Massimi e minimi rel/ass (funzione a due variabili)
Buongiorno.
Vorrei avere dei chiarimenti su come si trovano i massimi e minimi relativi e assoluti in una funzione a due variabili.
Per trovare un massimo o un minimo relativo (correggetemi se sbaglio), trovo le derivate prime della mia funzione di partenza, le impongo uguali a 0, e trovo i punti critici.
Successivamente determino le derivate seconde e costruisco la matrice hessiana.
Sostituisco alla matrice hessiana i punti che ho trovato dal sistema, se l'hessiana è definita positiva è massimo relativo, se definita negativa minimo relativo.
Vorrei capire come faccio a sapere se è anche assoluto.
Grazie mille.
Vorrei avere dei chiarimenti su come si trovano i massimi e minimi relativi e assoluti in una funzione a due variabili.
Per trovare un massimo o un minimo relativo (correggetemi se sbaglio), trovo le derivate prime della mia funzione di partenza, le impongo uguali a 0, e trovo i punti critici.
Successivamente determino le derivate seconde e costruisco la matrice hessiana.
Sostituisco alla matrice hessiana i punti che ho trovato dal sistema, se l'hessiana è definita positiva è massimo relativo, se definita negativa minimo relativo.
Vorrei capire come faccio a sapere se è anche assoluto.
Grazie mille.
Risposte
Secondo me $(-2; +1)$ è un punto di minimo relativo, un po' come tutti i punti che hanno ascissa - 2 e ordinata positiva
Vuoi che discuta gli altri punti?
Non ho fatto nessuna derivata parziale però...
Vuoi che discuta gli altri punti?
Non ho fatto nessuna derivata parziale però...
"gio73":
Secondo me $(-2; +1)$ è un punto di minimo relativo, un po' come tutti i punti che hanno ascissa - 2 e ordinata positiva
Vuoi che discuta gli altri punti?
Non ho fatto nessuna derivata parziale però...
Si esatto, la soluzione sarebbe minimo relativo.
Potresti spiegarmi come ci sei arrivato ?
Studio del segno (senza considerare - 4, tanto sposta soltanto in giù la superficie che rappresenta la nostra funzione)
Forse ti sembrerà strano... Immagino il grafico delle funzioni in due variabili come una superficie topografica, un paesaggio con monti, valli, creste, linea di costa...
La risposta breve è STUDIO DEL SEGNO
Forse ti sembrerà strano... Immagino il grafico delle funzioni in due variabili come una superficie topografica, un paesaggio con monti, valli, creste, linea di costa...
La risposta breve è STUDIO DEL SEGNO
"gio73":
Studio del segno (senza considerare - 4, tanto sposta soltanto in giù la superficie che rappresenta la nostra funzione)
Forse ti sembrerà strano... Immagino il grafico delle funzioni in due variabili come una superficie topografica, un paesaggio con monti, valli, creste, linea di costa...
La risposta breve è STUDIO DEL SEGNO
Scusami se risultano domande banali, ma vorrei capire al meglio come fare questi esercizi, così da evitare anche milioni di calcoli.
Cosa intendi tu con studio del segno?
"giordafn":
$ f(x,y)=(y+x^2+2x)(x+2)^2$
?
Dove è positiva?
Dove è negativa?
Dove è nulla?
"gio73":
[quote="giordafn"]
$ f(x,y)=(y+x^2+2x)(x+2)^2$
?
Dove è positiva?
Dove è negativa?
Dove è nulla?[/quote]
Scusa se magari ti chiedo troppo, potresti farmi vedere come svolgeresti tu per il primo punto ?
Forse non ci capiamo...
Sei d'accordo che abbiamo una funzione in due variabili?
Scelta una coppia di valori $x=+7$ e $y=-sqrt2$ li sostituiamo e vediamo quanto vale f
$f(+7;-sqrt2)=$ blabla
Il valore che restituisce può essere POSITIVO, NEGATIVO o NULLO
una coppia di numeri (reali) può essere rappresentata come un PUNTO su un piano cartesiano. TUTTI i punti del piano cartesiano possono essere scritti come una coppia di numeri reali.
Invece che vedere insiemi di coppie di numeri reali, perchè non guardiamo regioni di quel piano cartesiano?
Delimitiamo cioè una regione del piano dove i punti sono coppie di numeri reali che mi restituiscono un valore positivo della nostra funzione.
Sei d'accordo che abbiamo una funzione in due variabili?
Scelta una coppia di valori $x=+7$ e $y=-sqrt2$ li sostituiamo e vediamo quanto vale f
$f(+7;-sqrt2)=$ blabla
Il valore che restituisce può essere POSITIVO, NEGATIVO o NULLO
una coppia di numeri (reali) può essere rappresentata come un PUNTO su un piano cartesiano. TUTTI i punti del piano cartesiano possono essere scritti come una coppia di numeri reali.
Invece che vedere insiemi di coppie di numeri reali, perchè non guardiamo regioni di quel piano cartesiano?
Delimitiamo cioè una regione del piano dove i punti sono coppie di numeri reali che mi restituiscono un valore positivo della nostra funzione.
"gio73":
Forse non ci capiamo...
Sei d'accordo che abbiamo una funzione in due variabili?
Scelta una coppia di valori $x=+7$ e $y=-sqrt2$ li sostituiamo e vediamo quanto vale f
$f(+7;-sqrt2)=$ blabla
Il valore che restituisce può essere POSITIVO, NEGATIVO o NULLO
una coppia di numeri (reali) può essere rappresentata come un PUNTO su un piano cartesiano. TUTTI i punti del piano cartesiano possono essere scritti come una coppia di numeri reali.
Invece che vedere insiemi di coppie di numeri reali, perchè non guardiamo regioni di quel piano cartesiano?
Delimitiamo cioè una regione del piano dove i punti sono coppie di numeri reali che mi restituiscono un valore positivo della nostra funzione.
Okay, quindi correggimi se sbaglio.
Se vado a studiare il segno della mia funzione avrò che
$ (x+2)^2 >= 0 AA x $
mentre
$ y+x^2+2x>= 0 $ viene $ y>= -x^2-2x $
Ho disegnato il grafico di -x^2-2x, e ipotizzo che i vari punti da me prima citati siano:
(-2,1) minimo relativo
(-2,-2) massimo relativo
(-1,1) non è punto critico
Mentre (-2,0) cosa sarebbe ?
Né minimo né massimo
Se cammini lungo il sentiero $x=-2$ sei sempre alla stessa quota, ma nel semipiano sotto l asse x, tutto quello che è intorno a te è più basso, sei su un crinale, se prosegui nel semipiano sopra l asse x tutto intorno a te è più alto, sei in una valle
Nel punto (-2;0) passi dal crinale alla valle
Se cammini lungo il sentiero $x=-2$ sei sempre alla stessa quota, ma nel semipiano sotto l asse x, tutto quello che è intorno a te è più basso, sei su un crinale, se prosegui nel semipiano sopra l asse x tutto intorno a te è più alto, sei in una valle
Nel punto (-2;0) passi dal crinale alla valle
"gio73":
Né minimo né massimo
Se cammini lungo il sentiero $x=-2$ sei sempre alla stessa quota, ma nel semipiano sotto l asse x, tutto quello che è intorno a te è più basso, sei su un crinale, se prosegui nel semipiano sopra l asse x tutto intorno a te è più alto, sei in una valle
Nel punto (-2;0) passi dal crinale alla valle
Quindi riassumendo.
Se voglio analizzare alcuni punti di massimo e minimo invece di usare le derivate parziali, possono andare a studiare il segno e il grafico, giusto?
Anzi, ultimissima domanda.
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L'esercizio diceva che i punti (0,2) e (0,3/2) sono punti di minimo assoluto, di solito non dovrebbe essercene solo uno di assoluto?
Se hanno lo stesso valore...
"giordafn":
Quindi riassumendo.
Se voglio analizzare alcuni punti di massimo e minimo invece di usare le derivate parziali, possono andare a studiare il segno e il grafico, giusto?
No
Non esistono metodi infallibili, dovrai decidere di volta in volta cosa conviene fare.
È un insegnamento che puoi conservare, non solo nel tuo percorso universitario, ma anche nelle tue esperienze professionali (forse anche nella vita in generale).
"gio73":
Se hanno lo stesso valore...
Scusami se ti disturbo anche di domenica mattina...
[img]
[/img]
Ho questo grafico di funzione, e dovevo studiare quei punti che sono in rosso, rispettivamente:
A(−2,−3) B(5,−3) C(3,4) D(5,4)
Come mai A e B, che stanno sulla stessa "linea", sono uno massimo assoluto (-2,-3) e massimo relativo (5,-3)?
Idem il punto C e D (rispettivamente C minimo assoluto e D minimo relativo)?
Perché nell'esempio di ieri l'altro, erano tutti e due assoluti, mentre in questo no?
Grazie mille.
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