Lunghezza cicloide

[simone.montanari.92]

La cicloide è descritta dalla parametrizzazione $ phi(t)=(t-sint,1-cost) $ $ tin[0,2pi] $. Determinare $ phi' $, $ abs(phi')_2 $ e la lunghezza di tale curva.

Allora ho $ phi'=(1-cost,sint) $ e quindi $ abs(phi')=sqrt(2(1-cost) $ e fino a qui tutto ok.
continuando con l'integrale ho
$ int_(0)^(2pi) sqrt(2(1-cost)) dt $
$ sqrt(2)int_(0)^(2pi) sqrt(1-cost) dt $ ora qui ho usato la bisezione(penso sia giusto come passaggio) e ottengo
$ sqrt(2)int_(0)^(2pi) sqrt(2sin^2(t/2)) dt $ e quindi $ 2int_(0)^(2pi) sqrt(sin^2(t/2)) dt $ . Ora pongo $ t/2=u $,
$ dt=2du $ con estremi $ 0=>0,2pi=>pi $ . Pertanto $ 4int_(0)^(pi) sqrt(sin^2(u)) du $. Trovandosi nel primo quadrante ho il seno positivo quindi senza tanti problemi tolgo la radice $ 4int_(0)^(pi) sin(u) du $ e ora concludo con $ 4[-cos]_(0 )^(pi) =4-(-4)=8 $.
Il risultato viene(sperando che i calcoli siano tutti giusti), ma la soluzione dataci dal prof riporta un procedimento diverso che non riesco a capire
scrivo tutti i passaggi della sua risoluzione
$ int_(0)^(2pi) sqrt(2(1-cost)) dt=2sqrt(2)int_(0)^(pi)sqrt(1-cost)dt=2sqrt(2)int_(0)^(pi)(sqrt(1-cos^2t))/(sqrt(1+cost))dt $$=2sqrt(2)int_(0)^(pi)sint/sqrt(1+cost)dt=2sqrt(2)int_(0)^(2)(ds)/sqrt(s)=4sqrt2[sqrts]_(0 )^(2) =8$

Non riesco a capire cosa ha fatto nei primi due passaggi. da quando introduce il seno fino alla conclusione mi è tutto chiaro, il problema è nel mezzo, da dove esce $ 2sqrt2 $, perchè gli estremi cambiano
mi potete dare una mano a capire?

[simone.montanari.92]

ah ecco allora, ora tutto si spiega. avevo intuito il $*sqrt(1+cost)$ ma la prima parte non avevo proprio idea
grazie