Lipchizinità e Continuità Uniforme
Ciao ragazzi , studiando la relazione tra Lipchizianità e Continuità Uniforme(Lip=>U.C.) , viene poi dimostrato che il viceversa non vale , ovvero se una funzione è uniformemente continua , non è detto che sia anche Lipchiziana.
Viene utilizzato come esempio la funzione:
$ f:[0,1]->R $
$ f(x)=sqrtx $
Che è U.C. per Heine , e viene poi dimostrato che il Sup della funzione fa $ +oo $, e quindi la derivata non è limita, e di conseguenza , non è Lipchiziana.
Viene poi detto però , che per farla diventare Lipchiziana , basta escludere lo 0 , ma non viene spiegato il perchè , qualcuno può aiutarmi?
Viene utilizzato come esempio la funzione:
$ f:[0,1]->R $
$ f(x)=sqrtx $
Che è U.C. per Heine , e viene poi dimostrato che il Sup della funzione fa $ +oo $, e quindi la derivata non è limita, e di conseguenza , non è Lipchiziana.
Viene poi detto però , che per farla diventare Lipchiziana , basta escludere lo 0 , ma non viene spiegato il perchè , qualcuno può aiutarmi?
Risposte
"Mephlip":
Detto ciò, Biagio2580, rispondi per favore a questa domanda: perché sostieni che $|f'(x)|=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ è illimitata superiormente in $[a,1]$?
Non saprei , è questo il mio dubbio(o almeno , penso che sia questo che non mi faccia capire la differenza tra un'esempio e l'altro) , puoi spiegarmi?
Sia $00$, da $x \ge a$ segue $\sqrt{x} \ge \sqrt{a}>0$. Perciò, essendo il reciproco decrescente sui positivi, da $\sqrt{x} \ge \sqrt{a}>0$ segue $\frac{1}{sqrt{x}}\le \frac{1}{\sqrt{a}}$ e quindi $\frac{1}{2sqrt{x}}\le \frac{1}{2\sqrt{a}}$. Ossia, $|f'(x)| \le \frac{1}{2\sqrt{a}}$. Quindi, il modulo della derivata di $f$ è limitato dall'alto da $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ in $[a,1]$. Per il teorema sopraccitato, segue che $\sqrt{x}$ è lipschitziana in $[a,1]$.
La differenza tra $(0,1]$ e $[a,1]$ è che, mettendoci in $[a,1]$, ci siamo "allontanati" da $0$ e lo abbiamo fatto in modo tale che sia impossibile per $x$ avvicinarsi arbitrariamente a $0$; rendendo impossibile avvicinarsi arbitrariamente a $0$ da parte di $x$, si rende limitata la quantità $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ come mostrato sopra (per questo otta96 diceva che non basta togliere lo $0$, ma almeno un intorno destro dello $0$. Se togli solo lo $0$ puoi ancora avvicinarti arbitrariamente a $0$).
La differenza tra $(0,1]$ e $[a,1]$ è che, mettendoci in $[a,1]$, ci siamo "allontanati" da $0$ e lo abbiamo fatto in modo tale che sia impossibile per $x$ avvicinarsi arbitrariamente a $0$; rendendo impossibile avvicinarsi arbitrariamente a $0$ da parte di $x$, si rende limitata la quantità $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ come mostrato sopra (per questo otta96 diceva che non basta togliere lo $0$, ma almeno un intorno destro dello $0$. Se togli solo lo $0$ puoi ancora avvicinarti arbitrariamente a $0$).
Non capisco questa cosa dello $0$ però , scusami Mephlip, cioè che problema mi da lo $0$?
$$\lim_{x \to 0^+} |f'(x)|=\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2\sqrt{x}}=+\infty$$
"Mephlip":
La differenza tra $(0,1]$ e $[a,1]$ è che, mettendoci in $[a,1]$, ci siamo "allontanati" da $0$ e lo abbiamo fatto in modo tale che sia impossibile per $x$ avvicinarsi arbitrariamente a $0$; rendendo impossibile avvicinarsi arbitrariamente a $0$ da parte di $x$, si rende limitata la quantità $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ come mostrato sopra (per questo otta96 diceva che non basta togliere lo $0$, ma almeno un intorno destro dello $0$. Se togli solo lo $0$ puoi ancora avvicinarti arbitrariamente a $0$).
Effettivamente ora capisco , ma lasciami togliere un' ultimo dubbio, fondamentale , frutto di alcune mie lacune: una volta che ho calcolato la derivata della mia funzione , il limite perchè in questo caso tu lo hai fatto con $ x->0 $ e non a 1 , ad esempio ?
Perché:
$$\lim_{x \to 1^-} |f'(x)|=\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$$
E questo dimostra che il modulo della derivata è limitato in un intorno sinistro di $1$, ma non dimostra nulla di collegato alla lipschitzianità; questo perché la limitatezza richiesta nella definizione di funzione limitata è una limitatezza globale, non locale. Una funzione $g$ è limitata se esiste $K>0$ tale che per ogni $x \in \text{dom} f$ sia $|g(x)| \le M$; con il limite per $x \to 1^-$ di $|f'|$ finito dimostri la limitatezza di $|f'|$ solo in un intorno sinistro di $1$, mentre invece, per il teoremino che collega limitatezza del modulo della derivata e lipschitzianità, vorresti la limitatezza di $|f'|$ in tutto $(0,1]$ (cosa che tuttavia è falsa, a causa del limite per $x \to 0^+$ di prima). La limitatezza di $|f'|$ la hai in ogni compatto contenuto in $(0,1]$ grazie al teorema di Weierstrass, perché in questo caso $|f'|$ è continua in ogni compatto contenuto in $(0,1]$ (questo porta quindi all'idea di rimuovere valori arbitrariamente vicini a $0$ per ottenere la limitatezza di $|f'|$ in tutto $[a,1]$). Chiaro ora?
$$\lim_{x \to 1^-} |f'(x)|=\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$$
E questo dimostra che il modulo della derivata è limitato in un intorno sinistro di $1$, ma non dimostra nulla di collegato alla lipschitzianità; questo perché la limitatezza richiesta nella definizione di funzione limitata è una limitatezza globale, non locale. Una funzione $g$ è limitata se esiste $K>0$ tale che per ogni $x \in \text{dom} f$ sia $|g(x)| \le M$; con il limite per $x \to 1^-$ di $|f'|$ finito dimostri la limitatezza di $|f'|$ solo in un intorno sinistro di $1$, mentre invece, per il teoremino che collega limitatezza del modulo della derivata e lipschitzianità, vorresti la limitatezza di $|f'|$ in tutto $(0,1]$ (cosa che tuttavia è falsa, a causa del limite per $x \to 0^+$ di prima). La limitatezza di $|f'|$ la hai in ogni compatto contenuto in $(0,1]$ grazie al teorema di Weierstrass, perché in questo caso $|f'|$ è continua in ogni compatto contenuto in $(0,1]$ (questo porta quindi all'idea di rimuovere valori arbitrariamente vicini a $0$ per ottenere la limitatezza di $|f'|$ in tutto $[a,1]$). Chiaro ora?
Cioè quindi per vedere se è limitata faccio due limiti , mettiamo caso sia l'intervallo $[3,6]$, faccio il
$ lim_(x -> 3^+) f'(x) $ e poi $ lim_(x -> 6^-) f'(x) $, se uno dei due limiti non è finito , la f è illimitata , mentre se sono entrambi finiti , la f è limitata , giusto?
$ lim_(x -> 3^+) f'(x) $ e poi $ lim_(x -> 6^-) f'(x) $, se uno dei due limiti non è finito , la f è illimitata , mentre se sono entrambi finiti , la f è limitata , giusto?
Ma no. Rispondevo solo alla tua domanda: "Perché non hai fatto il limite per $x \to 1^-$". Non l'ho fatto perché non dimostra nulla di utile rispetto a quello che ci stiamo chiedendo per questo problema, vedi ciò che ho spiegato nella risposta precedente a questa.
No, non basta. Prendi la funzione $g:[3,6] \to \mathbb{R}$ definita da:
$$g(x)=\begin{cases}\frac{1}{x-4}, \ \text{se} \ x \in [3,4) \cup (4,6] \\ 0, \ \text{se} \ x=4 \end{cases}$$
Questa ha limiti finiti per $x \to 3^+$ e per $x \to 6^-$, ma non è limitata né superiormente né inferiormente e lo deduci dal limite per $x \to 4$.
Basta un limite $+\infty$ in qualsiasi punto di accumulazione per il dominio di una certa funzione per dedurre che tale funzione è illimitata superiormente e basta un limite $-\infty$ in qualsiasi punto di accumulazione di una certa funzione per il dominio per dedurre che tale funzione è illimitata inferiormente (non necessariamente agli estremi), ma dai singoli limiti finiti deduci solo una limitatezza locale. Certo, con alcune accortezze si può salvare il ragionamento, ad esempio per funzioni continue usando Weierstrass; ma lasciamo perdere, troppe informazioni tutte insieme.
No, non basta. Prendi la funzione $g:[3,6] \to \mathbb{R}$ definita da:
$$g(x)=\begin{cases}\frac{1}{x-4}, \ \text{se} \ x \in [3,4) \cup (4,6] \\ 0, \ \text{se} \ x=4 \end{cases}$$
Questa ha limiti finiti per $x \to 3^+$ e per $x \to 6^-$, ma non è limitata né superiormente né inferiormente e lo deduci dal limite per $x \to 4$.
Basta un limite $+\infty$ in qualsiasi punto di accumulazione per il dominio di una certa funzione per dedurre che tale funzione è illimitata superiormente e basta un limite $-\infty$ in qualsiasi punto di accumulazione di una certa funzione per il dominio per dedurre che tale funzione è illimitata inferiormente (non necessariamente agli estremi), ma dai singoli limiti finiti deduci solo una limitatezza locale. Certo, con alcune accortezze si può salvare il ragionamento, ad esempio per funzioni continue usando Weierstrass; ma lasciamo perdere, troppe informazioni tutte insieme.
Devi controllare cosa accade in prossimità dello 0 in quanto il "problema" della tua funzione si presenta li, negli altri casi era evidente non esserci. Dunque tu devi sapere se nell'intervallo dato la tua funzione è limitata oppure no.
E lo 0 di solito è il punto se vogliamo "più probabile" che ci dia come risultato un numero non finito(essendo il rapporto incrementale una frazione), è facile che a denominatore rimanga 0) , quindi bisogna controllarlo giusto ?
No. Biagio, non esistono sempre scorciatoie; cercandole sempre, la matematica ti perseguiterà fino a che non darai l'ultimo esame di matematica all'università. Ci sono alcune cose che si possono studiare algoritmicamente, altre no. Questa non è una di quelle. Devi soffermarti a cercare di capire le cose. Ti sembra che con $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita da $f(x)=x^2$ il problema del rapporto della definizione di lipschitzianità sia in $0$?
Essendo la derivata di $x^2$=$2x$ posso dire che è lipchiziana , visto che rispetta la definizione ed è una derivata limitata,giusto?
E per rispondere alla tua domanda: lo 0 in questo caso non da problemi , in quanto il limite farebbe semplicemente 0.
"Biagio2580":
E per rispondere alla tua domanda: lo 0 in questo caso non da problemi , in quanto il limite farebbe semplicemente 0.
Esatto. Quindi, non ha molto senso parlare di "punti probabilmente problematici".
"Biagio2580":
Essendo la derivata di $x^2$=$2x$ posso dire che è lipchiziana , visto che rispetta la definizione ed è una derivata limitata,giusto?
No. Rileggi bene il messaggio in cui ho introdotto $x^2$ per la prima volta. Dato che non riporti i tuoi svolgimenti, non ho idea di come hai (erroneamente) dedotto che rispetta la definizione e che ha derivata limitata.
$2x$ non è limitata in un'intervallo ?O proprio non c'entra niente la derivata ?
"Biagio2580":
O proprio non c'entra niente la derivata ?
Ma sì che c'entra, abbiamo parlato finora di derivate.
"Biagio2580":
$2x$ non è limitata in un'intervallo ?
Dove ho definito $f(x)=x^2$? Ti sembra che $|f'(x)|=2|x|$ sia limitata in $\mathbb{R}$?
aaaaa perchè non è definita in un'intervallo , ma in questo caso tutto $R$
Per questo mi dici che dipende dall'intervallo , ora capisco
"Biagio2580":
aaaaa perchè non è definita in un'intervallo , ma in questo caso tutto $R$
$\mathbb{R}$ è un intervallo.
"Biagio2580":
Per questo mi dici che dipende dall'intervallo , ora capisco
Dipende dal dominio di $f$, ed esso non deve essere necessariamente un intervallo. Le proprietà delle funzioni dipendono da come tali funzioni sono definite, quindi dipendono non solo dalla formula $f(x)=...$ ma anche dal loro dominio e dal loro codominio (che, ricordo, sono insiemi preassegnati e fanno parte essi stessi della definizione di $f$. Cambiandone uno, ma lasciando invariato l'altro e la legge $f(x)=...$, la funzione ottenuta è diversa da quella di prima!). Una funzione può perdere o guadagnare proprietà, ad esempio, se si restringe o amplia il dominio. Ora dovrebbe essere tutto un po' più chiaro. Però, queste cose vengono molto prima della lipschitzianità. Devi ferrarti al più presto su queste cose, o avrai sempre problemi!
Quindi per quanto riguarda il tuo esempio , non è lipchiziana ?
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