Maggiorazione e minorazione di funzioni
Salve. C'è una cosa che proprio non riesco ad afferrare e cioè la logica secondo cui minorare o maggiorare una funzione. Ad esempio,
(x^2 + 1)/(x^3 + 3) viene mionorata con x^2/4x^3. C'è da dire che queste maggiorazioni o minorazioni riguardano lo studio della convergenza degli integrali generalizzati (in questo caso avevo l'integrale da 0 a +infinito della prima funzione e ne giustificavo la non convergenza dicendo che la funzione con cui l'avevo minorato non convergeva). Io avevo pensato al comportamento asintotico delle due funzioni però non mi spiego la presenza del 4 al denominatore.
Lo stesso vale per questa: (x^2 + 1)/(2 - x^7) viene maggiorata con 2x^2/-x^7 (quel 2 al numeratore da dove salta fuori?!).
Non riesco a cogliere il ragionamento fatto.
Non lo so se sono riuscita a spiegarmi decentemente, in ogni caso grazie!
(x^2 + 1)/(x^3 + 3) viene mionorata con x^2/4x^3. C'è da dire che queste maggiorazioni o minorazioni riguardano lo studio della convergenza degli integrali generalizzati (in questo caso avevo l'integrale da 0 a +infinito della prima funzione e ne giustificavo la non convergenza dicendo che la funzione con cui l'avevo minorato non convergeva). Io avevo pensato al comportamento asintotico delle due funzioni però non mi spiego la presenza del 4 al denominatore.
Lo stesso vale per questa: (x^2 + 1)/(2 - x^7) viene maggiorata con 2x^2/-x^7 (quel 2 al numeratore da dove salta fuori?!).
Non riesco a cogliere il ragionamento fatto.
Non lo so se sono riuscita a spiegarmi decentemente, in ogni caso grazie!
Risposte
be puoi vederla cosi se $x>0$
\begin{align}
\frac{x^2 }{4x^3 }=\frac{x^2 }{x^3+3x^3}\le\frac{x^2+1}{x^3+3}
\end{align}
\begin{align}
\frac{x^2+1 }{2-x^7 }\le\frac{x^2 +x^2 }{-x^7}=\frac{2x^2 }{-x^7}
\end{align}
il principio è sempre quello: per tro vare qualcosa di più grande (più piccolo) di una frazione , o si aumenta (diminuisce) il numeratore, o si diminuisce (aumenta) il denominatore, o entrambe le cose
Nel caso dello studio dell primo integrale improprio hai che
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2+1}{x^3+3}
\end{align}
nell'intervallo di integrazione, la funzione integranda è certamente positiva, e l'integrale risulta improprio solo a $+\infty;$ si può procedere o con il confronto puro, cioè quello delle minorazioni e maggiorazioni, cioè osservare che la funzione integranda risulta
\begin{align}
\frac{1}{4x}=\frac{x^2}{4x^3}=\frac{x^2}{x^3+3x^3}&\le\frac{x^2+1}{x^3+3}\le\frac{x^2+x^2}{x^3}=\frac{2x^2}{x^3}=\frac{2}{x}\\
\mbox{non converge}\gets\frac{1}{4x} &\le\frac{x^2+1}{x^3+3} \le \frac{2}{x}\to\mbox{non converge}
\end{align}
avendo integrale divergente le due funzioni esterne, anche la funzione compresa dovrà avere integrale divergente. Oppure si può procedere con il confronto asintotico della funzione integranda, che come abbiamo già osservato risulta sempre positiva nell'intervallo di integrazione, e dunque è possibile applicare tale confronto: allora quando $x\to+\infty$ abbiamo che
\begin{align}
\frac{x^2+1}{x^3+3}\sim \frac{x^2 }{x^3 }= \frac{1}{x}\to\mbox{non converge}
\end{align}
Analogamente si procede per il secondo integrale
\begin{align}
\frac{x^2 }{4x^3 }=\frac{x^2 }{x^3+3x^3}\le\frac{x^2+1}{x^3+3}
\end{align}
\begin{align}
\frac{x^2+1 }{2-x^7 }\le\frac{x^2 +x^2 }{-x^7}=\frac{2x^2 }{-x^7}
\end{align}
il principio è sempre quello: per tro vare qualcosa di più grande (più piccolo) di una frazione , o si aumenta (diminuisce) il numeratore, o si diminuisce (aumenta) il denominatore, o entrambe le cose
Nel caso dello studio dell primo integrale improprio hai che
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2+1}{x^3+3}
\end{align}
nell'intervallo di integrazione, la funzione integranda è certamente positiva, e l'integrale risulta improprio solo a $+\infty;$ si può procedere o con il confronto puro, cioè quello delle minorazioni e maggiorazioni, cioè osservare che la funzione integranda risulta
\begin{align}
\frac{1}{4x}=\frac{x^2}{4x^3}=\frac{x^2}{x^3+3x^3}&\le\frac{x^2+1}{x^3+3}\le\frac{x^2+x^2}{x^3}=\frac{2x^2}{x^3}=\frac{2}{x}\\
\mbox{non converge}\gets\frac{1}{4x} &\le\frac{x^2+1}{x^3+3} \le \frac{2}{x}\to\mbox{non converge}
\end{align}
avendo integrale divergente le due funzioni esterne, anche la funzione compresa dovrà avere integrale divergente. Oppure si può procedere con il confronto asintotico della funzione integranda, che come abbiamo già osservato risulta sempre positiva nell'intervallo di integrazione, e dunque è possibile applicare tale confronto: allora quando $x\to+\infty$ abbiamo che
\begin{align}
\frac{x^2+1}{x^3+3}\sim \frac{x^2 }{x^3 }= \frac{1}{x}\to\mbox{non converge}
\end{align}
Analogamente si procede per il secondo integrale
Grazie grazie grazie!! 
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