Logaritmo o arcotangente?
Ciao a tutti, mi è venuto un dubbio sugli integrali :
Perchè $int x/(x^2 +1)$ è uguale a $1/2log(x^2+1)$ e non a $1/2arctg(f(x))$ visto che la formula è $int[f'(x)]/ (1+[f(x)]^2)$ ?
Perchè $int x/(x^2 +1)$ è uguale a $1/2log(x^2+1)$ e non a $1/2arctg(f(x))$ visto che la formula è $int[f'(x)]/ (1+[f(x)]^2)$ ?
Risposte
Puoi dedurlo per due motivi:
1) se provi a derivare $1/2log(x^2+1)$ deduci direttamente che l'integrale è proprio quello;
2)l'integrale proposto sarebbe di un arcotangente se il numeratore della funzione integranda fosse di questo tipo $1/(1+x^2)$, come si può notare correttamente dalla formula risolutiva che hai postato; più precisamente la primitiva sarebbe $arctan(x)$.
Ciò che probabilmente ti sfugge nella determinazione di una primitiva nella forma di un arcotangente è questo particolare a denominatore: $1 + [f(x)]^2$. Essendo, nell'esempio, $f(x)=x$, allora $f'(x)=1$ ma ciò non accade, perciò deduci che non si tratta di un arcotangente, bensì di un logaritmo.
1) se provi a derivare $1/2log(x^2+1)$ deduci direttamente che l'integrale è proprio quello;
2)l'integrale proposto sarebbe di un arcotangente se il numeratore della funzione integranda fosse di questo tipo $1/(1+x^2)$, come si può notare correttamente dalla formula risolutiva che hai postato; più precisamente la primitiva sarebbe $arctan(x)$.
Ciò che probabilmente ti sfugge nella determinazione di una primitiva nella forma di un arcotangente è questo particolare a denominatore: $1 + [f(x)]^2$. Essendo, nell'esempio, $f(x)=x$, allora $f'(x)=1$ ma ciò non accade, perciò deduci che non si tratta di un arcotangente, bensì di un logaritmo.
Hai ragione, io consideravo come funzione da derivare $x^2$, invece era solo la $x$. Grazie mille!
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