Massimi e minimi
Data la funzione $ f(x) = senx + cos(x-alpha) $ stabilire al variare di $alpha in R$, se la funzione ha punto di minimo o di massimo in x=0.
Questo è un esercizio di uno scorso esame di AM2, e vorrei avere dei chiarimenti.. sicuramente per lo svolgimento dell'esercizio, devo aiutarmi attraverso gli sviluppi di Taylor delle due funzione senx e cosx..ma in pratica cosa devo fare precisamente?.. svilupparli fino al secondo grado e poi vedere il segno nel punto x=0?
Questo è un esercizio di uno scorso esame di AM2, e vorrei avere dei chiarimenti.. sicuramente per lo svolgimento dell'esercizio, devo aiutarmi attraverso gli sviluppi di Taylor delle due funzione senx e cosx..ma in pratica cosa devo fare precisamente?.. svilupparli fino al secondo grado e poi vedere il segno nel punto x=0?
Risposte
Sinceramente al posto tuo calcolerei la derivata di quella funzione per poi porla uguale a zero per $x=0$ per ricavare il corrispettivo valore di $\alpha$ poi vedo quando è di massimo e quando è di minimo.
Però un procedimento che mi piace di più è quello di ricondurre gli argomenti a $x$, cioè in questo caso
$f(x)= sin(x)+cos(x-\alpha)= sin(x)+cos(x)cos(\alpha)+sin(x)sin(\alpha)$
con la formula di addizione per il coseno.
In questo modo la derivata dovrebbe essere di più semplice assimilazione poiché $sin(\alpha)$ e $cos(\alpha)$ non dipendono da $x$ ma vanno considerate alla stregua di costanti. Se hai fatto analisi II come la penso io è come quando fai la derivata parziale rispetto a una variabile.
Comunque, a seconda di come scegli di operare, non dovrebbe essere molto difficile - può anche darsi che mi sbagli ovviamente - anche perché sostituendo $x=0$ per poi porre la derivata uguale a zero, dovresti ottenere un'equazione in $\alpha$ in cui compaiono linearmente termini in seno e coseno.
Però un procedimento che mi piace di più è quello di ricondurre gli argomenti a $x$, cioè in questo caso
$f(x)= sin(x)+cos(x-\alpha)= sin(x)+cos(x)cos(\alpha)+sin(x)sin(\alpha)$
con la formula di addizione per il coseno.
In questo modo la derivata dovrebbe essere di più semplice assimilazione poiché $sin(\alpha)$ e $cos(\alpha)$ non dipendono da $x$ ma vanno considerate alla stregua di costanti. Se hai fatto analisi II come la penso io è come quando fai la derivata parziale rispetto a una variabile.
Comunque, a seconda di come scegli di operare, non dovrebbe essere molto difficile - può anche darsi che mi sbagli ovviamente - anche perché sostituendo $x=0$ per poi porre la derivata uguale a zero, dovresti ottenere un'equazione in $\alpha$ in cui compaiono linearmente termini in seno e coseno.
Sì infatti come dici tu è sicuramente la strada più semplice, dovrei comunque farmi la derivata seconda ponendo x=0 e vedere per quali $alpha$ è maggiore o minore di zero. Però, essendo un esercizio d'esame di am2, sono sicura che devo svolgerlo utilizzando Taylor..quindi come posso fare? sviluppo le funzioni in x=0 fino al secondo grado e poi vedo quando è minore o maggiore di 0, come in precedenza?
Grazie mille comunque
Grazie mille comunque
"Maryse":
Però, essendo un esercizio d'esame di am2, sono sicura che devo svolgerlo utilizzando Taylor..quindi come posso fare? sviluppo le funzioni in x=0 fino al secondo grado e poi vedo quando è minore o maggiore di 0, come in precedenza?
Grazie mille comunque
Mi lasci davvero perplesso perché mi sembra molto un "cccs" - se non erro questa definizione era di giammaria, ma potrebbe essere anche gio73, parlo di 4-5 mesi fa - cioè un "come complicare le cose semplici".
Nel senso che dici "devi usare Taylor". Ok, provo a interpretare le tue parole.
Se usi Taylor, ottieni una somma di 3 serie differenti (magari qualcosa si raccoglie). Pensando all'analisi II posso dedurre che a quel punto dovresti derivare le serie - puoi farlo in base al teorema di derivazione per serie di potenze se non ricordo male - che a quel punto così combinate convergerebbero pezzo pezzo alla derivata della funzione.
Tuttavia sostituendo $x=0$ otterresti 2-3 termini (tutti gli altri in cui compare la $x$ sono nulli) che sono gli stessi che ottieni se invece operi con il metodo facile e troveresti $\alpha$...
Mah, sono perplesso sinceramente dal chiedere di usare Taylor...
Ok così è più complicato di quanto pensassi..ahah..alla fine non chiede di usare Taylor o meno, ma visto che era un esame di am2 mi sembrava strano risolverlo nel primo modo..
"Maryse":
Ok così è più complicato di quanto pensassi..ahah..alla fine non chiede di usare Taylor o meno, ma visto che era un esame di am2 mi sembrava strano risolverlo nel primo modo..
Comunque mi sembra strano trovare questo esercizio in analisi II, almeno per come l'ho vissuta io - da successioni/serie di funzioni al Dini passando per funz. in 2 variabili e equazioni differenziali - al massimo, tanto per complicarci la vita, avrei sviluppato il tutto in serie di potenze per derivare le varie serie (come ho detto prima), ma sarebbe stato come prendere la macchina per fare 200 metri e magari parcheggiare davanti casa dopo aver fatto il giro di tutto l'isolato perché non c'è posto...!
Comunque sempre meglio aspettare commenti di chi abbia più esperienza o ne sappia più di noi. Magari anche tizi in verde/giallo.
E' anche a me sembrava strano..comunque io ad am2 in breve ho fatto: Taylor, Continuità Uniforme, Integrali, Integrali Impropri, Serie, Equazioni differenziali e Spazi metrici.
Un esercizio così al massimo ad analisi 1, infatti non sapevo come svolgerlo.. ok, grazie comunque
Un esercizio così al massimo ad analisi 1, infatti non sapevo come svolgerlo.. ok, grazie comunque
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