai trovato: roba da analisi 1 insomma). Poi metti i minimi da una parte ed i massimi dall'altra e come hai detto tu "massimo assoluto era il punto che mi dava il valore maggiore, minimo assoluto il punto che dava il valore minore."
Tutti gli altri sono massimi o minimi relativi.
Sei stato chiarissimo grazie mille poll89!!
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