LUGNHEZZA DI UNA CURVA (222163)

[alfi.93]

ciao mi aiutate con quest'esercizio?

"Sia C una curva di eq parametriche x= 2-cos3t; y=1+sen3t t=(o, 2pigreco)
stabilire se è regolare e calcolarne la lunghezza"
grazie mille :) :) :)

[mc2]

[math]x'=-3\cos(3t)[/math]

,

[math] y'=3\cos (3t)[/math]

La curva e` regolare.

[math]L=\int_0^{2\pi)}\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt=3\int_0^{2\pi)}dt=6\pi[/math]

Ma per questo esercizio particolare c'era un altro modo:

[math]x=2-\cos(3t)~~~\Rightarrow~~~\cos(3t)=2-x[/math]

[math]y=1+\sin(3t)~~~\Rightarrow~~~\sin(3t)=y-1[/math]

ma

[math]sin^2(3t)+\cos^2(3t)=1[/math]

quindi

[math](x-2)^2+(y-1)^2=1[/math]

e` una circonferenza di raggio 1 !

Con il parametro t che varia da 0 a 2 pigreco la circonferenza viene percorsa tre volte (per il fattore 3 ad argomento di sin e cos), quindi la lunghezza richiesta e`

[math]3*2\pi R=6\pi[/math]