Maggiorante e minorante di insiemi illimitati

[x.mario.x]

Per semplicità sintetizzo il discorso al solo maggiorante, in quanto per il minorante il discorso è analogo.

Allora, consideriamo un insieme $A⊂R$ superiormente illimitato. Da quel che so, sup$A=+∞$
L'estremo superiore, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti.
Quindi, se esiste l'estremo superiore, che è il più piccolo dei maggioranti, necessariamente dovrà esistere almeno un maggiorante.

E fin qui il ragionamento sembra andar bene. Se non sbaglio, però:
- se esiste un maggiorante, allora esisteranno infiniti maggioranti (quindi dovrebbero esistere numeri maggiori di $+∞$);
- se un insieme ammette maggioranti, allora è superiormente limitato.

Come ci si comporta allora? Un insieme del tipo $(a, +∞)$ non dovrebbe ammettere maggioranti, ma allora come si giustifica l'esistenza dell'estremo superiore?

Grazie in anticipo

[dissonance]

@Campion: Le "due proprietà dell'estremo superiore" sono in effetti proprietà della relazione d'ordine dei soli numeri reali, e non valgono in generale. (In astratto, se \((A, \le)\) è un insieme ordinato, l'estremo superiore di un sottoinsieme \(B\subset A\) è - se esiste - il minimo dei maggioranti. Queste cose piacciono a Garnak ). Per un esempio facile ordina i numeri interi. Tutti gli insiemi limitati ammettono estremo superiore ma non si possono certo fare giochetti con gli epsilon.

[CaMpIoN]

"dissonance":@Campion: Le "due proprietà dell'estremo superiore" sono in effetti proprietà della relazione d'ordine dei soli numeri reali, e non valgono in generale. (In astratto, se \((A, \le)\) è un insieme ordinato, l'estremo superiore di un sottoinsieme \(B\subset A\) è - se esiste - il minimo dei maggioranti. Queste cose piacciono a Garnak ). Per un esempio facile ordina i numeri interi. Tutti gli insiemi limitati ammettono estremo superiore ma non si possono certo fare giochetti con gli epsilon.

Quella credo si possa prendere come dimostrazione nel caso dei numeri reali. In modo logico però ci si potrebbe arrivare lo stesso a quel risultato: l'estremo superiore per definizione è il minimo dei maggioranti ed essendo infiniti i maggioranti, tutti gli altri dovrebbero essere più grandi di esso, cosa che non è possibile se l'estremo superiore è $+\infty$.

[dissonance]

@Campion: Non riesco a capire questo tuo remark. Io non vedo alcun problema nel dire che il sup di un sottoinsieme non limitato superiormente sia \(+\infty\), dove per "sup" si intende "minimo dei maggioranti", rispetto ad una relazione d'ordine che nel nostro caso è quella dei numeri reali estesi. Scrivo i dettagli.

Consideriamo l'insieme dei reali estesi \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty, +\infty\}\), dotato della relazione d'ordine
\begin{equation}
\begin{array}{ccc}
a\le b & \iff &
\begin{cases}
a,b\in \mathbb{R}\ \text{e}\ a\le b \\
a=-\infty\\
b=+\infty
\end{cases}
\end{array}
\end{equation}
Ora prendiamo un sottoinsieme \(A\subset \mathbb{R}\) non limitato superiormente, ovvero, tale che per ogni \(M>0\) esista almeno un \(a\in A\) tale che \(M

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[CaMpIoN]

Secondo quanto scrivi è possibile, ma è strano comunque che utilizzando altre proprietà si trovano risultati opposti.
Prendi ad esempio in quelle due che ho utilizzato io precedentemente, il metodo si può utilizzare sui "possibili" estremi di $A$ e si avrebbe lo stesso risultato che ho ottenuto prima, però anche il tuo è valido e si ottiene un risultato positivo rispetto all'opposto negativo che ho ottenuto io. Praticamente da ipotesi valide si ottengono tesi opposte, come è possibile?

[dissonance]

Come dicevo, le "due proprietà dell'estremo superiore" che citi non valgono in generale. Per una generica relazione d'ordine, l'estremo superiore non è che il minimo dei maggioranti e non sono disponibili ulteriori caratterizzazioni. In particolare, nel sistema dei reali estesi, non è più possibile caratterizzare il sup di ogni insieme mediante le "due proprietà dell'estremo superiore".

Qualcosa bisogna pur pagare. Se uno passa dai reali ordinari a quelli estesi, tutti gli insiemi hanno sup e inf, ma è un vantaggio vuoto perché nel frattempo abbiamo perso la possibilità di caratterizzarli come si deve.

[x.mario.x]

@dissonance: Mi scuso se, non avendo familiarità con alcuni dei concetti espressi, la domanda possa risultare insensata.

In ogni caso, se l'insieme dei maggioranti è ridotto ad un singoletto, non diventano comunque errate le espressioni:
- "Se un insieme $A$ ha un maggiorante, allora ne ha infiniti";
- "Se un insieme $A$ ammette almeno un maggiorante, allora si dice che $A$ è limitato superiormente"?

O magari, nel passaggio alla relazione d'ordine di \( \overline{\mathbb{R}} \), decadono tutte queste affermazioni?

[dissonance]

Certamente. Anche queste sono tutte affermazioni valide solo nel sistema reale ordinario. Va tutto all'aria se ci si mette nei reali estesi.