Maggiorante e minorante di insiemi illimitati
Per semplicità sintetizzo il discorso al solo maggiorante, in quanto per il minorante il discorso è analogo.
Allora, consideriamo un insieme $A⊂R$ superiormente illimitato. Da quel che so, sup$A=+∞$
L'estremo superiore, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti.
Quindi, se esiste l'estremo superiore, che è il più piccolo dei maggioranti, necessariamente dovrà esistere almeno un maggiorante.
E fin qui il ragionamento sembra andar bene. Se non sbaglio, però:
- se esiste un maggiorante, allora esisteranno infiniti maggioranti (quindi dovrebbero esistere numeri maggiori di $+∞$);
- se un insieme ammette maggioranti, allora è superiormente limitato.
Come ci si comporta allora? Un insieme del tipo $(a, +∞)$ non dovrebbe ammettere maggioranti, ma allora come si giustifica l'esistenza dell'estremo superiore?
Grazie in anticipo
Allora, consideriamo un insieme $A⊂R$ superiormente illimitato. Da quel che so, sup$A=+∞$
L'estremo superiore, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti.
Quindi, se esiste l'estremo superiore, che è il più piccolo dei maggioranti, necessariamente dovrà esistere almeno un maggiorante.
E fin qui il ragionamento sembra andar bene. Se non sbaglio, però:
- se esiste un maggiorante, allora esisteranno infiniti maggioranti (quindi dovrebbero esistere numeri maggiori di $+∞$);
- se un insieme ammette maggioranti, allora è superiormente limitato.
Come ci si comporta allora? Un insieme del tipo $(a, +∞)$ non dovrebbe ammettere maggioranti, ma allora come si giustifica l'esistenza dell'estremo superiore?
Grazie in anticipo
Risposte
Ti riporto l'estratto di una dispensa universitaria:
"... Più in generale, si possono utilizzare i simboli $+infty$ e $-infty$ per descrivere un insieme $A$ non limitato
(superiormente o inferiormente):
• quando $A$ non è superiormente limitato, si usa dire che $\text(sup)\ A = +infty$
• quando $A$ non è inferiormente limitato, si usa dire che $\text(inf)\ A = -infty$ ... "
"... Più in generale, si possono utilizzare i simboli $+infty$ e $-infty$ per descrivere un insieme $A$ non limitato
(superiormente o inferiormente):
• quando $A$ non è superiormente limitato, si usa dire che $\text(sup)\ A = +infty$
• quando $A$ non è inferiormente limitato, si usa dire che $\text(inf)\ A = -infty$ ... "
@axpgn, si ma \( +\infty\) e \(-\infty\) dove li prendi? 
Premesso che non l'ho scritto io, il significato di quel paragrafo sta nella sostituzione della frase "l'insieme $A$ non è superiormente limitato" con la scrittura "$\text(sup)\ A=+infty$" dove $+infty$ è SOLO un simbolo (o segno grafico) , come scritto in premessa del paragrafo.
E' solo un abbreviazione lessicale.
Detto in altro modo: quando trovi scritto questo $\text(sup)\ A=+infty$ devi tradurlo in questo "l'insieme $A$ non è superiormente limitato" e non altro.
Cordialmente, Alex
E' solo un abbreviazione lessicale.
Detto in altro modo: quando trovi scritto questo $\text(sup)\ A=+infty$ devi tradurlo in questo "l'insieme $A$ non è superiormente limitato" e non altro.
Cordialmente, Alex
@axpgn,
mmmmm che brutta cosa....., personalmente non condivido quanto detto/scritto nella dispensa, per caso l'hai a portata di click?
Se si, puoi linkarla!?
Ciao
mmmmm che brutta cosa....., personalmente non condivido quanto detto/scritto nella dispensa, per caso l'hai a portata di click?
Se si, puoi linkarla!?Ciao
Ho il pdf ma non il link. E' la prima di una serie di dispense che formano un ausilio (denominato "Matematica Assistita") per gli studenti di Fisica dell'UNIMI.
Nel merito, personalmente non mi piace per niente affermare che l'estremo superiore di un insieme illimitato superiormente sia uguale a "qualcosa" ma, d'altra parte, è vero, come afferma la dispensa, che "si usa dire" e ignorare che esista non mi sembra una buona cosa. Inoltre formalmente non è scorretto: nel momento in cui definisco in modo chiaro che una certa definizione corrisponde ad una certa locuzione, va tutto bene; è solo un cambio di codice comunicativo.
Cordialmente, Alex
P.S.: Sul "Soardi - Analisi Matematica", libro consigliato nei corsi di Analisi I del corso di Fisica dell'UNIMI (ma non solo, credo ..) trovo questo:
"Se $A$ è limitato superiormente, si pone convenzionalmente $\text(sup)\ A=+infty$.
Non mi piace (per quel che conta ..
) ma non lo trovo errato.
Nel merito, personalmente non mi piace per niente affermare che l'estremo superiore di un insieme illimitato superiormente sia uguale a "qualcosa" ma, d'altra parte, è vero, come afferma la dispensa, che "si usa dire" e ignorare che esista non mi sembra una buona cosa. Inoltre formalmente non è scorretto: nel momento in cui definisco in modo chiaro che una certa definizione corrisponde ad una certa locuzione, va tutto bene; è solo un cambio di codice comunicativo.
Cordialmente, Alex
P.S.: Sul "Soardi - Analisi Matematica", libro consigliato nei corsi di Analisi I del corso di Fisica dell'UNIMI (ma non solo, credo ..) trovo questo:
"Se $A$ è limitato superiormente, si pone convenzionalmente $\text(sup)\ A=+infty$.
Non mi piace (per quel che conta ..
) ma non lo trovo errato.
@axpgn,
ovviamente quanto dici lo trovi scritto nei testi e devo ammettere che è quanto ho letto anch'io ma con tanto disgusto che nemmeno ricordavo; in realtà il concetto di insieme limitato superiormente o inferiormente è dato rispetto ad una relazione d'ordine e il concetto di estremo superiore o inferiore idem (avendo a priori insiemi rispettivamente limitati superiormente o inferiormente, almeno nei miei studi ho sempre focalizzato così tali concetti e non penso di aver sbagliato). Quindi quanto scritto nella dispensa è parecchio campato in aria (secondo i miei gusti) e parecchio superficiale, in effetti \( \overline{\Bbb{R}}\) è dotato di una relazione d'ordine \(\mathfrak{p}\) (estensione di quella definita in \( \Bbb{R}\)) e mi sembra ovvio che ogni sottoinsieme \(\emptyset \neq A \subseteq \overline{\Bbb{R}}\) è limitato rispetto ad \( \mathfrak{p}\), se poi \(A \subseteq \Bbb{R}\) è illimitato superiormente (o inferiormente) rispetto ad \( \mathfrak{m}\)* allora \(\sup_\mathfrak{p}(A)=+\infty\) (o \(\inf_\mathfrak{p}(A)=-\infty\)), ma si può dimostrare pensandoci un pochino senza porre nulla convenzionalmente usando simboli che (in me) creano ambiguità.. spero di non aver sbagliato nel ragionamento, sono cose fatte tempo fa ; chiedo scusa se la sezione è la meno adatta ma per quel poco la discussione è interessante 
Ciao
[size=85]*\(\mathfrak{m}\) è l'usuale relazione d'ordine definita in \( \Bbb{R}\)[/size]
ovviamente quanto dici lo trovi scritto nei testi e devo ammettere che è quanto ho letto anch'io ma con tanto disgusto che nemmeno ricordavo; in realtà il concetto di insieme limitato superiormente o inferiormente è dato rispetto ad una relazione d'ordine e il concetto di estremo superiore o inferiore idem (avendo a priori insiemi rispettivamente limitati superiormente o inferiormente, almeno nei miei studi ho sempre focalizzato così tali concetti e non penso di aver sbagliato). Quindi quanto scritto nella dispensa è parecchio campato in aria (secondo i miei gusti) e parecchio superficiale, in effetti \( \overline{\Bbb{R}}\) è dotato di una relazione d'ordine \(\mathfrak{p}\) (estensione di quella definita in \( \Bbb{R}\)) e mi sembra ovvio che ogni sottoinsieme \(\emptyset \neq A \subseteq \overline{\Bbb{R}}\) è limitato rispetto ad \( \mathfrak{p}\), se poi \(A \subseteq \Bbb{R}\) è illimitato superiormente (o inferiormente) rispetto ad \( \mathfrak{m}\)* allora \(\sup_\mathfrak{p}(A)=+\infty\) (o \(\inf_\mathfrak{p}(A)=-\infty\)), ma si può dimostrare pensandoci un pochino senza porre nulla convenzionalmente usando simboli che (in me) creano ambiguità.. spero di non aver sbagliato nel ragionamento, sono cose fatte tempo fa
; chiedo scusa se la sezione è la meno adatta ma per quel poco la discussione è interessante Ciao
[size=85]*\(\mathfrak{m}\) è l'usuale relazione d'ordine definita in \( \Bbb{R}\)[/size]
Per correttezza devo aggiungere che quanto dici relativamente a insiemi limitati, estremi, ecc. nel libro c'è ed è ben definito (e pure i reali estesi); ed anche nella dispensa i concetti ci sono, pur se in modo più sintetico in quanto destinata ad un ausilio pre-corso.
Ripeto però che a mio parere, pur non piacendomi, non posso dire che l'affermazione "incriminata" sia errata ed inoltre la tua rigorosa formalizzazione se è vero che da un lato permette di "dedurre" che $\text(sup)\ A=+infty$ invece di "imporla", dall'altro è anch'essa figlia di una convenzione precedente, quando crei i reali estesi, dove oltre che introdurre dei simboli devi anche (ri)definire operazioni e così via. Certamente questa operazione è utile perchè serve nel proseguo dello studio, ma la "semplicistica" affermazione da cui sono partito è utile e sufficiente nel contesto in cui è stata usata e, probabilmente, è sufficiente anche per questo thread.
Cordailmente, Alex
P.S.: il motivo per cui ho riportato quella frase è stato esattamente quello di mostrare all'autore del thread che la proposizione "L'estremo superiore di un insieme illimitato è più infinito" ha un significato OPPOSTO a quello che lui aveva inteso.
Ripeto però che a mio parere, pur non piacendomi, non posso dire che l'affermazione "incriminata" sia errata ed inoltre la tua rigorosa formalizzazione se è vero che da un lato permette di "dedurre" che $\text(sup)\ A=+infty$ invece di "imporla", dall'altro è anch'essa figlia di una convenzione precedente, quando crei i reali estesi, dove oltre che introdurre dei simboli devi anche (ri)definire operazioni e così via. Certamente questa operazione è utile perchè serve nel proseguo dello studio, ma la "semplicistica" affermazione da cui sono partito è utile e sufficiente nel contesto in cui è stata usata e, probabilmente, è sufficiente anche per questo thread.
Cordailmente, Alex
P.S.: il motivo per cui ho riportato quella frase è stato esattamente quello di mostrare all'autore del thread che la proposizione "L'estremo superiore di un insieme illimitato è più infinito" ha un significato OPPOSTO a quello che lui aveva inteso.
Credo che l'errore sia qui:
La definizione corretta sarebbe:
"L'estremo superiore, se finito, è il più piccolo dei maggioranti."
Anche perchè altrimenti non sarebbe valida la definizione:
"Se un insieme ammette almeno un maggiorante allora si dice che l'insieme è limitato superiormente"
"Rey:
X[z":1hkmrnzn]CUT... L'estremo superiore, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti. ...CUT
La definizione corretta sarebbe:
"L'estremo superiore, se finito, è il più piccolo dei maggioranti."
Anche perchè altrimenti non sarebbe valida la definizione:
"Se un insieme ammette almeno un maggiorante allora si dice che l'insieme è limitato superiormente"
"Drake76":
Credo che l'errore sia qui:
[quote="Rey]X[z":39q4utuq]CUT... L'estremo superiore, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti. ...CUT
[/quote] non credo proprio:
Def.: siano dati \(R\) una relazione d'ordine definita in \(A \), \(B \subseteq A \), ove \( B \) è limitato superiormente rispetto ad \(R\) (ovvero \(M_R (B) \neq \emptyset\), con \(M_R (B)\) l'insieme dei maggioranti di \(B \) rispetto ad \(R\)), ed \( l \in A \), si dice che \(l \) è l'estremo superiore di \( B \) rispetto ad \( R \), e lo si indica con \( \sup_R(B)\), se $$l={\min{_R}}(M_R (B)) $$ non capisco perché fai la distinzione tra finito ed infinito! Alpiù la definizioni che dai tu la si potrebbe postulare nel caso di insiemi illimitati rispetto alla relazione di ordine in \( \Bbb{R}\) (presi in \(\overline{\Bbb{R}}\)), ma la definizione di Rey]X[z rimane corretta in linee generali..
Ciao
"garnak.olegovitc":
... non capisco perché fai la distinzione tra finito ed infinito! Alpiù la definizioni che dai tu la si potrebbe postulare nel caso di insiemi illimitati rispetto alla relazione di ordine in \( \Bbb{R}\) (presi in \(\overline{\Bbb{R}}\)), ma la definizione di Drake76 rimane corretta in linee generali...
Non si è capito bene quest'ultimo paragrafo: contesti Drake76 ma dici che ha ragione?
Cordialmente, Alex
Scusate, ma siete proprio sicuri che un allievo delle superiori riesca a seguirvi? Io me ne figuro molti (forse anche tutti) con gli occhi sbarrati, e questa sezione è dedicata a loro. Ben venga qualche osservazione a livello superiore, ma accontentiamoci di "qualche".
Ma io non penso che sia uno studente delle superiori, non credo che si trattino certi argomenti ... tant'è che m'aspettavo che il thread fosse spostato "più su" ...
"axpgn":
Non si è capito bene quest'ultimo paragrafo: contesti Drake76 ma dici che ha ragione?
Cordialmente, Alex
ho corretto
"axpgn":
Ma io non penso che sia uno studente delle superiori, non credo che si trattino certi argomenti ... tant'è che m'aspettavo che il thread fosse spostato "più su" ...
Purtroppo mi trovo d'accordo. Frequento il quinto anno e la prof ha saltato completamente l'assioma di completezza/maggioranti/minoranti/punti di accumulazione&co. :/
Ad ogni modo, se ne era parlato anche qui(in modo molto più superficiale), purtroppo la discussione è passata inosservata per cui mi scuso se ho scritto cavolate nel topic.
Buonanotte
Il punto $+\infty$ tecnicamente non può assolutamente essere estremo superiore, credo sia solo una convenzione matematica. Questo perché, considerando le due proprietà che deve avere un estremo superiore, $+\infty$ soddisfa solo la prima, cioè quella in cui deve essere un maggiorante. Infatti se $y$ è maggiorante di $A$ per definizione
\(\displaystyle \forall x \in A \Rightarrow x\leq y \)
Se $y=+\infty$ questo è sempre vero. Se consideri poi che $y=\text(sup) A$, la seconda proprietà è
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \exists x \in A \Rightarrow y-\varepsilon
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \exists x \in A \Rightarrow +\infty-\varepsilon
\(\displaystyle \forall x \in A \Rightarrow x\leq y \)
Se $y=+\infty$ questo è sempre vero. Se consideri poi che $y=\text(sup) A$, la seconda proprietà è
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \exists x \in A \Rightarrow y-\varepsilon
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \exists x \in A \Rightarrow +\infty-\varepsilon
"garnak.olegovitc":
Def.: siano dati \(R\) una relazione d'ordine definita in \(A \), \(B \subseteq A \), ove \( B \) è limitato superiormente rispetto ad \(R\) (ovvero \(M_R (B) \neq \emptyset\), con \(M_R (B)\) l'insieme dei maggioranti di \(B \) rispetto ad \(R\)), ed \( l \in A \), si dice che \(l \) è l'estremo superiore di \( B \) rispetto ad \( R \), e lo si indica con \( \sup_R(B)\), se $$l={\min{_R}}(M_R (B)) $$ non capisco perché fai la distinzione tra finito ed infinito! Alpiù la definizioni che dai tu la si potrebbe postulare nel caso di insiemi illimitati rispetto alla relazione di ordine in \( \Bbb{R}\) (presi in \(\overline{\Bbb{R}}\)), ma la definizione di Rey]X[z rimane corretta in linee generali..
Ciao
Non ho capito, dai una definizione dove B è limitato superiormente e poi chiedi a me perchè faccio distinzioni tra finito ed infinito?
Se Rey]X[z nelle sue ipotesi afferma che l'estremo superiore dell'insieme che sta considerando è $ +oo $ allora significa che ci troviamo nell'insieme dei numeri reali esteso (nell'insieme dei numeri reali l'estremo superiore di un insieme non limitato superiormente non esiste), a quel punto devo per forza distinguere tra estremo superiore finito ed infinito altrimenti diventano assurde una gran parte delle definizioni in cui questo compare.
@Drake76,
penso che io e axpgn (il quale ringrazio per avermi fatto ricordare di questa convenzione ) abbiamo chiarito tale fatto! E poi, per me \( \overline{\Bbb{R}}\) è preso con una relazione di ordine e rispetto a questa la definizione che ho scritto continua a valere..(come continua a valere per qualsiasi insieme ordinato)
penso che io e axpgn (il quale ringrazio per avermi fatto ricordare di questa convenzione
) abbiamo chiarito tale fatto! E poi, per me \( \overline{\Bbb{R}}\) è preso con una relazione di ordine e rispetto a questa la definizione che ho scritto continua a valere..(come continua a valere per qualsiasi insieme ordinato)
Le cose finora scritte sono sostanzialmente corrette; cerco di mettere un po' d'ordine.
Diamo per buona la definizione di maggiorante per un sottoinsieme dei reali.
Def: un insieme \(A\subset\mathbb{R}\) non vuoto si dice limitato superiormente se ammette maggioranti; in caso contrario si dice illimitato superiormente.
Se un siffatto insieme è limitato superiormente, allora esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti (assioma di completezza dei numeri reali); tale minimo viene chiamato estremo superiore di \(A\).
Viceversa, se \(A\) non è limitato superiormente, si scriverà \(\sup A = +\infty\).
Giustamente sorge spontanea la domanda: perché nell'ultimo caso scrivo \(\sup A = +\infty\)?
Motivo 1 (giustificazione elementare): i matematici sono pigri. Anziché scrivere "l'insieme \(A\) non è limitato superiormente" preferiscono scrivere \(\sup A = +\infty\).
Purtroppo questa giustificazione non fa capire perché sia stata scelta questa scrittura e non un'altra...
Motivo 2 (giustificazione meno elementare): come ha scritto garnak, si può introdurre nell'insieme dei reali estesi una relazione d'ordine compatibile con la suddetta scrittura.
Chiaramente, in quei corsi di matematica dove non si parla di numeri reali estesi e di relative relazioni d'ordine la motivazione 2 non può essere utilizzata; ci si accontenta quindi di dire che si tratta di una convenzione (alla fine una convenzione è solo un accordo sul significato dei simboli scritti).
Diamo per buona la definizione di maggiorante per un sottoinsieme dei reali.
Def: un insieme \(A\subset\mathbb{R}\) non vuoto si dice limitato superiormente se ammette maggioranti; in caso contrario si dice illimitato superiormente.
Se un siffatto insieme è limitato superiormente, allora esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti (assioma di completezza dei numeri reali); tale minimo viene chiamato estremo superiore di \(A\).
Viceversa, se \(A\) non è limitato superiormente, si scriverà \(\sup A = +\infty\).
Giustamente sorge spontanea la domanda: perché nell'ultimo caso scrivo \(\sup A = +\infty\)?
Motivo 1 (giustificazione elementare): i matematici sono pigri. Anziché scrivere "l'insieme \(A\) non è limitato superiormente" preferiscono scrivere \(\sup A = +\infty\).
Purtroppo questa giustificazione non fa capire perché sia stata scelta questa scrittura e non un'altra...
Motivo 2 (giustificazione meno elementare): come ha scritto garnak, si può introdurre nell'insieme dei reali estesi una relazione d'ordine compatibile con la suddetta scrittura.
Chiaramente, in quei corsi di matematica dove non si parla di numeri reali estesi e di relative relazioni d'ordine la motivazione 2 non può essere utilizzata; ci si accontenta quindi di dire che si tratta di una convenzione (alla fine una convenzione è solo un accordo sul significato dei simboli scritti).
"Rigel":
...
Chiaramente, in quei corsi di matematica dove non si parla di numeri reali estesi e di relative relazioni d'ordine la motivazione 2 non può essere utilizzata; ci si accontenta quindi di dire che si tratta di una convenzione (alla fine una convenzione è solo un accordo sul significato dei simboli scritti).
Io credo che si dovrebbe intendere come convenzione in entrambi i casi, perché considerandola nel secondo caso, meno elementare, comunque porterebbe al paradosso di Rey]X[z. Inoltre come ho mostrato sopra la seconda proprietà dell'estremo superiore non è verificata, sarebbe un assurdo.
Grazie per risposte. Comunque sì, frequento il quinto anno del liceo scientifico. Ho semplicemente notato la discordanza nelle definizioni e ho avuto questo dubbio, quindi ho ritenuto opportuno postare il thread in questa sezione.
Purtroppo come afferma l'utente Giammaria non sono riuscito a seguire tutti i ragionamenti, come ad esempio quello riguardante il concetto di relazione d'ordine. In ogni caso, magari al momento accetto questa "convenzione", approfondendo l'argomento più avanti.
Purtroppo come afferma l'utente Giammaria non sono riuscito a seguire tutti i ragionamenti, come ad esempio quello riguardante il concetto di relazione d'ordine. In ogni caso, magari al momento accetto questa "convenzione", approfondendo l'argomento più avanti.
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