Lipchizinità e Continuità Uniforme
Ciao ragazzi , studiando la relazione tra Lipchizianità e Continuità Uniforme(Lip=>U.C.) , viene poi dimostrato che il viceversa non vale , ovvero se una funzione è uniformemente continua , non è detto che sia anche Lipchiziana.
Viene utilizzato come esempio la funzione:
$ f:[0,1]->R $
$ f(x)=sqrtx $
Che è U.C. per Heine , e viene poi dimostrato che il Sup della funzione fa $ +oo $, e quindi la derivata non è limita, e di conseguenza , non è Lipchiziana.
Viene poi detto però , che per farla diventare Lipchiziana , basta escludere lo 0 , ma non viene spiegato il perchè , qualcuno può aiutarmi?
Viene utilizzato come esempio la funzione:
$ f:[0,1]->R $
$ f(x)=sqrtx $
Che è U.C. per Heine , e viene poi dimostrato che il Sup della funzione fa $ +oo $, e quindi la derivata non è limita, e di conseguenza , non è Lipchiziana.
Viene poi detto però , che per farla diventare Lipchiziana , basta escludere lo 0 , ma non viene spiegato il perchè , qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Spezzando una lancia in favore del consiglio di BlackCrow_ita: intuitivamente, ti sembra che $|f'(x)|=2|x|$ sia limitata su $\mathbb{R}$? Se sì, perché sì? Se no, perché no?
limitata inferiormente , in quanto il modulo non può essere $<0$ , mentre è illimitata superiormente ?
Cioè , nel caso di prima posso fare il lim per 0 in quanto ci si arriva a mente che potrebbe essere illimitata , ma in questo caso come posso fare ?
"Biagio2580":Esatto, è limitata inferiormente da $0$.
limitata inferiormente , in quanto il modulo non può essere $<0$
"Biagio2580":
Cioè , nel caso di prima posso fare il lim per 0 in quanto ci si arriva a mente che potrebbe essere illimitata , ma in questo caso come posso fare ?
Scusa Biagio, ma come fa a non venirti in mente che la funzione $2|x|$ su $\mathbb{R}$ è illimitata superiormente a livello intuitivo
? Tu hai che $x$ è libero di variare in $\mathbb{R}$, quindi può assumere ogni valore reale. Grande quanto ti pare. La funzione $|f'(x)|=2|x|$ è, detto in termini brutali, una funzione che ti dice: prendi un $x \in\mathbb{R}$, se è positivo lascialo uguale e se è negativo considerane l'opposto. Poi moltiplicalo per $2$. Che succede ad una cosa del genere se prendi $x=100$? Viene $2|100|=2\cdot 100 =200$. Poi $x=1000$? Viene $2|1000|=2\cdot 1000=2000$. Poi $x=10000$? Viene $2|10000|=2\cdot 10000=20000$. E puoi andare avanti con numeri grandi quanto vuoi, perché $x$ varia in $\mathbb{R}$ e quindi sei libero di prendere $x$ positivo e grande senza limitazioni. Avresti potuto farlo anche con numeri "molto negativi", tipo $-18938493853985935$, perché tanto il modulo li rende positivi. Onestamente, non capisco cosa ti causi dubbi, almeno a livello intuitivo.Se proprio vuoi dimostrarlo rigorosamente, procedi così: sia $M>0$ arbitrario. Poniamo $x_M=\frac{M+1}{2}$, dato che $M>0$ anche $\frac{M+1}{2}>0$, quindi $x_M=\frac{M+1}{2}>0$. Dunque, essendo $x_M>0$, è $|x_M|=x_M$. Dunque, $|f'(x_M)|=2|x_M|=2x_M=2\frac{M+1}{2}=M+1>M$. Ossia, per ogni $M>0$ esiste $x_M=\frac{M+1}{2}>0$ tale che $|f'(x_M)|>M$; ossia, $|f'|$ è illimitata superiormente. Se ti disturba il pedice $M$ su $x_M$, è solamente per indicare la dipendenza di $x$ da $M$ (ma puoi ometterlo e lasciare semplicemente $x$).
Se vuoi procedere con i limiti: dato che $x\in\mathbb{R}$, puoi far tendere $x$ a $+\infty$. Se $x \to +\infty$, è chiaramente $x>0$ e quindi $|x|=x$. Perciò, hai:
$$\lim_{x \to +\infty} |f'(x)|=\lim_{x \to +\infty} 2|x|=\lim_{x \to +\infty} 2x=+\infty$$
Puoi vedere, sia nell'approccio intuitivo, sia nella dimostrazione con i quantificatori e sia nella dimostrazione col limite, l'importanza dell'informazione "dove appartiene $x$", perché è quello che rende lecito poter prendere numeri arbitrariamente grandi. E quindi, come detto più volte in questa conversazione, l'importanza del dominio di $f$.
Meglio di così non riesco a spiegartelo
.
"Biagio2580":
limitata inferiormente , in quanto il modulo non può essere $<0$ , mentre è illimitata superiormente ?
Infatti è quello che ho scritto
. Era una domanda di conferma , nel senso che credevo fosse illimitata superiormente , volevo sapere se era giusto o no
Quindi posso dire che $x^2$ non è lipchiziana giusto ?
"Biagio2580":
Infatti è quello che ho scritto
Ok. Ottimo
!"Biagio2580":
Quindi posso dire che $x^2$ non è lipchiziana giusto ?
Non è lipschitziana in $\mathbb{R}$. Come per l'uniforme continuità, se non si specifica l'insieme la frase: "È lipschitziana" non ha senso.
E se quindi ho invece di $R$ un'intervallo ad esempio $[0,1]$, questo significa che poi la mia f diventa limitata anche superiormente , in quanto il massimo valore che posso dare alla x è 1 giusto ?
Occhio: non $f$ ma $|f'|$, è il modulo della derivata che devi controllare, non la funzione. E inoltre, per $2|x|$ devi stimare $|x|$, non $x$. Incidentalmente, in $[0,1]$ è lo stesso perché $x \ge 0$ ma in generale non è così: ad esempio, se fossimo stati $[-2,1]$, allora $|x| \le 2$ e non $|x| \le 1$.
A parte questo, il resto quello che dici è corretto. Con lo stesso ragionamento, deduci che $x^2$ è lipschitziana in ogni intervallo limitato $(a,b)$ osservando che $2|x| \le 2\text{max} \{|a|,|b|\}$ per ogni $x\in (a,b)$. Se ci pensi, è un po' il caso inverso rispetto a $\sqrt{x}$ in $[0,1]$: per $x^2$ in $\mathbb{R}$, devi staccarti da $+\infty$ e $-\infty$ per evitare numeri arbitrariamente grandi (positivi o negativi, perché essi rendono il modulo della sua derivata illimitato) e quindi ti basta metterti in un intervallo limitato $(a,b)$ (o anche $[a,b)$, o $(a,b]$ o $[a,b]$; non cambia nulla). Invece, per $\sqrt{x}$ dovevi staccarti dallo $0$ per evitare numeri arbitrariamente vicini a $0$ (perché essi rendono il modulo della sua derivata illimitato); quindi, basta ogni intervallo che si stacchi da $0$ "lasciando un po' di spazio" come $[a,1]$.
A parte questo, il resto quello che dici è corretto. Con lo stesso ragionamento, deduci che $x^2$ è lipschitziana in ogni intervallo limitato $(a,b)$ osservando che $2|x| \le 2\text{max} \{|a|,|b|\}$ per ogni $x\in (a,b)$. Se ci pensi, è un po' il caso inverso rispetto a $\sqrt{x}$ in $[0,1]$: per $x^2$ in $\mathbb{R}$, devi staccarti da $+\infty$ e $-\infty$ per evitare numeri arbitrariamente grandi (positivi o negativi, perché essi rendono il modulo della sua derivata illimitato) e quindi ti basta metterti in un intervallo limitato $(a,b)$ (o anche $[a,b)$, o $(a,b]$ o $[a,b]$; non cambia nulla). Invece, per $\sqrt{x}$ dovevi staccarti dallo $0$ per evitare numeri arbitrariamente vicini a $0$ (perché essi rendono il modulo della sua derivata illimitato); quindi, basta ogni intervallo che si stacchi da $0$ "lasciando un po' di spazio" come $[a,1]$.
Grazie mille della pazienza e dell'aiuto Mephlip
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