Massimi e minimi assoluti funzione due variabili
La mia funzione è f (x,y) = $(y-2)^2(y-4x^2)$. In che modo posso trovare i massimi e minimi assoluti in una regione data da $x>=0 ; y>=4x^2 ; y<=3$ ?
Risposte
L'insieme su cui ottimizzare la funzione ha più o meno questa forma:
[fcd="Insieme di ottimizzazione"][FIDOCAD]
LI 45 15 45 70 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 40 15 4 3 0 0 0 * y
TY 50 25 4 3 0 0 0 *
LI 40 65 105 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 100 65 4 3 0 0 0 * x
TY 45 75 4 3 0 0 0 *
BE 45 65 70 65 75 25 75 25 0
TY 85 30 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL y=3
TY 40 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 0
TY 70 50 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL y=4x²
TY 55 40 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL A
LI 40 30 90 30 14[/fcd]
È chiaramente chiuso è limitato.
La funzione è continua essendo composizione di funzioni elementari.
Quindi per il teorema di Weierstrass esistono max e min di $f(x,y)$ nell'insieme A.
Iniziamo cercando i punti stazionari interni, che soddisfano la condizione $\nablaf(x,y)=(0,0)$, ossia
$f_x(x,y)=24xy-32x=0$
$f_y(x,y)=3y^2+12x^2-8y+4=0$
dalla prima $x(6y-8)=0$ da cui
$x=0$ oppure $y=4/3$
sostituendo dalla seconda x=0 otteniamo i punti $(0,2)$ e $(0,2/3)$, mentre sostituendo $y=4/3$ otteniamo punti non appartenenti ad A. Quindi gli escludiamo.
Ovviamente non ci sono punti critici, poiché la funzione è differenziabile in tutto $\mathbb{R}^2$.
Ora studiamo il bordo. Parametrizzando la prima condizione (y=3):
$f(t,3) = 20t^2+3$ con t compreso tra 0 e l'ascissa d'intersezione tra la parabola e la rettta y=3.
$f'(t,3)=40t$ che si annulla solo in t=0
cosi abbiamo aggiunto il punto (0,3) ai possibili candidati come p.ti di max/min.
Parametrizzando la parabola:
$f(t,4t^4)=0$ per ogni valore di t reale.
Parametrizzando il semiasse positivo delle y (x=0), si ottengono due punti già trovati come stazionari interni.
Quindi sostituendo i candidati si ha:
$f(0,2)=2$
$f(0,2/3)=32/27$
$f(0,3)=3$
Quindi possiamo concludere che la funzione raggiunge il suo massimo pari a 3 nel punto $(0,3)$, mentre è minima in tutti i punti $(t,4t^2)$, dove mantiene la quota 0.
Dante.
[fcd="Insieme di ottimizzazione"][FIDOCAD]
LI 45 15 45 70 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 40 15 4 3 0 0 0 * y
TY 50 25 4 3 0 0 0 *
LI 40 65 105 65 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 100 65 4 3 0 0 0 * x
TY 45 75 4 3 0 0 0 *
BE 45 65 70 65 75 25 75 25 0
TY 85 30 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL y=3
TY 40 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 0
TY 70 50 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL y=4x²
TY 55 40 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL A
LI 40 30 90 30 14[/fcd]
È chiaramente chiuso è limitato.
La funzione è continua essendo composizione di funzioni elementari.
Quindi per il teorema di Weierstrass esistono max e min di $f(x,y)$ nell'insieme A.
Iniziamo cercando i punti stazionari interni, che soddisfano la condizione $\nablaf(x,y)=(0,0)$, ossia
$f_x(x,y)=24xy-32x=0$
$f_y(x,y)=3y^2+12x^2-8y+4=0$
dalla prima $x(6y-8)=0$ da cui
$x=0$ oppure $y=4/3$
sostituendo dalla seconda x=0 otteniamo i punti $(0,2)$ e $(0,2/3)$, mentre sostituendo $y=4/3$ otteniamo punti non appartenenti ad A. Quindi gli escludiamo.
Ovviamente non ci sono punti critici, poiché la funzione è differenziabile in tutto $\mathbb{R}^2$.
Ora studiamo il bordo. Parametrizzando la prima condizione (y=3):
$f(t,3) = 20t^2+3$ con t compreso tra 0 e l'ascissa d'intersezione tra la parabola e la rettta y=3.
$f'(t,3)=40t$ che si annulla solo in t=0
cosi abbiamo aggiunto il punto (0,3) ai possibili candidati come p.ti di max/min.
Parametrizzando la parabola:
$f(t,4t^4)=0$ per ogni valore di t reale.
Parametrizzando il semiasse positivo delle y (x=0), si ottengono due punti già trovati come stazionari interni.
Quindi sostituendo i candidati si ha:
$f(0,2)=2$
$f(0,2/3)=32/27$
$f(0,3)=3$
Quindi possiamo concludere che la funzione raggiunge il suo massimo pari a 3 nel punto $(0,3)$, mentre è minima in tutti i punti $(t,4t^2)$, dove mantiene la quota 0.
Dante.
Grazie mille, spiegazione perfetta 
Avrei un secondo dubbio, ho studiato la funzione (senza tenere conto della regione) trovando come punti critici (0,2) (0,2/3)... (0,2/3) risulta essere un punto di massimo, mentre con (0,2) mi viene Hessiano nullo... Rappresentando la funzione trovo che in y=2 la funzione si annulla. Quindi come trovo la natura del punto (0,2)?
Avrei un secondo dubbio, ho studiato la funzione (senza tenere conto della regione) trovando come punti critici (0,2) (0,2/3)... (0,2/3) risulta essere un punto di massimo, mentre con (0,2) mi viene Hessiano nullo... Rappresentando la funzione trovo che in y=2 la funzione si annulla. Quindi come trovo la natura del punto (0,2)?
Tieni conto che l'Hessiana ti da solo informazioni di tipo locale. Comunque a me viene:
$Hf(0,2)=((16,0),(0,4))$ che è definita positiva. Quindi (0,2) e punto di minimo locale.
$Hf(0,2)=((16,0),(0,4))$ che è definita positiva. Quindi (0,2) e punto di minimo locale.
Ma la derivata parziale in x viene $-8(y-2)^2$ che nel punto (0,2) è pari a 0
Fai vedere i calcoli per Hf(x,y)...
$fx= -8xy^2+32xy-32x$
$fy= 3y^2-8y+4-8x^2y+16x^2$
$fx x= -8y^2+32y-32$
$fyy= 6y-8-8x^2$
$fxy=fyx= -16xy+32x$
$fy= 3y^2-8y+4-8x^2y+16x^2$
$fx x= -8y^2+32y-32$
$fyy= 6y-8-8x^2$
$fxy=fyx= -16xy+32x$
Quindi non sei d'accordo neanche con il secondo post?
Non ho capito la domanda
Nella prima risposta che ho scritto, ho calcolato le derivate parziali prime della funzione. Se le tue derivate sono giuste, le mie sono tutte sbagliate. Quindi anche tutto il resto del messaggio.
Le ho ricontrollate, le derivate che ho scritto sono quelle giuste... O mi sbaglio?
XD Prova a scrivere i calcoli di $f_x(x,y)$.
$-8x(y-2)^2$
Hai proprio ragione! 
Per qualche (s/f)ortunato caso i punti stazionari sono usciti gli stessi.
Per qualche (s/f)ortunato caso i punti stazionari sono usciti gli stessi.
Quindi la parte della regione, ok... Però i valori es. (t,3) (t,4t^4) li devo sostituire in quale funzione? Nelle parziali o in quella di partenza?
Lo studio del bordo dovrebbe essere esatto.
Invece come posso determinare se (0,2) è massimo minimo o sella essendo hessiana nulla?
Se trovi due direzioni lungo le quali la funzione ristretta ha massimo massimo e minimo nel punto. Allora e una sella. Ma ora sono stanco, ci penserò domani.
Non capisco in quale funzione hai sostituito per avere il valore $20t^2 +3$
È sbagliato, dovrebbe essere
$f(x,y)=3-4t^2$
$f(x,y)=3-4t^2$
Ok, allora ho fatto giusto.
Mi manca solo definire il punto (0,2) che ha hessiana nulla... Poi spero di non stressarti più
Mi manca solo definire il punto (0,2) che ha hessiana nulla... Poi spero di non stressarti più
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