Maggioranti/Massimo/Estremo superiore...
Ciao a tutti.
Vorrei farvi una domanda che riguarda un argomento abbastanza semplice ma che genera qualche ambiguità (almeno a me ^^).
Aprendo il mio libro di analisi, leggo:
<maggioranti per $A$.>> .
Quindi mi sembra di capire che uno dei maggioranti $k$ può anche essere un elemento dell'insieme $A$, proprio perché è presente il simboletto: $x \le k$. Ma il libro prosegue dicendo:
<massimo se esiste un elemento $M \in A$ $:$ $M \geq x$, $\forall x \in A$.>> .
Qua cominciano le incomprensioni... se $M \in A$, cioè, $M$ è un elemento di $A$, insieme ai generici elementi $x$, come fa ad essere $M \geq x$? Il massimo di un insieme non dovrebbe essere uno solo? La precedente scrittura (confermata da altre fonti) prevede più massimi...
Un ulteriore incomprensione riguarda gli estremi (in questo caso prendo solo l'estremo superiore)... nel libro è scritto:
<estremo superiore.>>.
Ma allora l'estremo superiore non è uguale al massimo dell'insieme? Eppure c'è tanto di N.B. : Non confondere massimo con estremo superiore...
Mi potreste dare delle dritte? All'orale ho timore di far confusione...
Vorrei farvi una domanda che riguarda un argomento abbastanza semplice ma che genera qualche ambiguità (almeno a me ^^).
Aprendo il mio libro di analisi, leggo:
<
Quindi mi sembra di capire che uno dei maggioranti $k$ può anche essere un elemento dell'insieme $A$, proprio perché è presente il simboletto: $x \le k$. Ma il libro prosegue dicendo:
<
Qua cominciano le incomprensioni... se $M \in A$, cioè, $M$ è un elemento di $A$, insieme ai generici elementi $x$, come fa ad essere $M \geq x$? Il massimo di un insieme non dovrebbe essere uno solo? La precedente scrittura (confermata da altre fonti) prevede più massimi...
Un ulteriore incomprensione riguarda gli estremi (in questo caso prendo solo l'estremo superiore)... nel libro è scritto:
<
Ma allora l'estremo superiore non è uguale al massimo dell'insieme? Eppure c'è tanto di N.B. : Non confondere massimo con estremo superiore...
Mi potreste dare delle dritte? All'orale ho timore di far confusione...
Risposte
"xshell":
Ciao a tutti.
Un ulteriore incomprensione riguarda gli estremi (in questo caso prendo solo l'estremo superiore)... nel libro è scritto:
<estremo superiore.>>.
Ma allora l'estremo superiore non è uguale al massimo dell'insieme? Eppure c'è tanto di N.B. : Non confondere massimo con estremo superiore...
attento perchè nella definizione di estremo superiore non è richiesto che esso appartenga all'insieme. il massimo invece è un elemento che appartiene all'insieme. ad esempio se si considerano tutti i numeri reali MINORI di 2, 2 è l'estremo superiore dell'insieme che però non ha massimo. se invece si considerano i numeri MAGGIORI O UGUALI a 2, per tale insieme l'estremo superiore e il massimo coincidono (che è ovviamente 2)
per il resto il massimo di un insieme è unico, però più elementi possono essere uguali al massimo. i maggioranti invece sono infiniti in quanto nelle definizione si chiede che ogni elemento dell'insieme sia minore di tale maggiorante, ma appena trovato il maggiorante più piccolo ne hai trovati infiniti.
$>=$ è, appunto, maggiore oppure uguale.
se c'è un massimo M vuol dire che M è uguale a se stesso e maggiore di tutti gli altri elementi, dunque è maggiore o uguale a tutti, compreso se stesso.
però non succede sempre, ad esempio l'insieme di numeri reali che può essere indicato ad esempio con un intervallo aperto non ha un massimo:
(0,5) è tale che ogni numero è minore di 5, dunque 5 è un maggiorante, però 5 non appartiene all'insieme. ma 5 non è un maggiorante qualsiasi, è il più piccolo, infatti qualunque numero k più piccolo di 5 non è un maggiorante (perché esiste sempre almeno un numero compreso tra k e 5 che appartiene all'insieme). quindi 5 si definisce estremo superiore. se prendi invece l'intervallo chiuso [0,5], 5 è sempre l'estremo superiore, però appartiene all'insieme, dunque è il massimo.
poi, se dividi l'insieme dei numeri reali come ti dice il testo, puoi farlo solo con un numero che sia estremo superiore di una parte ed estremo inferiore dell'altra (quindi hai le due semirette, quella negativa e quella positiva, con la stessa origine "a"). però l'intersezione deve essere vuota, quindi "a" non può appartenere a entrambi, ed inoltre l'unione deve essere tutto R, quindi "a" non può non appartenere a nessuno dei due insiemi.
dunque hai $(-oo,a)uu[a,+oo)$ oppure $(-oo,a]uu(a,+oo)$.
nel primo caso "a" è il minimo del secondo insieme mentre è "solo" estremo superiore del primo insieme,
nel secondo caso "a" è il massimo del primo insieme mentre è "solo" estremo inferiore del secondo insieme.
spero di essere stata utile. ciao.
se c'è un massimo M vuol dire che M è uguale a se stesso e maggiore di tutti gli altri elementi, dunque è maggiore o uguale a tutti, compreso se stesso.
però non succede sempre, ad esempio l'insieme di numeri reali che può essere indicato ad esempio con un intervallo aperto non ha un massimo:
(0,5) è tale che ogni numero è minore di 5, dunque 5 è un maggiorante, però 5 non appartiene all'insieme. ma 5 non è un maggiorante qualsiasi, è il più piccolo, infatti qualunque numero k più piccolo di 5 non è un maggiorante (perché esiste sempre almeno un numero compreso tra k e 5 che appartiene all'insieme). quindi 5 si definisce estremo superiore. se prendi invece l'intervallo chiuso [0,5], 5 è sempre l'estremo superiore, però appartiene all'insieme, dunque è il massimo.
poi, se dividi l'insieme dei numeri reali come ti dice il testo, puoi farlo solo con un numero che sia estremo superiore di una parte ed estremo inferiore dell'altra (quindi hai le due semirette, quella negativa e quella positiva, con la stessa origine "a"). però l'intersezione deve essere vuota, quindi "a" non può appartenere a entrambi, ed inoltre l'unione deve essere tutto R, quindi "a" non può non appartenere a nessuno dei due insiemi.
dunque hai $(-oo,a)uu[a,+oo)$ oppure $(-oo,a]uu(a,+oo)$.
nel primo caso "a" è il minimo del secondo insieme mentre è "solo" estremo superiore del primo insieme,
nel secondo caso "a" è il massimo del primo insieme mentre è "solo" estremo inferiore del secondo insieme.
spero di essere stata utile. ciao.
Adesso ho capito, grazie mille.
prego.
aggiungo solo, perchè se non erro non è stato detto espressamente, che un max è anche un sup ma non viceversa. Analogamente un min è anche un inf ma non viceversa.
"Megan00b":
un max è anche un sup ma non viceversa.
Se ho l'insieme $A={x in R, x=1/n}$
e vedo che $ 1>=x $ per ogni x di A, cioè 1 è un maggiorante, e poiché $1 in A$ allora 1 è massimo. Ora visto che è massimo posso dire che è anche estremo superiore senza dimostrare che è il più piccolo dei maggioranti?
Sì
"@melia":
Sì
Perfetto, grazie!
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