Massimi e minimi assoluti funzione due variabili
La mia funzione è f (x,y) = $(y-2)^2(y-4x^2)$. In che modo posso trovare i massimi e minimi assoluti in una regione data da $x>=0 ; y>=4x^2 ; y<=3$ ?
Risposte
È un piacere 
Se io faccio il grafico della funzione trovo una parabola e la retta y=2. All'interno della parabola è positivo e all'esterno negativo, mentre sulla retta i punti sono nulli, giusto? Quindi il mio punto (0,2) giace proprio sulla retta...
Ma il grafico di $f(x,y)$ appartiene allo spazio $\mathbb{R}^3$ mentre una parabola è in $\mathbb{R}^2$. Quindi non ho capito cosa intendi.
Questo è il grafico che intendo
Continuo a non capire, comunque secondo me devi procedere cosi:
L'Hessiana in (0,2) è semidefinita positiva
$Hf(0,2)=((0,0),(0,4))$ quindi il punto (0,2) è di minimo o di sella.
Per provare che il punto non è di minimo basta trovare una restrizione di f(x,y) con massimo in (0,2) e una seconda restrizione con un minimo in tale punto.
Cosi provi che il punto è di sella.
L'Hessiana in (0,2) è semidefinita positiva
$Hf(0,2)=((0,0),(0,4))$ quindi il punto (0,2) è di minimo o di sella.
Per provare che il punto non è di minimo basta trovare una restrizione di f(x,y) con massimo in (0,2) e una seconda restrizione con un minimo in tale punto.
Cosi provi che il punto è di sella.
E questa restrizione concretamente cos'è?
Comunque il grafico deriva dal fatto che $y=4x^2$ e $y=2$ quindi se io studio quando f(x,y)>0 avrò che la funzione risulta positiva all'interno della parabola ($y>4x^2$) e negativa all'esterno. Ma in $(y-2)^2=0$ la funzione si a nulla su y=2 e io avrei proprio il punto (0,2) su questa retta
Comunque il grafico deriva dal fatto che $y=4x^2$ e $y=2$ quindi se io studio quando f(x,y)>0 avrò che la funzione risulta positiva all'interno della parabola ($y>4x^2$) e negativa all'esterno. Ma in $(y-2)^2=0$ la funzione si a nulla su y=2 e io avrei proprio il punto (0,2) su questa retta
Ok ora capisco cosa intendi!
Beh, allora abbiamo finito. Dal momento che $\min{f(x,y), \forall (x,y) \in A}=0$ e $f(0,2)=0$ cosa ne deduciamo?
Beh, allora abbiamo finito. Dal momento che $\min{f(x,y), \forall (x,y) \in A}=0$ e $f(0,2)=0$ cosa ne deduciamo?
Quindi è un minimo?
Direi di si, sono stato fregato dai calcoli sbagliati del secondo post in cui avevo calcolato f(0,2)=2 
mamma mia.
Stai preparando analisi 2?
mamma mia. Stai preparando analisi 2?
Sì, analisi 2
Ma non mi torna ancora una cosa ahahah se io risolvo graficamente, come ho detto prima avrei all'interno della parabola tutto positivo e all'esterno negativo. Su y=2 la mia funzione si annulla. Il mio punto (0,2) si trova quindi all'interno della parabola (che è positivo) e sulla retta (che è nulla). Essendo il punto circondato da una zona tutta positiva dovrebbe essere un massimo, ma essendo sulla retta che ha valori nulli è un minimo?
Ma non mi torna ancora una cosa ahahah se io risolvo graficamente, come ho detto prima avrei all'interno della parabola tutto positivo e all'esterno negativo. Su y=2 la mia funzione si annulla. Il mio punto (0,2) si trova quindi all'interno della parabola (che è positivo) e sulla retta (che è nulla). Essendo il punto circondato da una zona tutta positiva dovrebbe essere un massimo, ma essendo sulla retta che ha valori nulli è un minimo?
Non so cosa intendi con risolvo graficamente.
Tieni conto che tutta la parte del piano, esterna alla parabola non fa parte del dominio di ottimizzazione.
Quindi possiamo dimenticarcene.
All'interno della parabola intersecata con il primo quadrante, la funzione assume valori maggiori o uguali a 0.
Essendo 0 il più piccolo valore assunto da f in A esso è minimo.
Il fatto che la funzione assuma valori positivi in un'intorno del punto (0,2) non implica che tale punto sia di massimo. Infatti il minimo può benissimo essere un valore positivo.
Tieni conto che tutta la parte del piano, esterna alla parabola non fa parte del dominio di ottimizzazione.
Quindi possiamo dimenticarcene.
All'interno della parabola intersecata con il primo quadrante, la funzione assume valori maggiori o uguali a 0.
Essendo 0 il più piccolo valore assunto da f in A esso è minimo.
Il fatto che la funzione assuma valori positivi in un'intorno del punto (0,2) non implica che tale punto sia di massimo. Infatti il minimo può benissimo essere un valore positivo.
ripeto un concetto che ho già espresso in altri post :
quando si cercano i punti di max e min assoluto non è necessario stabilire con l'hessiano la natura dei punti stazionari
semplicemente,si calcolano i valori della funzione in questi punti e si mettono da parte ,poi si studia la funzione sulla frontiera
alla fine,per confronto ,si stabilisce quali sono i punti di max e min assoluto
quando si cercano i punti di max e min assoluto non è necessario stabilire con l'hessiano la natura dei punti stazionari
semplicemente,si calcolano i valori della funzione in questi punti e si mettono da parte ,poi si studia la funzione sulla frontiera
alla fine,per confronto ,si stabilisce quali sono i punti di max e min assoluto
Si è ciò che ho scritto anche qua:
comunque non avevo incluso (0,2) tra i punti di minimo globale, avendo sbagliato i calcoli. Poi l'esercizio si è trasformato nel classificare i punti stazionari e da li tutti i ragionamenti superflui su Hf(0,2).
"Dante.utopia":
Tieni conto che l'Hessiana ti da solo informazioni di tipo locale.
comunque non avevo incluso (0,2) tra i punti di minimo globale, avendo sbagliato i calcoli. Poi l'esercizio si è trasformato nel classificare i punti stazionari e da li tutti i ragionamenti superflui su Hf(0,2).
A posto, grazie mille 
@dante
sì,scusa,non avevo letto il tuo primo post ,mi ha ingannato la discussione successiva
comunque,è una cosa sulla quale non tutti pongono attenzione : molti studenti perdono tempo nel calcolo dell'hessiano
la cosa diventa ancora più drammatica se in uno dei punti l'hessiano è nullo
sì,scusa,non avevo letto il tuo primo post ,mi ha ingannato la discussione successiva
comunque,è una cosa sulla quale non tutti pongono attenzione : molti studenti perdono tempo nel calcolo dell'hessiano
la cosa diventa ancora più drammatica se in uno dei punti l'hessiano è nullo
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