Maggiorazioni con funzioni radiali
Sia $ f:A\subsetR^2->R $ ed $ (x_0,y_0)\in\A^\circ $. Supponiamo che esistano $ l\inR $ e una funzione $ g:[0,+\infty]->R $ tale che in un intorno di raggio $ r $ di $ (x_0,y_0) $ si abbia $ |f(x_0+\rhocos\theta,y_0+\rhocos\theta)-l|\leg(\rho)\forall\rho\in(0,r]\forall\theta\in(0,2\pi] $ con $ \lim_{\rho \to \0^+}g(\rho)=0 $. Allora $ \lim_{(x,y) \to \(x_0,y_0)}f(x,y)=l $.
Quello che ho capito è che occorre individuare una funzione radiale infinitesima che in un intorno di $ (x_0,y_0) $ maggiori la distanza tra i valori assunti da f, rappresentata in coordinate polari traslate nel punto $ (x_0,y_0) $ , in tale intorno, e il limite $ l $ . In questo modo la funzione sarà arbitrariamente vicina a tale valore che per definizione risulterà essere il suo limite.
1) I valori della funzione $ g(\rho) $, in un'eventuale rappresentazione, sono riportati sullo stesso asse dei valori di $ f(x,y) $ ? Esiste una rappresentazione grafica che possa aiutarmi a comprendere meglio?
Dimostrazione:
Per ipotesi $ \lim_{\rho \to \0^+}g(\rho)=0 $ quindi $ \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\forall\rho\in(0,\delta)->0\leg(\rho)<\epsilon $. Preso un punto $ (x,y)\inI_r(x_0,y_0)-{(x_0,y_0)} $ eisteranno $ \rho\in(0,\delta)\theta\in(0,2\pi] $ tali che $ x=x_0+\rhocos\theta $ e $ y=y_0+\rhosen\theta $
Poi non saprei più come continuare. Come posso fare? Dove interviene il raggio $ r $ dell'intorno?
Grazie
Quello che ho capito è che occorre individuare una funzione radiale infinitesima che in un intorno di $ (x_0,y_0) $ maggiori la distanza tra i valori assunti da f, rappresentata in coordinate polari traslate nel punto $ (x_0,y_0) $ , in tale intorno, e il limite $ l $ . In questo modo la funzione sarà arbitrariamente vicina a tale valore che per definizione risulterà essere il suo limite.
1) I valori della funzione $ g(\rho) $, in un'eventuale rappresentazione, sono riportati sullo stesso asse dei valori di $ f(x,y) $ ? Esiste una rappresentazione grafica che possa aiutarmi a comprendere meglio?
Dimostrazione:
Per ipotesi $ \lim_{\rho \to \0^+}g(\rho)=0 $ quindi $ \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\forall\rho\in(0,\delta)->0\leg(\rho)<\epsilon $. Preso un punto $ (x,y)\inI_r(x_0,y_0)-{(x_0,y_0)} $ eisteranno $ \rho\in(0,\delta)\theta\in(0,2\pi] $ tali che $ x=x_0+\rhocos\theta $ e $ y=y_0+\rhosen\theta $
Poi non saprei più come continuare. Come posso fare? Dove interviene il raggio $ r $ dell'intorno?
Grazie
Risposte
Io farei così: per definizione $\rho=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$, perciò $$g(\rho)=g(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})=h(x,y)$$ è una funzione delle variabili $x,y$ definita se $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\le r^2$ (è la palla di centro in $(x_0,y_0)$ e raggio $r$).
Se il giochino regge, la disuguaglianza $$|f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)-l|\le g(\rho)$$ diventa $$|f(x,y)-l|\le h(x,y)$$
Poiché $\rho\to 0$, si ha che $(x,y)\to (x_0,y_0)$ (questa è delicata da dimostrare, suppongo segua dall'equivalenza delle metriche in $\mathbb{R}^{n}$). Inoltre dalla condizione $\lim_{\rho\to 0^{+}}g(\rho)=0$ segue che $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}h(x,y)=0$.
A questo punto concluderei con il teorema del confronto.
Se il giochino regge, la disuguaglianza $$|f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)-l|\le g(\rho)$$ diventa $$|f(x,y)-l|\le h(x,y)$$
Poiché $\rho\to 0$, si ha che $(x,y)\to (x_0,y_0)$ (questa è delicata da dimostrare, suppongo segua dall'equivalenza delle metriche in $\mathbb{R}^{n}$). Inoltre dalla condizione $\lim_{\rho\to 0^{+}}g(\rho)=0$ segue che $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}h(x,y)=0$.
A questo punto concluderei con il teorema del confronto.
Ah, implicitamente ho risposto alla domanda relativa al grafico di $g$. Se vuoi visualizzare la maggiorazione, basta considerare la funzione $z=g(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$.
Ad esempio $f(x,y)=\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}$ in coordinate polari centrate in (0,0) diventa
$f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\rho^2\cos^2\theta\sin^2\theta\le \rho^2=g(\rho)$
Se vuoi rappresentare sia $f$ sia la funzione maggiorante, plotti la funzione $f$ e la funzione $h$ definita da $$h(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})=(\sqrt{x^2+y^2})^2=x^2+y^2$$ Almeno localmente in un intorno di (0,0) la disuguaglianza deve valere (il grafico di f è sotto il grafico di h). Dovrebbe funzionare.
Ad esempio $f(x,y)=\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}$ in coordinate polari centrate in (0,0) diventa
$f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\rho^2\cos^2\theta\sin^2\theta\le \rho^2=g(\rho)$
Se vuoi rappresentare sia $f$ sia la funzione maggiorante, plotti la funzione $f$ e la funzione $h$ definita da $$h(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})=(\sqrt{x^2+y^2})^2=x^2+y^2$$ Almeno localmente in un intorno di (0,0) la disuguaglianza deve valere (il grafico di f è sotto il grafico di h). Dovrebbe funzionare.
Perfetto! Con il tuo suggerimento sono riuscito a farmi un'idea "grafica" della maggiorazione. Per quanto riguarda la dimostrazione, restando nei limiti di ciò che ho studiato, ho fatto un altro piccolo passo:
Per ipotesi $ \lim_{\rho \to \0^+}g(\rho)=0 $ quindi $ \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\forall\rho\in(0,\delta)->0\leg(\rho)<\epsilon $. Preso un punto $ (x,y)\inI_r(x_0,y_0)-{(x_0,y_0)} $ eisteranno $ \rho\in(0,\delta)\theta\in(0,2\pi] $ tali che $ x=x_0+\rhocos\theta $ e $ y=y_0+\rhosen\theta $
Sfruttando l'ipotesi di maggiorazione:
$ |f(x_0+cos\theta,y_0+sen\theta)-l|\leg(\rho)<\epsilon $ e quindi $ |f(x_0+cos\theta,y_0+sen\theta)-l|<\epsilon $.
A questo punto dovrei aver provato che per i punti $ (x,y):d((x,y)(x_0,y_0))<\delta->|f(x,y)-l|<\epsilon $
Però se cosi fosse, non capisco la necessità di introdurre delle coordinate polari....
Per ipotesi $ \lim_{\rho \to \0^+}g(\rho)=0 $ quindi $ \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\forall\rho\in(0,\delta)->0\leg(\rho)<\epsilon $. Preso un punto $ (x,y)\inI_r(x_0,y_0)-{(x_0,y_0)} $ eisteranno $ \rho\in(0,\delta)\theta\in(0,2\pi] $ tali che $ x=x_0+\rhocos\theta $ e $ y=y_0+\rhosen\theta $
Sfruttando l'ipotesi di maggiorazione:
$ |f(x_0+cos\theta,y_0+sen\theta)-l|\leg(\rho)<\epsilon $ e quindi $ |f(x_0+cos\theta,y_0+sen\theta)-l|<\epsilon $.
A questo punto dovrei aver provato che per i punti $ (x,y):d((x,y)(x_0,y_0))<\delta->|f(x,y)-l|<\epsilon $
Però se cosi fosse, non capisco la necessità di introdurre delle coordinate polari....
Nel quote i miei commenti alla dimostrazione sono in corsivo.
Le coordinate polari sono perfette per descrivere intorni circolari. Inoltre si prestano bene per determinare le maggiorazioni: alla fin fine si usa la limitatezza delle funzioni seno e coseno.
"TS778LB":
Perfetto! Con il tuo suggerimento sono riuscito a farmi un'idea "grafica" della maggiorazione. Per quanto riguarda la dimostrazione, restando nei limiti di ciò che ho studiato, ho fatto un altro piccolo passo:
Per ipotesi $ \lim_{\rho \to \0^+}g(\rho)=0 $ quindi $ \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\forall\rho\in(0,\delta)->0\leg(\rho)<\epsilon $. (Ok, è la definizione di limite in una variabile)
Preso un punto $ (x,y)\inI_r(x_0,y_0)-{(x_0,y_0)} $
(qui mi pare che ci sia una falla, io ci avrei messo $I_r(x_0,y_0)\cap I_{\delta}(x_0,y_0)-\{(x_0,y_0)\}$). Nota che $I_r$ ti serve per sfruttare la maggiorazione, $I_{\delta}$ per usare $g(\rho)<\varepsilon$
esisteranno $ \rho\in(0,\delta)\theta\in(0,2\pi] $ tali che $ x=x_0+\rhocos\theta $ e $ y=y_0+\rhosen\theta $
Sfruttando l'ipotesi di maggiorazione:
$ |f(x_0+cos\theta,y_0+sen\theta)-l|\leg(\rho)<\epsilon $ e quindi $ |f(x_0+cos\theta,y_0+sen\theta)-l|<\epsilon $.
A questo punto dovrei aver provato che per i punti
$ (x,y):d((x,y)(x_0,y_0))<\delta->|f(x,y)-l|<\epsilon $
Io qui porrei $\delta_1=\min(r,\delta)$ e lavorerei con questo valore perché fissandolo in questo modo, sono certo che i miei (x,y) appartengono all'intersezione degli intorni, e per essi valgono entrambe le maggiorazioni.
Però se cosi fosse, non capisco la necessità di introdurre delle coordinate polari....
Le coordinate polari sono perfette per descrivere intorni circolari. Inoltre si prestano bene per determinare le maggiorazioni: alla fin fine si usa la limitatezza delle funzioni seno e coseno.
Grazie per tutte le precisazioni. Sei stata impeccabile!
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