Ma una funzione strettamente monotona.....
per il teorema degli zeri,ammette un'unica soluzione?
Risposte
Potrebbe anche non avere alcuno zero, pensa alla funzione esponenziale. L'ipotesi fondamentale è che la funzione ammetta valori discordi agli estremi. Infatti il teorema enuncia che una funzione $f$ continua su un intervallo $[a,b]$, che ammette valori discordi agli estremi, ha almeno uno zero (esiste cioè almeno un $c in (a,b)$, tale che $f(c)=0$).
SE esiste è unica, aldilà della continuità.
Il teorema di Bolzano vale per funzioni continue...cosa significa al di la della continuità?
Esempio:
$y= lnx$ se $0
Funzione monotona strettamente crescente, che ad esempio nell'intervallo $[1/2,6]$ non ammette alcuno zero, dato che presenta un salto per $x=1$.
Esempio:
$y= lnx$ se $0
Funzione monotona strettamente crescente, che ad esempio nell'intervallo $[1/2,6]$ non ammette alcuno zero, dato che presenta un salto per $x=1$.
"oronte83":
Il teorema di Bolzano vale per funzioni continue...cosa significa al di la della continuità?
infatto Megan ha premesso "SE esiste".
Si ma ha postposto, al di la della continuita...come dire che il fatto NON dipende dalla continuita'.
Significa che la monotonia non centra con la continuità.
Detto in parole povere la continuità ti dice che non ci sono "salti" quindi se in un certo intervallo la funzione passa da negativa a positiva deve passare da 0 (th. zeri)
La monotonia dice che SE passa da zero ci passa una volta sola (se cresce sempre non può ritornare giù e viceversa).
Quindi le due cose sono distinte e l'unicità della soluzione (sempre se esiste) di una funzione str. monotona non proviene dalla sua continuità.
Dato che la domanda di annachiara riguardava l'unicità della soluzione e non la sua esistenza il th degli zeri serve poco.
Detto in parole povere la continuità ti dice che non ci sono "salti" quindi se in un certo intervallo la funzione passa da negativa a positiva deve passare da 0 (th. zeri)
La monotonia dice che SE passa da zero ci passa una volta sola (se cresce sempre non può ritornare giù e viceversa).
Quindi le due cose sono distinte e l'unicità della soluzione (sempre se esiste) di una funzione str. monotona non proviene dalla sua continuità.
Dato che la domanda di annachiara riguardava l'unicità della soluzione e non la sua esistenza il th degli zeri serve poco.
Monotonia e continuita sono proprieta distinte certamente, ma inquadrata nel teorema di Bolzano, a meno della monotonia della funzione, la proprieta di continuita e' senza dubbio necessaria. Per questo non capivo la tua affermazione. Chiaramente il teorema degli zeri ti esclude i casi di funzioni monotone che non assumono valori discordi agli estremi o di funzioni monotone discontinue.
Sono d'accordo con Megan: annachiara non parla di continuità (anche se parla del teorema degli zeri, che richiede la continuità: francamente questo non lo capisco).
Vabbè ha solo fatto confusione. Forse dettata dal fatto che chiunque se gli si dice: pensa ad una funzione, probabilmente gli viene in mente il classico disegnino della curva strettamente crescente e continua tipo una parabola slargata senza considerare che la varietà è mostruosa.
Spero che adesso sia più chiaro.
ciao.
Spero che adesso sia più chiaro.
ciao.
per una funzione continua :X va meglio? grazie ancora 
Immagino che per "una soluzione" tu intenda "uno zero". Allora ti ha già risposto oronte83: no perché per esempio la funzione $f(x)=e^x$ di $RR$ in $RR$ è strettamente monotona crescente e non ammette zeri.
E come ha detto Megan00b, se una funzione strettamente monotona ammette uno zero, allora esso è unico, e questo vale anche quando la funzione non è continua.
La cosa che puoi dire in più è questa: se una funzione continua e strettamente monotona assume valori non nulli di segno opposto allora essa ammette esattamente uno zero (per il teorema degli zeri).
E come ha detto Megan00b, se una funzione strettamente monotona ammette uno zero, allora esso è unico, e questo vale anche quando la funzione non è continua.
La cosa che puoi dire in più è questa: se una funzione continua e strettamente monotona assume valori non nulli di segno opposto allora essa ammette esattamente uno zero (per il teorema degli zeri).
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