Lipschitzianità di una funzione
Volevo chiedere qualche chiarimento su come dedurre che una funzione sia lispchitziana su un certo dominio? E come uniformemente continua? Tenendo conto del teorema di Cantor-Heine e del fatto che se una funzione è lipschitziana è uniformemente continua, una funzione di questo tipo ad esempio:
$f(x)={((x^2+5x+6)/|x-1|,if x<=0),(x+6-(x+1)log(x+1),if x>0):}$
come fareste a dire se è lipschitziana e/o uniformemente continua? Considerando che la funzione è continua in $x=0$, ha un asintoto obliquo per $x->-oo$ e diverge a $-oo$ per $x->+oo$, io ma senza ancora capire bene come, direi che è lipschitziana su $(-oo,a]$ con $a>0$ ma con $a!=+oo$ poichè la derivata si mantiene limitata in questo insieme e vi è addirittura un asintoto obliquo per $x$ che diverge negativamente. Potreste darmi qualche delucidazione?
$f(x)={((x^2+5x+6)/|x-1|,if x<=0),(x+6-(x+1)log(x+1),if x>0):}$
come fareste a dire se è lipschitziana e/o uniformemente continua? Considerando che la funzione è continua in $x=0$, ha un asintoto obliquo per $x->-oo$ e diverge a $-oo$ per $x->+oo$, io ma senza ancora capire bene come, direi che è lipschitziana su $(-oo,a]$ con $a>0$ ma con $a!=+oo$ poichè la derivata si mantiene limitata in questo insieme e vi è addirittura un asintoto obliquo per $x$ che diverge negativamente. Potreste darmi qualche delucidazione?
Risposte
Ciao!
Questo è un argomento che ho appena affrontantato all'uni, posso dirti se non erro che una funzione è lispchitziana se la sua derivata prima è limitata.
I criteri per verificare l'uniforme continuità (U.C.) sono:
- Lispchitzianità--->implica U.C.
- Presenza di un asintoto orizzontale/obliquo a più infinito.
- Teorema di Heine-Cantor (se una funzione è continua e derivabile in un intervallo [a,b] allora è U.C. in quell'intervallo).
Ti chiedo scusa se la risposta non è esauriente e sicuramente sarà molto incompleta, ma sono uno studente al primo anno di ingegneria!
Questo è un argomento che ho appena affrontantato all'uni, posso dirti se non erro che una funzione è lispchitziana se la sua derivata prima è limitata.
I criteri per verificare l'uniforme continuità (U.C.) sono:
- Lispchitzianità--->implica U.C.
- Presenza di un asintoto orizzontale/obliquo a più infinito.
- Teorema di Heine-Cantor (se una funzione è continua e derivabile in un intervallo [a,b] allora è U.C. in quell'intervallo).
Ti chiedo scusa se la risposta non è esauriente e sicuramente sarà molto incompleta, ma sono uno studente al primo anno di ingegneria!
Confermo quanto dice Silver (il nickname è in omaggio al disegnatore?): i metodi "pratici" per studiare uniforme continuità e Lipschitzianità sono quelli. Per la teoria rimando come al solito al sito http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Ok, ci siamo, ma nell'esempio citato a questo punto, sarebbe corretto dire che è lipschitziana in $(-oo,a], a>0, a!=+oo$? vista la definizione e il comportamento della $f$?
Devi applicare i criteri che dice Silver. Hai detto che ci sono asintoti obliqui in entrambe le direzioni, quindi sugli intervalli $(-infty, a]$ e $[b, +\infty)$, con $a < -1, b>1$, la funzione è uniformemente continua. Per la Lipschitzianità devi studiare la derivata, negli intervalli in cui essa si mantiene limitata la funzione è Lipschitziana. Ci sono tutti gli ingredienti, bisogna solo fare i conti.
I criteri sto cercando di applicarli, l'asintoto obliquo è solo per $x->-oo$...quindi ho fatto questo ragionamento, a $-oo$ la derivata è limitata e tende all'asintoto obliquo, mentre considerando che è uniformemente continua in ogni compatto in cui è continua (ed è continua in tutto R) posso considerare come estremo destro dell'intervallo chiuso e limitato un qualunque $a!=+oo$...in parole povere è come se avessi considerato la funzione come uniformemente continua in un compatto $[b,a]$ e poi ho fatto tendere $b$ a $-oo$ concludendo che è ancora uniformemente continua. Tuttavia questo ragionamento è puramente intuitivo e forse pure sbagliato, inoltre mi rendo conto che sto parlando di uniforme continuità e non di lipschitzianità. Perchè, dissonance, mi dici di considerare gli intervalli $(-oo,a]$ e $[b,+oo)$ a sinistra di -1 e a destra di 1? Perchè non consideriamo l'intervallo $[-1,1]$? Pensi che il mio raginamento possa avere qualcosa di giusto?
Nessuno disposto a darmi una mano? domani ho l'orale di analisi I aiutooo 
ok, ci rinuncio...grazie lo stesso a entrambi
Nel tuo post precedente c'è un errore: il fatto che una funzione abbia un asintoto orizzontale o obliquo non significa necessariamente che anche la derivata lo abbia, prendi ad esempio $1/x sin (e^x)$:
[asvg]xmin=1; xmax=5; axes(); plot("(1/x)* sin(e^x)");[/asvg]
ha un asintoto orizzontale ma guarda come oscilla sempre più freneticamente, e infatti la derivata prima $(e^x cos(e^x))/x-(sin(e^x))/x^2$ combina un gran casino per $x\to+\infty$
[asvg]xmin=1; xmax=5; axes(); stroke="red"; plot("(e^x* cos(e^x))/x-(sin(e^x))/x^2");[/asvg]
come puoi vedere.
Ora prendiamo in esame la tua funzione. Essa ha un punto di infinito in $x=1$, un asintoto obliquo a destra e un asintoto obliquo a sinistra (a tuo dire, non ho controllato i conti). Il teorema "della farfalla" dice che una funzione continua in un intervallo di tipo $[a, +infy)$ che abbia asintoto obliquo a destra è uniformemente continua (chiaramente vale un risultato simmetrico a sinistra). Applicando direttamente questo teorema si ottiene subito che la tua funzione è uniformemente continua negli intervalli di tipo $(-infty, b], [a, infty)$ dove $b < 1 < a$. E questo conclude la discussione sull'uniforme continuità.
Ora vediamo la Lipschitzianità. Come dicevamo nei post precedenti, il criterio "pratico" per vedere se una funzione è Lipschitziana è controllare che la derivata sia limitata. L'hai fatto? In ogni caso, la funzione sarà Lipschitziana in ogni intervallo (limitato o meno) in cui la derivata si mantiene limitata. Questo concluderà la discussione della Lipschitzianità.
Morale: non ti confondere - gli asintoti ti servono per la sola continuità uniforme, la limitatezza della derivata per la Lipschitzianità. Chiaramente la maniera giusta di procedere è al contrario rispetto a come ho fatto io: prima verifica la Lipschitzianità, che implica la continuità uniforme, poi verifica la continuità uniforme se dovesse essere necessario.
[asvg]xmin=1; xmax=5; axes(); plot("(1/x)* sin(e^x)");[/asvg]
ha un asintoto orizzontale ma guarda come oscilla sempre più freneticamente, e infatti la derivata prima $(e^x cos(e^x))/x-(sin(e^x))/x^2$ combina un gran casino per $x\to+\infty$
[asvg]xmin=1; xmax=5; axes(); stroke="red"; plot("(e^x* cos(e^x))/x-(sin(e^x))/x^2");[/asvg]
come puoi vedere.
Ora prendiamo in esame la tua funzione. Essa ha un punto di infinito in $x=1$, un asintoto obliquo a destra e un asintoto obliquo a sinistra (a tuo dire, non ho controllato i conti). Il teorema "della farfalla" dice che una funzione continua in un intervallo di tipo $[a, +infy)$ che abbia asintoto obliquo a destra è uniformemente continua (chiaramente vale un risultato simmetrico a sinistra). Applicando direttamente questo teorema si ottiene subito che la tua funzione è uniformemente continua negli intervalli di tipo $(-infty, b], [a, infty)$ dove $b < 1 < a$. E questo conclude la discussione sull'uniforme continuità.
Ora vediamo la Lipschitzianità. Come dicevamo nei post precedenti, il criterio "pratico" per vedere se una funzione è Lipschitziana è controllare che la derivata sia limitata. L'hai fatto? In ogni caso, la funzione sarà Lipschitziana in ogni intervallo (limitato o meno) in cui la derivata si mantiene limitata. Questo concluderà la discussione della Lipschitzianità.
Morale: non ti confondere - gli asintoti ti servono per la sola continuità uniforme, la limitatezza della derivata per la Lipschitzianità. Chiaramente la maniera giusta di procedere è al contrario rispetto a come ho fatto io: prima verifica la Lipschitzianità, che implica la continuità uniforme, poi verifica la continuità uniforme se dovesse essere necessario.
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta, veramente completa...vediamo un po', innanzitutto preciso che l'asintoto obliquo, come ho detto fin dall'inizio, è solo a sinistra, a destra la funzione diverge senza asintoti. Per cui la prima cosa che mi viene da pensare è che sia uniformemente continua nell'intorno di $-oo$. Ma andiamo per gradi; vediamo se è lipschitziana: la derivata prima per $x<=0$ è $- (x^2 - 2x - 11)/(x - 1)^2$, come faccio a dire che è limitata? Calcolando i $ lim_(x -> -oo) f'(x) $ e $ lim_(x -> +oo) f'(x) $? o vedendo semplicemente se diverge per qualche $x$? (e in questo caso per nessun valore visto che il denominatore si annulla per $x=1$ ma la funzione è definita per $x<=0$).
In questo caso $lim_(x -> -oo) f'(x)=-1 $ che come previsto è il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo, ma come dici tu non è una condizione sufficiente per la lipschitzianità. Fino a $x=0$ la derivata è monotona crescente e in $x=0$ vale 11. Dunque $|f'(x)|<11$ in $(-oo,0]$, per cui sicuramente la funzione è lipschitziana (e uniformemente continua) in questo intervallo. Adesso voglio sapere se questo intervallo può essere allargato. Per $x>0$ la derivata prima vale $-log(x+1)$ che è non è limitata in $(0,+oo)$. Tuttavia $f'(x)$ è monotona decrescente e se considero qualsiasi intervallo chiuso $(0,a]$ la derivata si mantiene al di sopra della retta $y=f'(a)$ e sotto l'asse x, dunque è limitata; tuttavia la derivata cresce in valore assoluto quando cresce x, dunque non è limitata nell'intorno di $+oo$. Concludo che la derivata si mantiene limitata in $(-oo,0]uu(0,a]=(-oo,a]$ con $a>0, a!=+oo$. Che è quello che avevo concluso prima un po' intuitivamente.
Per quanto riguarda l'uniforme continuità so che è $f(x)$ uniformemente continua laddove è lipschitziana, quindi per quanto sono riuscito a fare io, in $(-oo,a]$, ma adesso come faccio a dire se è uniformemente continua in $(a,b)$ ($b>a$)?
In questo caso $lim_(x -> -oo) f'(x)=-1 $ che come previsto è il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo, ma come dici tu non è una condizione sufficiente per la lipschitzianità. Fino a $x=0$ la derivata è monotona crescente e in $x=0$ vale 11. Dunque $|f'(x)|<11$ in $(-oo,0]$, per cui sicuramente la funzione è lipschitziana (e uniformemente continua) in questo intervallo. Adesso voglio sapere se questo intervallo può essere allargato. Per $x>0$ la derivata prima vale $-log(x+1)$ che è non è limitata in $(0,+oo)$. Tuttavia $f'(x)$ è monotona decrescente e se considero qualsiasi intervallo chiuso $(0,a]$ la derivata si mantiene al di sopra della retta $y=f'(a)$ e sotto l'asse x, dunque è limitata; tuttavia la derivata cresce in valore assoluto quando cresce x, dunque non è limitata nell'intorno di $+oo$. Concludo che la derivata si mantiene limitata in $(-oo,0]uu(0,a]=(-oo,a]$ con $a>0, a!=+oo$. Che è quello che avevo concluso prima un po' intuitivamente.
Per quanto riguarda l'uniforme continuità so che è $f(x)$ uniformemente continua laddove è lipschitziana, quindi per quanto sono riuscito a fare io, in $(-oo,a]$, ma adesso come faccio a dire se è uniformemente continua in $(a,b)$ ($b>a$)?
La funzione, essendo continua su tutto $RR$, è uniformemente continua su ogni insieme limitato.
Inoltre, come hai già osservato, ha derivata limitata nella semiretta $x<0$, quindi è uniformemente continua sulle semirette $(-\infty, b)$, per ogni $b>0$.
Non è invece né Lipschitziana né uniformemente continua su tutto $RR$, dal momento che
$\lim_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.
Infatti, comunque tu scelga $\delta>0$, esiste $K>0$ tale che $|f'(x)| > 1/\delta$ per ogni $x > K$, quindi (applicando il teorema di Lagrange)
se scegli $x>K$ e $y = K + \delta$ hai $|x-y| = \delta$ e $|f(x) - f(y)| > 1$. Questo contraddice la definizione di uniforme continuità.
Inoltre, come hai già osservato, ha derivata limitata nella semiretta $x<0$, quindi è uniformemente continua sulle semirette $(-\infty, b)$, per ogni $b>0$.
Non è invece né Lipschitziana né uniformemente continua su tutto $RR$, dal momento che
$\lim_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.
Infatti, comunque tu scelga $\delta>0$, esiste $K>0$ tale che $|f'(x)| > 1/\delta$ per ogni $x > K$, quindi (applicando il teorema di Lagrange)
se scegli $x>K$ e $y = K + \delta$ hai $|x-y| = \delta$ e $|f(x) - f(y)| > 1$. Questo contraddice la definizione di uniforme continuità.
Hai ragione Rigel, il mio ragionamento filava, per concludere dovevo andare a prendere la definizione di continuità uniforme...grazie mille!
In bocca al lupo!
crepi...speriamo bene sono tesissimo
Una marea di topic, ma ancora qualcosa mi sfugge su questa benedetta lipschitzianità.
Riassumo quello che ho capito:
- se voglio dimostrare che una funzione è uniformemente continua, allora posso applicare la rispettiva definizione o, più semplicemente, verificare che sia lipschitziana
- se voglio verificare che la funzione sia lipschitziana posso sfruttare la definizione (per pigrizia non la scrivo...comunque quella con i valori assoluti) oppure posso verificare se la sua derivata prima è limitata
Qui mi perdo...come faccio a dimostrarlo?
Si è detto che $ sin(x) $ è lipschitziana (con L=1); la sua derivata prima è $ cos(x) $ . Poichè oscilla tra 1 e -1 allora posso dire che è limitata e scelgo L=1 perchè cerco solo L>0. Ma se prendo $ f(x)=1/(1+x^2) $ (derivata $ f'(x)=-2x/(1+x^2)^2 $ ) come faccio? Se faccio il grafico lo vedo, ma a livello di conti come devo procedere? Verificare se ha asintoti obliqui, etc?
Riassumo quello che ho capito:
- se voglio dimostrare che una funzione è uniformemente continua, allora posso applicare la rispettiva definizione o, più semplicemente, verificare che sia lipschitziana
- se voglio verificare che la funzione sia lipschitziana posso sfruttare la definizione (per pigrizia non la scrivo...comunque quella con i valori assoluti) oppure posso verificare se la sua derivata prima è limitata
Qui mi perdo...come faccio a dimostrarlo?
Si è detto che $ sin(x) $ è lipschitziana (con L=1); la sua derivata prima è $ cos(x) $ . Poichè oscilla tra 1 e -1 allora posso dire che è limitata e scelgo L=1 perchè cerco solo L>0. Ma se prendo $ f(x)=1/(1+x^2) $ (derivata $ f'(x)=-2x/(1+x^2)^2 $ ) come faccio? Se faccio il grafico lo vedo, ma a livello di conti come devo procedere? Verificare se ha asintoti obliqui, etc?
Nel caso in cui vuoi dimostrare la lipschizianità facendo vedere che la derivata è limitata, non sei tenuto a trovare necessariamente la migliore costante di Lipschitz. Ad esempio nel caso $f(x)=1/(1+x^2)$, $f'(x)=(-2x)/(1+x^2)^2$ puoi notare semplicemente che la derivata è continua su tutto $RR$ e agli estremi, cioè più $+infty$ e $-infty$ tende a valori costanti, in questo caso a $0$. Questo basta a concludere che la derivata sia limitata (è intuitivo, ma se vuoi dimostrarlo ha a che fare con il teorema di Weirstrass). Non importa sapere se è limitata tra $-1$ e $1$, o tra $-100$ e $100$.
Se vuoi determinare la migliore costante di Lipschitz, il metodo più standard consiste nello studiare la funzione derivata e trovare il massimo e il minimo assoluti. In questo caso dovrebbe risultare $L=1/2$.
Se vuoi determinare la migliore costante di Lipschitz, il metodo più standard consiste nello studiare la funzione derivata e trovare il massimo e il minimo assoluti. In questo caso dovrebbe risultare $L=1/2$.
In pratica è sufficiente verificare che esistono (e sono finiti) i limiti della derivata prima per x tendente a $ pm oo $ (e che ovviamente la derivata stessa sia continua).E dunque se voglio vedere se è lipschiziana in un determinato intervallo, devo solo verificare che ai suoi "estremi" non diverga, dico bene?
Se è così, perchè nei libri/appunti evitano accuratamente di dirlo con queste parole?
Comunque grazie per la precisa spiegazione
Se è così, perchè nei libri/appunti evitano accuratamente di dirlo con queste parole?
Comunque grazie per la precisa spiegazione
"lobacevskij":Perché queste parole sono sbagliate. Devi controllare che la derivata si mantenga limitata, non che non diverga agli estremi, sono due cose diverse: ad esempio prova a considerare la funzione
se voglio vedere se è lipschiziana in un determinato intervallo, devo solo verificare che ai suoi "estremi" non diverga, dico bene?
Se è così, perchè nei libri/appunti evitano accuratamente di dirlo con queste parole?
$sqrt(|x|),\ -1
Secondo te è Lipschitziana?
"SiLv3r":
- Teorema di Heine-Cantor (se una funzione è continua e derivabile in un intervallo [a,b] allora è U.C. in quell'intervallo).
Piccola precisazione: non è richiesta la derivabilità.
@ dissonance: no, non lo è perchè in x=0 non è continua. Infatti nello stesso posto avevo detto "verificare che [...] ovviamente la derivata stessa sia continua". E' questo che puntualizzavi o c'è ancora qualcos'altro che mi sfugge? 
Giusto per mettermi alla prova, non è che puoi propormi alcune funzioni (su tutto R o in certi intervalli) così ti dico il ragionamento che faccio per stabilire se sono o meno lipschitziane?
Giusto per mettermi alla prova, non è che puoi propormi alcune funzioni (su tutto R o in certi intervalli) così ti dico il ragionamento che faccio per stabilire se sono o meno lipschitziane?
"lobacevskij":Ma come no?!? Aiutati con il grafico:
@ dissonance: no, non lo è perchè in x=0 non è continua.
[asvg]ymin=0; ymax=1; xmin=-1; xmax=1; axes(); plot("sqrt(abs(x))");[/asvg]
P.S.: Ti consiglio questa pagina
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
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