Lipchizinità e Continuità Uniforme

[Biagio2580]

Ciao ragazzi , studiando la relazione tra Lipchizianità e Continuità Uniforme(Lip=>U.C.) , viene poi dimostrato che il viceversa non vale , ovvero se una funzione è uniformemente continua , non è detto che sia anche Lipchiziana.
Viene utilizzato come esempio la funzione:
$ f:[0,1]->R $
$ f(x)=sqrtx $

Che è U.C. per Heine , e viene poi dimostrato che il Sup della funzione fa $ +oo $, e quindi la derivata non è limita, e di conseguenza , non è Lipchiziana.

Viene poi detto però , che per farla diventare Lipchiziana , basta escludere lo 0 , ma non viene spiegato il perchè , qualcuno può aiutarmi?

[Mephlip]

Ciao! Ti hanno mostrato nel corso il legame tra lipschitzianità e limitatezza del modulo della derivata prima per funzioni derivabili?

[otta96]

Non basta escludere lo $0$ dal dominio, la derivata rimane comunque illimitata, bisogna escludere un intorno dello $0$ per averla lipschitziana, dovrebbe anche esserti chiaro il perchè.

[Biagio2580]

Si Mephlip , me lo hanno mostrato , è una condizione necessaria e sufficiente (se non sbaglio ), per avere la mia f Lipchiziana

[Mephlip]

Sì, esatto. Come dice otta96, va escluso tutto un intorno di $0$. Perché questo? Che succede a $|f'(x)|$ se $x \in (0,1]$? Invece, che succede a $|f'(x)|$ se, per ogni $0

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[Biagio2580]

"otta96":Non basta escludere lo $0$ dal dominio, la derivata rimane comunque illimitata, bisogna escludere un intorno dello $0$ per averla lipschitziana, dovrebbe anche esserti chiaro il perchè.

Sugli appunti c'è scritto di escludere lo 0 , potresti spiegarmi perchè un'intorno di $0$?

[Biagio2580]

"Mephlip":Sì, esatto. Come dice otta96, va escluso tutto un intorno di $0$. Perché questo? Che succede a $|f'(x)|$ se $x \in (0,1]$? Invece, che succede a $|f'(x)|$ se, per ogni $0

Non mi viene in mente ora , scusa Mephlip , potresti spiegarmi?

[Mephlip]

Rileggi la mia prima risposta e ragionaci su.

[Biagio2580]

Il fatto è che mi soffermo comunque sulla derivata , non viene comunque $+oo$?

[Mephlip]

Facci vedere i conti, altrimenti non possiamo capire cosa sta succedendo.

[Biagio2580]

La derivata non è uguale ?

[otta96]

Ma il dominio no.

[Biagio2580]

Ma se la derivata è comunque $+oo$, l'ipotesi che è limitata comunque non vale , no?

[Mephlip]

Ci faresti vedere perché, secondo te, la derivata è illimitata in entrambi i domini $(0,1]$ e $[a,1]$? Con "far vedere", intendo scriverci i ragionamenti e i calcoli che fai.

[BlackCrow_ita]

"Mephlip":Ci faresti vedere perché, secondo te, la derivata è illimitata in entrambi i domini $(0,1]$ e $[a,1]$? Con "far vedere", intendo scriverci i ragionamenti e i calcoli che fai.

Secondo me, ma questo è un umilissimo consiglio da persona che sta imparando ed ascolta chi ne sa più di lui dunque sono l'ultimo che dovrebbe intervenire, la difficoltà che si ha nel mostrare i ragionamenti fatti nasce dal non aver studiato bene quel che si è fatto e/o non si è abituati a spiegarlo. Quindi, forse, sarebbe meglio chiedergli di spiegarlo a parole e poi provare a scriverlo in "matematichese" e aiutarlo laddove non riesca ancora a farlo. Cioè fare da "ponte" tra lingua e pensiero.

[Mephlip]

@BlackCrow_ita: Grazie per il consiglio! Cerco di spiegare perché sto "interrogando" Biagio2580, in modo che si capisca qual è la finalità di questo approccio. Il punto è che la matematica si impara provando a farla, non vedendo qualcuno che la fa. Il riscontro con chi è più esperto è fondamentale, ma è produttivo solamente se l'inesperto porta i suoi tentativi di soluzione. In matematica, i ragionamenti sbagliati e i tentativi falliti sono le parti più importanti della didattica proprio perché esplorano il modo di ragionare del discente e ne mettono in luce le fallacie. Se l'esperto svolge un esercizio senza far fare nulla all'inesperto, le lacune dell'inesperto non vengono a galla e l'apprendimento è perlopiù mnemonico. Se vuoi un argomento a sostegno di questo, ci metto $10$ minuti a trovarti sul forum un caso di un utente casuale che: pone una domanda, gli viene data la soluzione da un utente più esperto senza farlo ragionare, pone un'altra domanda, un altro utente esperto non gli dà la "pappa pronta" e lo fa ragionare, e dal ragionamento dell'inesperto escono fuori $n$ "eresie matematiche" che l'esperto corregge. Nel primo caso, lo studente ha imparato mnemonicamente una soluzione; nel secondo caso, lo studente partecipa attivamente e impara una valanga di cose in più avendo esposto le sue lacune, lacune che non sarebbero emerse se non gli fosse stato chiesto di partecipare attivamente. Che ne pensi?

In ogni caso, rispondendo più specificamente, scrivendo "i ragionamenti" non ho specificato da alcuna parte che questi ragionamenti debbano essere rigorosi; quindi, anche scriverli a parole è una possibilità che non è stata esclusa. Inoltre, avendo Biagio2580 affermato che la derivata è illimitata, significa che: o che qualche conto l'ha fatto, o che, intuitivamente, pensa che lo sia. Se qualche conto l'ha fatto, può scriverlo. Se lo pensa intuitivamente, può dire di non aver fatto conti e dire cosa gli fa pensare che intuitivamente lo sia (e si prosegue con la discussione). Non mi sembra quindi che, in ogni caso, sia esclusa la possibilità di spiegarlo a parole. Un esempio di calcolo scritto a parole può essere: "Credo sia illimitata anche in $[a,1]$ perché, quando $a$ è vicino a $0$ e positivo, allora il denominatore della derivata diventa molto grande e quindi mi sembra ragionevole pensare che la derivata sia illimitata anche nell'intervallo $[a,1]$".

Infine, il regolamento del forum prevede un tentativo di soluzione; le regole non le ho stabilite io . E, quando ci si iscrive, si accettano le regole del forum.

[Biagio2580]

Allora , devo dimostrare che : $ |(f(x)-f(y))/(x-y)|>M $ (devo far vedere che non è lipchiziana). Questo già mi porta al ragionamento che un qualcosa maggiore di una costante positiva , sia proprio $+oo$.
Passo ai calcoli: $ (f(x)-f(y))/(x-y) =(sqrt(x)-sqrt(y))/(x-y) $ ,Ora razionalizzo :
$ ((sqrt(x)-sqrt(y))(sqrt(x)+sqrt(y)))/((x-y)(sqrt(x)+sqrt(y)) $
Semplificando mi rimane :
$ SUP=1/(sqrt(x)+sqrt(y))=+oo $
Questo è il conto quando la funzione è definita in [0,1], giusto no ?

[Mephlip]

"Biagio2580":Questo già mi porta al ragionamento che un qualcosa maggiore di una costante positiva , sia proprio $+oo$.

Sì? Quindi qualcosa di maggiore di $7$ è necessariamente illimitato superiormente? Occhio alle parole: qualcosa di maggiore di ogni costante positiva è illimitato superiormente. Il motivo per cui c'è stato questo inconveniente è perché non hai negato correttamente la definizione di lipschitzianità: non c'è mica solo la disuguaglianza $|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|>M$ nella negazione della definizione di lipschitzianità. Ora ti faccio due domande, ma per favore non rispondere ora a queste due domande: continua a leggere anche quello che c'è dopo le due domande.

(i) Qual è la definizione di lipschitzianità?

(ii) Come si nega tale definizione?

Comunque, Biagio2580, non stavamo parlando di negare la definizione di lipschitzianità direttamente. Stavamo parlando della presunta illimitatezza di $f'$ in $[a,1]$. Uno passa per il teorema: "Lipschitziana se e solo modulo della derivata limitato" proprio perché, in generale, è un casino usare la definizione. In questo caso si può fare, e nel ragionamento fatto usando la negazione della definizione sei sulla strada giusta, ma riprendiamolo dopo e cerchiamo di concludere l'approccio col teorema sopraccitato.

(@BlackCrow_ita vedi? Neanche ho dovuto fare un giro sul forum per dimostrarti che, facendo parteciipare attivamente l'interlocutore, escono fuori delle lacune e si aprono possibilità per apprendere ben di più rispetto a quanto si è chiesto).

Detto ciò, Biagio2580, rispondi per favore a questa domanda: perché sostieni che $|f'(x)|=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ è illimitata superiormente in $[a,1]$?

[Biagio2580]

No , le negazione completa non l'ho scritta . La negazione è :
$ AA M>0,EE x,yin [a,b]:
|(f(x)-f(y))/(x-y)|>M $
Già stavo scrivendo il calcolo nella risposta di prima , comunque questa è la mia negazione

[Biagio2580]

A questo punto , credo che il discorso che ho fatto sia vero , no ?

[Mephlip]

"Biagio2580":Questo è il conto quando la funzione è definita in [0,1], giusto no ?

Sì, questo è corretto.

"Biagio2580":La negazione è :
$∀M>0,∃x,y∈[a,b]:∣|\frac{f(x)−f(y)}{x−y}|>M$

Corretto.

"Biagio2580":A questo punto , credo che il discorso che ho fatto sia vero , no ?

In $[0,1]$ sì, ma in $[a,1]$? Non è la stessa cosa.