LIPSCHITZIANITA'
Al corso di Analisi stiamo affrontando le equazioni differenziali e in particolare il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale. Durante una delle ultime lezioni, la prof ha tenuto a sottolilneare come, rinunciando all'ipotesi di lipschitzianità della funzione f che compare nella forma normale dell'ED $y'=f(x,y)$, si possa perdere l'unicità della soluzione del relativo problema di Cauchy.
Ha proposto questo esempio:
${(y'=2 \sqrt[|y|]),(y(0) = 0):}$
dimostrando che ammette INFINITE soluzioni.
A questo punto ha detto che, in generale, non è semplice fare valutazioni sulla lipschitzianità di una funzione .. e ha quindi ben pensato di lasciare come esercizio la verifica della NON-lipschitzianità di f nell'esempio
L'unico strumento di cui dispongo per venirne a capo è la definizione stessa di lipschitzianità (riferita a un intorno rettangolare $IxJ$ di $x_0$):
f(x,y) lipschitziana rispetto a y uniformemente per x <==> $\EE L>0$ t.c. $|f(x,y_1) - f(x,y_2)| <= L | y_1 - y_2| \quad \forall x \in I, \quad \forall y_1, y_2 \in J$
Ma non ho idea di COME applicarla!
Mi viene da pensare che basterebbe trovare un y1 e y2 in un intorno di 0 che non mi verificano la disuguaglianza ma cercare valori "a naso" mi sembra un procidemento molto poco rigoroso....
D'altronde le vaghe indicazioni fornite dalla prof. ("maggiorate, derivate, fate qualcosa col rapporto incrementale..."), mi inducono a pensare che ci siano strade diverse per arrivarci.
In sintesi: come si procede quando c'è da verificare la lipschitzianità ?
Ha proposto questo esempio:
${(y'=2 \sqrt[|y|]),(y(0) = 0):}$
dimostrando che ammette INFINITE soluzioni.
A questo punto ha detto che, in generale, non è semplice fare valutazioni sulla lipschitzianità di una funzione .. e ha quindi ben pensato di lasciare come esercizio la verifica della NON-lipschitzianità di f nell'esempio
L'unico strumento di cui dispongo per venirne a capo è la definizione stessa di lipschitzianità (riferita a un intorno rettangolare $IxJ$ di $x_0$):
f(x,y) lipschitziana rispetto a y uniformemente per x <==> $\EE L>0$ t.c. $|f(x,y_1) - f(x,y_2)| <= L | y_1 - y_2| \quad \forall x \in I, \quad \forall y_1, y_2 \in J$
Ma non ho idea di COME applicarla!
Mi viene da pensare che basterebbe trovare un y1 e y2 in un intorno di 0 che non mi verificano la disuguaglianza ma cercare valori "a naso" mi sembra un procidemento molto poco rigoroso....
D'altronde le vaghe indicazioni fornite dalla prof. ("maggiorate, derivate, fate qualcosa col rapporto incrementale..."), mi inducono a pensare che ci siano strade diverse per arrivarci.
In sintesi: come si procede quando c'è da verificare la lipschitzianità ?
Risposte
"Mezcalito":
$\EE L>0$ t.c. $|f(x,y_1) - f(x,y_2)| <= L | y_1 - y_2| \quad \forall x \in I, \quad \forall y_1, y_2 \in J$
Per provare che non è lipschitziana, basta prendere $y_1 = 0$ e il resto viene da sé. Tra l'altro, $f$ non dipende da $x$...
Se invece vuoi provare che una funzione $f$ è lipschitziana, la strada "canonica" passa attraverso "$f$ di classe $C^1$ + teorema di Lagrange".
Se uno poi ti vuol dare un problema "difficile", ci mette qualche modulo. In tal caso, può servire ricordare che la funzione valore assoluto è lipschitiana, e che la composizione di funzioni lipschirziane è lipschitziana.
Forse mi sfugge qualcosa...
Se prendo $y_1 = 0$ arrivo a
$L >= 2/\sqrt(|y_2|)$
che non mi sembra in contraddizione con la definizione, qualsiasi sia $y_2$ (a meno che non possa prendere anche $y_2=0$....ma suppongo di no
)
si tratta della condizione sufficiente di lipschitzianità, se ho ben interpretato....
$ f $ e $(\partial f)/(\partial y)$ continue in $IxJ$ ==> f lipschitziana rispetto a $y$ uniformemente per $x$ in $IxJ$
Essendo una condizione sufficiente:
se vale sono sicuro che f è lipschitziana, ma verificare che non vale (come in questo caso) non mi esclude che f sia lipschitziana, giusto ?
questo non lo sapevo e può tornare molto utile, grazie!
"Fioravante Patrone":
Per provare che non è lipschitziana, basta prendere $y_1 = 0$ e il resto viene da sé. Tra l'altro, $f$ non dipende da $x$...
Se prendo $y_1 = 0$ arrivo a
$L >= 2/\sqrt(|y_2|)$
che non mi sembra in contraddizione con la definizione, qualsiasi sia $y_2$ (a meno che non possa prendere anche $y_2=0$....ma suppongo di no
)
Se invece vuoi provare che una funzione $f$ è lipschitziana, la strada "canonica" passa attraverso "$f$ di classe $C^1$ + teorema di Lagrange".
si tratta della condizione sufficiente di lipschitzianità, se ho ben interpretato....
$ f $ e $(\partial f)/(\partial y)$ continue in $IxJ$ ==> f lipschitziana rispetto a $y$ uniformemente per $x$ in $IxJ$
Essendo una condizione sufficiente:
se vale sono sicuro che f è lipschitziana, ma verificare che non vale (come in questo caso) non mi esclude che f sia lipschitziana, giusto ?
Se uno poi ti vuol dare un problema "difficile", ci mette qualche modulo. In tal caso, può servire ricordare che la funzione valore assoluto è lipschitiana, e che la composizione di funzioni lipschitziane è lipschitziana.
questo non lo sapevo e può tornare molto utile, grazie!
"Mezcalito":
Forse mi sfugge qualcosa...
Se prendo $y_1 = 0$ arrivo a
$L >= 2/\sqrt(|y_2|)$
che non mi sembra in contraddizione con la definizione, qualsiasi sia $y_2$ (a meno che non possa prendere anche $y_2=0$....ma suppongo di no
no (anche perché la divisione non la puoi fare se $y_2 = 0$) , ma puoi prendere $y_2$ "piccolo a piacere"
"Mezcalito":
Essendo una condizione sufficiente:
se vale sono sicuro che f è lipschitziana, ma verificare che non vale (come in questo caso) non mi esclude che f sia lipschitziana, giusto ?
come tutte le condizioni sufficienti è sufficiente
se fosse anche necessaria la si chiamerebbe condizione necessaria e sufficiente
"Fioravante Patrone":
come tutte le condizioni sufficienti è sufficiente
se fosse anche necessaria la si chiamerebbe condizione necessaria e sufficiente
...mi era solo venuto il dubbio che non ricordassi più la differenza tra necessaria e sufficiente
E immagino che non esista una condizione necessaria e sufficiente di lipschitzianità...
GULP
Penso di aver capito solo ora la definizione di lipschitzianità
Per dire che una funzione è lipschitziana devo trovare UN'UNICA costante $L$ che mi verifichi la disuguaglianza per TUTTE le scelte di $y_1$ e $y_2$ che posso operare!!!
In quest'ottica, tornando all'esempio, posso scegliere $y_2$ "piccolo a piacere" e rendere di conseguenza "grande a piacere" il rapporto $2 / \sqrt(|y_2|)$ per cui non esiste UNA costante che maggiora il rapporto PER OGNI $y_2$...
Corretto ?
Penso di aver capito solo ora la definizione di lipschitzianità
Per dire che una funzione è lipschitziana devo trovare UN'UNICA costante $L$ che mi verifichi la disuguaglianza per TUTTE le scelte di $y_1$ e $y_2$ che posso operare!!!
In quest'ottica, tornando all'esempio, posso scegliere $y_2$ "piccolo a piacere" e rendere di conseguenza "grande a piacere" il rapporto $2 / \sqrt(|y_2|)$ per cui non esiste UNA costante che maggiora il rapporto PER OGNI $y_2$...
Corretto ?
"Mezcalito":succede...
GULP
Penso di aver capito solo ora la definizione di lipschitzianità
quel che dici dopo è corretto
"Fioravante Patrone":succede...
[quote="Mezcalito"]GULP
Penso di aver capito solo ora la definizione di lipschitzianità
quel che dici dopo è corretto[/quote]
Ok grazie mille !!!
Puoi ragionare pure come segue.
La definizione di lipschitzianità in $y$ implica che comunque tu scelga due punti distinti $y_1,y_2 in J$, il rapporto incrementale $\frac{f(y_1)-f(y_2)}{y_1-y_2}$ è limitato superiormente uniformemente rispetto ad $y_1,y_2$ (nel senso che $exists Lge 0: AA y_1!=y_2 in J, \frac{|f(y_1)-f(y_2)|}{|y_1-y_2|}le L$ quindi $L$ non dipende dalla scelta dei due punti in $J$). Ne consegue che, nei punti in cui la tua funzione è derivabile, risulta anche $|f'(y)|le L$: pertanto $f'$ (dove esiste) è limitata.*
Nel tuo caso è $f(y)=\sqrt{y}$ ed evidentemente $f in C^1(]0,+oo[)$: se la $f$ fosse lipschitziana intorno a 0, allora esisterebbe un $J$ intorno destro di 0 in cui $f'$ è limitata, contro il fatto che $lim_(yrarr 0+) f'(y)=+oo$. Assurdo. Quindi la tua $f$ non è lipschitziana intorno a zero.
* La conclusione più generale che puoi trarre dall'uniforme limitatezza dei rapporti incrementali è: "Le quattro funzioni $D_(-) f, D_+f,D^(-) f$ e $D^+ f$, minima e massima derivata di $f$ rispettivamente a sinistra e a destra dei punti dell'insieme $J$, sono funzioni limitate".
Per completezza chiarisco la definizione di minima e massima derivata a destra di $f$: $AA y in J$
$D^(-) f(y)=minlim_(hrarr 0^+) \frac{f(y+h)-f(y)}{h}$ e $D^+ f(y)=maxlim_(hrarr 0^+) \frac{f(y+h)-f(y)}{h}$.
Analoga definizione, ma con $hrarr 0^(-)$ per le derivate sinistre.
La definizione di lipschitzianità in $y$ implica che comunque tu scelga due punti distinti $y_1,y_2 in J$, il rapporto incrementale $\frac{f(y_1)-f(y_2)}{y_1-y_2}$ è limitato superiormente uniformemente rispetto ad $y_1,y_2$ (nel senso che $exists Lge 0: AA y_1!=y_2 in J, \frac{|f(y_1)-f(y_2)|}{|y_1-y_2|}le L$ quindi $L$ non dipende dalla scelta dei due punti in $J$). Ne consegue che, nei punti in cui la tua funzione è derivabile, risulta anche $|f'(y)|le L$: pertanto $f'$ (dove esiste) è limitata.*
Nel tuo caso è $f(y)=\sqrt{y}$ ed evidentemente $f in C^1(]0,+oo[)$: se la $f$ fosse lipschitziana intorno a 0, allora esisterebbe un $J$ intorno destro di 0 in cui $f'$ è limitata, contro il fatto che $lim_(yrarr 0+) f'(y)=+oo$. Assurdo. Quindi la tua $f$ non è lipschitziana intorno a zero.
* La conclusione più generale che puoi trarre dall'uniforme limitatezza dei rapporti incrementali è: "Le quattro funzioni $D_(-) f, D_+f,D^(-) f$ e $D^+ f$, minima e massima derivata di $f$ rispettivamente a sinistra e a destra dei punti dell'insieme $J$, sono funzioni limitate".
Per completezza chiarisco la definizione di minima e massima derivata a destra di $f$: $AA y in J$
$D^(-) f(y)=minlim_(hrarr 0^+) \frac{f(y+h)-f(y)}{h}$ e $D^+ f(y)=maxlim_(hrarr 0^+) \frac{f(y+h)-f(y)}{h}$.
Analoga definizione, ma con $hrarr 0^(-)$ per le derivate sinistre.
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