Lunghezza curva
salve a tutti..dovrei calcolare la lunghezza della curva in R^3 individuata da:
$\{(y^2+z^2=4y),(z=2cossqrt(2(x-1))):}$
con $\1<=x<=11/2
ho pensato di rappresentare la curva con equazioni parametriche in cui pongo $\t=sqrt(2(x-1))$ e ottengo:
$\{(x=t^2/2+1),(z=2cost),(y=..):}$
per calcolare y-> $\y^2-4y+4cos^2t=0->y=(4+-sqrt(16-4(cos^2t)))/2=2(1+-sent)
con $0<=t<=3
quindi $l=int_0^3sqrt((t)^2+(2cost)^2+-(2sent)^2)dt=int_0^3sqrt(t^2+4)dt
risolvo per sostituzione $w=sqrt(t^2+4)$ e ottengo $l=2int_2^sqrt13w^3/3dw=...=sqrt20/3-sqrt6/3
ma il risultato sul libro esce abbastanza diverso..$3/2sqrt13+2log(3+sqrt13)-2log2
ho controllato piu volte i passaggi e torno sempre allo stesso punto,ho sbagliato nell'impostare l'esercizio?
$\{(y^2+z^2=4y),(z=2cossqrt(2(x-1))):}$
con $\1<=x<=11/2
ho pensato di rappresentare la curva con equazioni parametriche in cui pongo $\t=sqrt(2(x-1))$ e ottengo:
$\{(x=t^2/2+1),(z=2cost),(y=..):}$
per calcolare y-> $\y^2-4y+4cos^2t=0->y=(4+-sqrt(16-4(cos^2t)))/2=2(1+-sent)
con $0<=t<=3
quindi $l=int_0^3sqrt((t)^2+(2cost)^2+-(2sent)^2)dt=int_0^3sqrt(t^2+4)dt
risolvo per sostituzione $w=sqrt(t^2+4)$ e ottengo $l=2int_2^sqrt13w^3/3dw=...=sqrt20/3-sqrt6/3
ma il risultato sul libro esce abbastanza diverso..$3/2sqrt13+2log(3+sqrt13)-2log2
ho controllato piu volte i passaggi e torno sempre allo stesso punto,ho sbagliato nell'impostare l'esercizio?
Risposte
Se fai quella sostituzione, allora $w^2=t^2+4$, per cui $t\ dt=w\ dw$. Essendo anche $t=\sqrt{w^2-4}$ dovrai sostituire il differenziale con $dt=\frac{w\ dw}{\sqrt{w^2-4}}$... che però di porta ad avere un problema di integrabilità nell'estremo inferiore $w=2$. Io ti consiglierei una sostituzione con le funzioni iperboliche: $t=2\sinh w=e^w-e^{-w}$. Conosci questo metodo? Altrimenti te lo spiego, oppure troviamo un altra sostituzione più utile.
eh si in effetti non avevo notato che in w=2 creava un po di problemi..quel metodo non lo conosco,sul libro su un esercizio simileprocedeva con un metodo che non avendo capito ho provato a risolvere in quest'altro modo..
era scritto che avendo un integale nella forma $intsqrt(a^2+b^2t^2)$ si procedeva con la sostituzione $t=a/bsenh(w)$
se non c'è un vera e propria spiegazione non preoccuparti,vorrei sapere soltanto se questo metodo devo applicarlo sempre,tutte le volte che trovo nel caso $intsqrt(a^2+b^2t^2)
p.s. che cos'è $h(w)$?nel mio caso a quanto è uguale?
era scritto che avendo un integale nella forma $intsqrt(a^2+b^2t^2)$ si procedeva con la sostituzione $t=a/bsenh(w)$
se non c'è un vera e propria spiegazione non preoccuparti,vorrei sapere soltanto se questo metodo devo applicarlo sempre,tutte le volte che trovo nel caso $intsqrt(a^2+b^2t^2)
p.s. che cos'è $h(w)$?nel mio caso a quanto è uguale?
$sinh(.)$ è la funzione seno iperbolico (" /h/ yperbolico")
Scusa, mi sono dimenticato di separare. La funzione seno iperbolico (e la sua compagna coseno iperbolico) sono definite come
[tex]$\sinh\ x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad \cosh\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$[/tex]
e sono delle parenti strette delle funzioni trigonometriche. Alcune proprietà utili, per il calcolo degli integrali, sono le seguenti:
[tex]\cosh^2\ x-\sinh^2 x=1,\qquad \cosh^2 x=\frac{1+\cosh\ 2x}{2},\qquad \sinh^2\ x=\frac{1-\cosh\ 2x}{2},$[/tex]
[tex]$(\sinh\ x)'=\cosh\ x,\qquad (\cosh\ x)'=\sinh\ x$[/tex].
Fai la sostituzione seguente nel tuo integrale: [tex]$t=2\sinh\ w$[/tex]. Risulta allora
[tex]$\sqrt{t^2+4}=\sqrt{4(\sinh^2 w+1)}=2\sqrt{\cosh^2 w}=2\cosh\ w$[/tex] (per definizione la funzione coseno iperbolico è sempre maggiore o uguale a 1). Inoltre, per $t=0$, $w=0$, mentre per $t=3$, $w=\log(-3+\sqrt{10})$. [Per ottenere questi valori, risolvi l'equazione $a=\frac{e^w-e^{-w}}{2}$, con $a$ pari al valore scelto di volta in volta per la tua $t$]. Essendo infine
[tex]$dt=2\cosh\ w\ dw$[/tex] ottieni l'integrale
[tex]$\int_0^{\log(\sqrt{10}-3)} 2\cosh\ w\cdot 2\cosh\ w\ dw$[/tex]
che dovresti riuscire a integrare facilmente. Prova.
[tex]$\sinh\ x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad \cosh\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$[/tex]
e sono delle parenti strette delle funzioni trigonometriche. Alcune proprietà utili, per il calcolo degli integrali, sono le seguenti:
[tex]\cosh^2\ x-\sinh^2 x=1,\qquad \cosh^2 x=\frac{1+\cosh\ 2x}{2},\qquad \sinh^2\ x=\frac{1-\cosh\ 2x}{2},$[/tex]
[tex]$(\sinh\ x)'=\cosh\ x,\qquad (\cosh\ x)'=\sinh\ x$[/tex].
Fai la sostituzione seguente nel tuo integrale: [tex]$t=2\sinh\ w$[/tex]. Risulta allora
[tex]$\sqrt{t^2+4}=\sqrt{4(\sinh^2 w+1)}=2\sqrt{\cosh^2 w}=2\cosh\ w$[/tex] (per definizione la funzione coseno iperbolico è sempre maggiore o uguale a 1). Inoltre, per $t=0$, $w=0$, mentre per $t=3$, $w=\log(-3+\sqrt{10})$. [Per ottenere questi valori, risolvi l'equazione $a=\frac{e^w-e^{-w}}{2}$, con $a$ pari al valore scelto di volta in volta per la tua $t$]. Essendo infine
[tex]$dt=2\cosh\ w\ dw$[/tex] ottieni l'integrale
[tex]$\int_0^{\log(\sqrt{10}-3)} 2\cosh\ w\cdot 2\cosh\ w\ dw$[/tex]
che dovresti riuscire a integrare facilmente. Prova.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo